轉(zhuǎn)換參考系 突破傳送帶二維傳送問(wèn)題瓶頸

福建 郭 威

傳送帶是高中物理的一個(gè)重要模型，對(duì)學(xué)生受力情景分析、運(yùn)動(dòng)情景分析和功能情景分析的能力考查有著很好的示范效果。平時(shí)接觸的傳送帶模型一般情況下為物帶同線(xiàn)的一維傳送帶問(wèn)題，學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的分析與處理比較熟悉，但對(duì)于二維傳送帶傳送問(wèn)題的分析與處理卻常常遇到瓶頸，難點(diǎn)在于一維到二維的變化、滑動(dòng)摩擦力的大小與方向的確定等問(wèn)題容易出錯(cuò)。

傳送帶二維傳送問(wèn)題表現(xiàn)為物體運(yùn)動(dòng)的速度方向與傳送帶運(yùn)動(dòng)方向不同線(xiàn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由于物塊與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)是不變的，物塊對(duì)傳送帶的正壓力也是不變的，所以物塊與傳送帶受到的滑動(dòng)摩擦力大小Ff=μFN也不變，而滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度方向相反，所以摩擦力的方向會(huì)因?yàn)槲飰K相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)速度方向的變化而變化，從而使傳送帶二維傳送問(wèn)題的解決變得復(fù)雜。由于“滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)接觸面的運(yùn)動(dòng)方向相反且在同一條直線(xiàn)上”，而一般傳送帶是勻速運(yùn)動(dòng)的，若以傳送帶為參考系，這個(gè)參考系就是慣性參考系，對(duì)于慣性參考系，所有總結(jié)出來(lái)的力學(xué)規(guī)律都是相同的，所以解決傳送帶二維傳送問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)變換參考系，即以傳送帶為參考系來(lái)研究問(wèn)題，突破滑動(dòng)摩擦力的方向難以確定的瓶頸，使得解決問(wèn)題的途徑更加簡(jiǎn)潔，充分體現(xiàn)過(guò)程與方法。

一、物體相對(duì)傳送帶做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的二維問(wèn)題

【試題調(diào)研1】如圖1所示，質(zhì)量為m的長(zhǎng)方體物塊放在水平放置的鋼板C上，物塊與鋼板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，由于光滑固定導(dǎo)槽A、B的控制，該物塊只能沿水平導(dǎo)槽運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)使鋼板以速度v1向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)用水平力F拉動(dòng)物塊使其以速度v2(v2的方向與v1的方向垂直，沿y軸正方向)沿槽勻速運(yùn)動(dòng)，以下說(shuō)法正確的是

( )

A.若拉力F的方向在第一象限，則其大小一定大于μmg

B.若拉力F的方向在第二象限，則其大小可能小于μmg

圖1

圖2

圖3

【總結(jié)反思】因?yàn)殇摪迨莿蛩龠\(yùn)動(dòng)的，以鋼板為參考系，根據(jù)兩個(gè)方向的分速度判斷出物塊相對(duì)于鋼板的合速度方向，從而根據(jù)“滑動(dòng)摩擦力是相對(duì)于接觸面的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，且方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反”得出物塊相對(duì)鋼板的摩擦力方向，突破了二維傳送的一個(gè)難點(diǎn)，從而明確了本題滑動(dòng)摩擦力的大小與方向是一個(gè)不變的力，為解決本題三力動(dòng)態(tài)平衡時(shí)“控制滑動(dòng)摩擦力不變、擋板的彈力方向不變”提供了切入點(diǎn)；同時(shí)通過(guò)兩分速度與合速度的關(guān)系可以得出它們之間的夾角關(guān)系，挖掘出求解問(wèn)題的一個(gè)隱含條件。

二、物體相對(duì)傳送帶做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的二維問(wèn)題

【試題調(diào)研2】一貨物傳送裝置如圖4所示，由傾角θ=37°表面粗糙的固定斜槽和足夠?qū)挼乃絺魉蛶ЫM成，斜槽與傳送帶垂直，末端與傳送帶在同一水平面上且相互靠近。傳送帶以恒定速度v0=3 m/s向前方運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)將一質(zhì)量m=1 kg可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊，從距離斜槽底端為s=2 m的頂點(diǎn)A處無(wú)初速度釋放，物塊通過(guò)斜槽底端銜接處速度大小不變，物塊最終與傳送帶相對(duì)靜止。(已知物塊與斜槽間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.25，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因μ2=0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)試求：

圖4

(1)物塊在斜槽上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

(2)物塊滑上傳送帶時(shí)受到的摩擦力大小及方向；

(3)物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)過(guò)程的最小動(dòng)能Ek。

【解題思路】(1)在斜面上對(duì)物塊受力分析可知

mgsinθ-μ1mgcosθ=ma1①

聯(lián)立①②式得t1=1 s ③

(2)以傳送帶為參考系，俯視圖如圖5所示，物塊剛滑上傳送帶時(shí)，v1=a1t1=4 m/s

方向與垂直于傳送帶運(yùn)動(dòng)方向的夾角為α=37°

物塊所受的摩擦力大小Ff=μ2mg=5 N

由幾何關(guān)系可知，物塊所受摩擦力方向與x軸負(fù)方向的夾角也為α=37°角并指向左上方

圖5

(3)以傳送帶為參考系，如圖5所示的直角坐標(biāo)系中分析可知

水平方向Ff1=Ffcosα=max

豎直方向Ff2=Ffsinα=may

在很小的Δt時(shí)間內(nèi)

Δvx=axΔt

Δvy=ayΔt

v相對(duì)的方向與x軸正方向夾角為α=37°

圖6

圖7

物塊相對(duì)傳送帶側(cè)向進(jìn)入，是一個(gè)二維傳送問(wèn)題，取地面為參考系，摩擦力的方向與速度的關(guān)系不容易如參考答案這樣判斷出來(lái)，更談不上如何分析做正功、負(fù)功以及什么時(shí)候有最小值。而以傳送帶為參考系，物塊沿著x軸和y軸的分加速度作用下同時(shí)做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)是比較直觀的，最終物塊相對(duì)傳送帶靜止，即對(duì)地與傳送帶的速度一樣，較容易分析出物塊相對(duì)傳送帶的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，同時(shí)也較容易得到物塊相對(duì)傳送帶的合速度和滑動(dòng)摩擦力方向不變這一隱含條件，最后再根據(jù)題設(shè)要求對(duì)地面的最小動(dòng)能時(shí)再轉(zhuǎn)化為取地面為參考系，基于伽利略變換的速度合成定理，即絕對(duì)速度等于牽連速度與相對(duì)速度的矢量和，采用矢量合成法則求出物塊對(duì)地的最小速度，問(wèn)題就迎刃而解了。

三、物體相對(duì)傳送帶做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的二維問(wèn)題

【試題調(diào)研3】如圖8甲圖所示，是傳送帶緊貼矩形桌面的俯視示意圖。傳送帶和桌面在同一水平面且都足夠?qū)?、足夠長(zhǎng)，傳送帶沿圖示方向運(yùn)動(dòng)。abcd是垂直水平面固定的光滑擋板條，ab與cd部分是直的，bc是平滑過(guò)渡部分。擋板條ab部分與傳送帶運(yùn)動(dòng)方向的夾角為θ。質(zhì)量為m1的小滑塊A與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，從a點(diǎn)由靜止釋放，最后與靜止在桌面c點(diǎn)、質(zhì)量為m2的小滑塊B發(fā)生彈性正碰。小滑塊A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)，桌面c點(diǎn)左側(cè)光滑，右側(cè)與小滑塊A、B的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ1，重力加速度為g。

甲

乙

【解題思路】(1)由小滑塊A、B發(fā)生彈性正碰可知

m1=3m2③

聯(lián)立④⑤⑥⑦解得s1∶s2=1∶9

(2)因A、B最后停在桌面上同一位置，故B碰后的速度與A反彈后從傳送帶滑回桌面的速度相同。

(3)對(duì)小滑塊受力分析如圖9所示，因?yàn)閾醢宓淖饔?，以傳送帶為參考系，小滑塊垂直斜面速度保持不變，小滑塊沿斜面向下做減速運(yùn)動(dòng)，合速度v0方向發(fā)生變化，滑動(dòng)摩擦力Ff的方向順時(shí)針變化，故小滑塊沿斜面向下做初速度v0cosθ且加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閭魉蛶ё銐蜷L(zhǎng)且足夠?qū)挘首罱K小滑塊沿斜面方向速度為零，摩擦力Ff與FN垂直，此時(shí)小滑塊相對(duì)傳送帶的速度為v0sinθ；

圖9

圖10

物塊從a點(diǎn)由靜止釋放，相對(duì)傳送帶相當(dāng)以速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，由于擋板的作用，物塊之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程也是一個(gè)二維傳送問(wèn)題，滑動(dòng)摩擦力的大小不變毋庸置疑，但因?yàn)閮蓚€(gè)分速度在相等的時(shí)間內(nèi)變化量不同，即兩個(gè)分加速度不同，所以滑動(dòng)摩擦力的方向隨著物塊的運(yùn)動(dòng)改變，其方向始終與小滑塊相對(duì)于傳送帶的合速度方向相反，最終合速度方向與斜面垂直，即傳送帶對(duì)小滑塊的滑動(dòng)摩擦力最終與Ff2方向重合，以傳送帶為參考系分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程就直觀得多，若以地面為參考系，則整個(gè)過(guò)程分析就顯得復(fù)雜得多。