圓周運(yùn)動中臨界極值情境與賦值間的關(guān)系

安徽 邵 永

物理中的臨界極值問題無論是否出現(xiàn)“恰好”“不脫離”“最大”“至少”等詞語，總會隱去或者部分隱去研究對象的現(xiàn)象，且有一定的變化條件，在變化過程中使得某些物理量達(dá)到最大或最小，從一種現(xiàn)象變?yōu)榱硪环N現(xiàn)象。這類問題往往具有情景隱蔽、過程復(fù)雜的特點(diǎn)，主要考查受力分析、運(yùn)動分析、功能關(guān)系等物理學(xué)科主干知識和利用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力，做到基礎(chǔ)與能力并重、基礎(chǔ)與素養(yǎng)兼容。在教學(xué)過程中把一定的物理模型進(jìn)行變式分析，或?qū)ο嗤奈锢砟Ｐ徒o予不同賦值，對其臨界極值情境進(jìn)行對比分析，均能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力，加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解和應(yīng)用，針對試題做到有的放矢。

一、水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動中的臨界極值問題

【例1】如圖1所示，A、B、C三個物體放在旋轉(zhuǎn)圓臺上，它們與圓臺之間的動摩擦因數(shù)均為μ，物體A的質(zhì)量為m，物體B、C的質(zhì)量均為2m，A、B離軸心距離為R，C離軸心距離為2R，當(dāng)圓臺旋轉(zhuǎn)時下列說法中正確的是

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圖1

A.在圓臺勻速轉(zhuǎn)動時，如果三個物體相對圓臺都沒有滑動，則物體C的向心加速度最大

B.在圓臺勻速轉(zhuǎn)動時，如果三個物體相對圓臺都沒有滑動，則物體B受到的摩擦力最大

D.當(dāng)圓臺轉(zhuǎn)速增加時，三個物體發(fā)生滑動的先后順序是C、B、A

【變式1】如圖2所示，兩個質(zhì)量分別為2m和m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，木塊a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為L，木塊b與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為2L，a、b之間用長為L的強(qiáng)度足夠大的輕繩相連，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的μ倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，開始時輕繩剛好伸直但無張力，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，下列說法正確的是

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圖2

A.物體a所受的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力

B.發(fā)生滑動前a的摩擦力一直增大，b的摩擦力先增大后不變

【點(diǎn)撥】雖然本題中兩物體之間比例1中多了一根輕繩，在研究對象、受力分析、臨界情形和臨界值等方面有所不同，但實(shí)際是例1中知識的應(yīng)用與延續(xù)，因?yàn)樵诶K繃緊之前的分析和結(jié)論與例1是完全相同的，物體滑動的先后順序與質(zhì)量無關(guān)、與半徑有關(guān)；b受到的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力之后輕繩會繃緊，作用在b上的拉力指向圓心且不斷增大，用于補(bǔ)充b的向心力的增加，但作用在a上的拉力是背離圓心的，F(xiàn)fa=FT+2mω2L，所以a的摩擦力會隨角速度的增大繼續(xù)增大，當(dāng)二者摩擦力都達(dá)到最大靜摩擦力之后a、b整體將遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動。

【變式2】如圖3所示，用強(qiáng)度足夠大的輕繩連接放在水平圓盤上的兩個相同小木塊a和b(均可視為質(zhì)點(diǎn))，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為L，b與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為2L，小木塊質(zhì)量均為m，木塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動，則

( )

A.a與圓盤間的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力

B.發(fā)生滑動前，a的摩擦力一直增大，b的摩擦力先增大后不變

圖3

【點(diǎn)撥】本題也是例1中知識的應(yīng)用與延續(xù)，雖然從外形來看與變式1十分相似，但摩擦力的變化規(guī)律卻不同，原因是兩木塊在轉(zhuǎn)軸的同側(cè)和異側(cè)的受力情況不同，當(dāng)繩繃緊之后變式1中繩對a的拉力方向背離圓心，而變式2中繩對a的拉力方向是指向圓心的。因?yàn)槭芰η闆r不同，有可能出現(xiàn)不同質(zhì)量比的變化規(guī)律和臨界情形不同。在例1和變式1中木塊之間的質(zhì)量比不同不影響摩擦力的變化趨勢和極值情境，即例1中木塊滑動的先后順序，變式1中木塊b的摩擦力先達(dá)到最大后不變，a的摩擦力繼續(xù)增大到最大靜摩擦力之后，兩木塊將遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動等方面均與木塊的質(zhì)量沒有關(guān)系；在變式2的模型中，繩繃緊之前，無論兩物體間質(zhì)量是怎樣的關(guān)系，b木塊的摩擦力總是先達(dá)到最大值，但是在繩繃緊之后，不同質(zhì)量比有著不同的變化規(guī)律和臨界情形。由向心力公式Fa向=maraω2，F(xiàn)b向=mbrbω2可以看出隨角速度的增大，兩木塊所需向心力的增加量間的大小關(guān)系與質(zhì)量和半徑的乘積有關(guān)，當(dāng)marambrb時，向心力增加量a大于b，由μmbg+FT=mbω2rb，F(xiàn)fa+FT=maω2ra聯(lián)立得Ffa-μmbg=(mara-mbrb)ω2，由此可得當(dāng)ω增大時，b所受的摩擦力不變，a所受摩擦力逐漸增大。當(dāng)a的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力之后，b所受摩擦力會逐漸減小到零，然后反向逐漸增大，當(dāng)b的摩擦力再次達(dá)到最大時，a將遠(yuǎn)離圓心,b將向圓心運(yùn)動。上述討論中質(zhì)量與半徑乘積的大小關(guān)系反映的是物體組質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸的關(guān)系，當(dāng)質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上時物體組一定不會滑動，當(dāng)質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上時最終質(zhì)心會做離心運(yùn)動，因此利用質(zhì)心法很容易確定臨界情境和計(jì)算臨界值。

二、豎直面內(nèi)非勻速圓周運(yùn)動中的臨界極值問題

圖4

【例2】如圖4所示，一質(zhì)量為m的小球用長度為L的細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，已知細(xì)線能夠承受的最大張力為7mg，重力加速度為g，在最低點(diǎn)給小球一個初速度，讓小球在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動，下列說法正確的是

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D.小球通過最高點(diǎn)的最小速度為零

【變式】如圖5所示，質(zhì)量為M的支架(包含底座)上有一水平細(xì)軸，軸上套有一長為L的輕質(zhì)細(xì)線，繩的另一端拴一質(zhì)量為m(可視為質(zhì)點(diǎn))的小球。小球在豎直面內(nèi)沿圓周運(yùn)動時能經(jīng)過最高點(diǎn)，忽略一切阻力，重力加速度為g。則

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圖5

A.如果支架始終保持靜止，則小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時底座對地面壓力最大

C.如果支架始終保持靜止，則小球運(yùn)動過程中地面對底座始終無摩擦力

D.如果支架始終保持靜止，小球運(yùn)動至右邊與O點(diǎn)等高時，地面對底座的摩擦力向左