靜電場(chǎng)中“三線”問(wèn)題的解題策略

湖北 胡衛(wèi)雄

一、問(wèn)題的提出

本文中所說(shuō)的“三線”是指電場(chǎng)線、等勢(shì)線(面)和帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。

“三線”問(wèn)題往往將電場(chǎng)線、等勢(shì)線(面)和粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡相結(jié)合，考查學(xué)生應(yīng)用靜電場(chǎng)知識(shí)(電場(chǎng)強(qiáng)度、電場(chǎng)線、靜電力、靜電力做功、電勢(shì)能、電勢(shì)、電勢(shì)差、等勢(shì)面等)和力學(xué)知識(shí)(牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)力學(xué)關(guān)系、功能關(guān)系、能量守恒定律等)綜合分析問(wèn)題的能力?？疾殡妶?chǎng)、靜電力、電勢(shì)能等物理觀念，點(diǎn)電荷、電場(chǎng)等物理模型，進(jìn)行科學(xué)推理的科學(xué)思維以及嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度等核心素養(yǎng)，常以選擇題形式出現(xiàn)。

二、問(wèn)題解決的解題策略

“三線”問(wèn)題往往設(shè)置以“三線”為載體的問(wèn)題情境，要求在理解“三線”特征的基礎(chǔ)上，按照以下“一二三四五”策略依次展開(kāi)對(duì)問(wèn)題的綜合分析：

1.選擇一個(gè)交點(diǎn)：在電場(chǎng)線和運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題中，選擇電場(chǎng)線和運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)交點(diǎn)位置去分析；在等勢(shì)線(面)和運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題中，選擇等勢(shì)線(面)和運(yùn)動(dòng)軌跡的一個(gè)交點(diǎn)位置展開(kāi)分析。

2.抓住兩個(gè)關(guān)鍵：確定速度方向和靜電力方向是解決問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵，需要畫(huà)出“速度方向線”(運(yùn)動(dòng)軌跡在交點(diǎn)位置的切線)與“靜電力方向線”(在交點(diǎn)位置電場(chǎng)線的切線方向，指向軌跡的凹側(cè))。

3.確定三個(gè)要素：在“三線”問(wèn)題中電荷的正負(fù)、電場(chǎng)線的方向，電荷運(yùn)動(dòng)方向，是題目中相互制約的三個(gè)要素。如三個(gè)要素不明確的，則要用“假設(shè)法”分別討論各種情況。

4.掌握四類(lèi)方法：要根據(jù)加速度大小的判斷方法、速度大小的判斷方法、靜電力做功正負(fù)的判斷方法、電勢(shì)能增減與電勢(shì)高低的判斷方法等四種方法對(duì)常見(jiàn)的問(wèn)題做出判斷。

5.明確五組關(guān)系：分析“三線”問(wèn)題要明確以下五組關(guān)系，即

(1)電荷電性、電場(chǎng)強(qiáng)度方向、靜電力方向的關(guān)系

正電荷受到的靜電力方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同；負(fù)電荷受到的靜電力方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反。

(2)電荷電性、電勢(shì)、電勢(shì)能的關(guān)系

正電荷在電勢(shì)高的位置電勢(shì)能大，在電勢(shì)低的位置電勢(shì)能?。回?fù)電荷在電勢(shì)高的位置電勢(shì)能小，在電勢(shì)低的位置電勢(shì)能大。

(3)電場(chǎng)線和等勢(shì)面關(guān)系

等勢(shì)面一定與電場(chǎng)線垂直，電場(chǎng)線方向總是從電勢(shì)高的的等勢(shì)面指向電勢(shì)低的等勢(shì)面；等差等勢(shì)面越密的地方電場(chǎng)強(qiáng)度越大，反之越小。

(4)力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系

帶電粒子做曲線運(yùn)動(dòng)，則所受合力(往往僅為靜電力)應(yīng)指向軌跡曲線的凹側(cè)，軌跡夾在力和速度方向之間。

(5)做功和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系

靜電力做功與電勢(shì)能變化的關(guān)系，合力做功與動(dòng)能變化的關(guān)系。

三、問(wèn)題設(shè)置的途徑

“三線”問(wèn)題的設(shè)置主要有三類(lèi)情境，每類(lèi)情境又可分非典型電場(chǎng)和典型電場(chǎng)兩種情形。在非典型電場(chǎng)中，在電荷電性、運(yùn)動(dòng)軌跡方向、電場(chǎng)線方向均未知的情況下，往往需要分情況討論，先假設(shè)其中一種情況再依次分析。在典型電場(chǎng)中，根據(jù)典型電場(chǎng)的特點(diǎn)，可以推測(cè)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)和場(chǎng)源電荷的相關(guān)信息。

1.電場(chǎng)線和帶電粒子的軌跡問(wèn)題

(1)非典型電場(chǎng)

【例1】如圖1所示，實(shí)線表示某電場(chǎng)的電場(chǎng)線(方向未標(biāo)出)，虛線是一帶負(fù)電的粒子只在電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)M點(diǎn)和N點(diǎn)的電勢(shì)分別為φM、φN，粒子在M和N時(shí)加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢(shì)能分別為EpM、EpN。下列判斷正確的是

( )

A.vM

C.φM<φN，EpM

圖1

【分析】先選擇帶電粒子的軌跡和電場(chǎng)線的一個(gè)交點(diǎn)如圖2所示，因不知道運(yùn)動(dòng)軌跡的方向這個(gè)要素，需要用假設(shè)法討論從M到N或從N到M兩種情況，確定如圖2和3所示的兩種情況下的速度方向和受到的合力方向，應(yīng)用動(dòng)力學(xué)關(guān)系、功能關(guān)系可判斷，從M到N，速度、動(dòng)能減小，從N到M，速度、動(dòng)能增大，結(jié)果都是M點(diǎn)的動(dòng)能、速度比N點(diǎn)的動(dòng)能、速度大。結(jié)合能量守恒定律可知M點(diǎn)比N點(diǎn)的電勢(shì)能小。再依據(jù)電荷電性、電勢(shì)、電勢(shì)能的關(guān)系判斷M、N點(diǎn)的電勢(shì)高低。由N、M處電場(chǎng)線的疏密判斷電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，比較靜電力的大小，再由牛頓第二定律得到加速度大小關(guān)系。

圖2

【解析】N點(diǎn)的電場(chǎng)線比M點(diǎn)的電場(chǎng)線更密集，所以電場(chǎng)強(qiáng)度更大，靜電力更大，粒子的加速度也更大，aN>aM。若粒子從M運(yùn)動(dòng)到N，如圖2所示，根據(jù)動(dòng)力學(xué)關(guān)系，帶電粒子所受電場(chǎng)力指向軌跡彎曲的內(nèi)側(cè)，可知在該點(diǎn)的電場(chǎng)力方向和速度方向成鈍角，故電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增大，動(dòng)能減小，即vM>vN，EpMφN；若粒子從N運(yùn)動(dòng)到M，如圖3所示，則根據(jù)帶電粒子所受電場(chǎng)力指向軌跡彎曲的內(nèi)側(cè)，可知在某點(diǎn)的電場(chǎng)力方向和速度方向成銳角，故電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，即vM>vN，EpMφN；綜上所述，選項(xiàng)D正確。

(2)典型電場(chǎng)

【例2】如圖4所示，在點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中，實(shí)線MN是一條方向未標(biāo)出的電場(chǎng)線，虛線AB是一個(gè)電子只在靜電力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)電子在A、B兩點(diǎn)的加速度大小分別為aA、aB，電勢(shì)能分別為EpA、EpB。下列說(shuō)法正確的是

( )

A.電子一定從A向B運(yùn)動(dòng)

B.若aA>aB，則Q靠近M端且為正電荷

C.無(wú)論Q為正電荷還是負(fù)電荷一定有EpA

D.B點(diǎn)電勢(shì)可能高于A點(diǎn)電勢(shì)

圖4

【分析】根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系確定交點(diǎn)處?kù)o電力的方向向左(如圖5所示)，因?yàn)殡娮訋ж?fù)電，再根據(jù)電荷電性、靜電力方向和電場(chǎng)強(qiáng)度方向關(guān)系確定電場(chǎng)線的方向向右。本題的關(guān)鍵是題目給出的是典型的點(diǎn)電荷電場(chǎng)，再結(jié)合點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)方向大小分布特點(diǎn)判斷，如果場(chǎng)源電荷帶正電，則應(yīng)靠近M端，且從M到N電場(chǎng)強(qiáng)度變小，如果場(chǎng)源電荷帶負(fù)電，則應(yīng)靠近N端，且從M到N電場(chǎng)強(qiáng)度變大。運(yùn)動(dòng)軌跡的方向不明確，可用假設(shè)法討論電子從A到B或從B到A的兩種可能，均可符合題意，因而是不確定的。

圖5

【解析】由于運(yùn)動(dòng)路徑的方向不知，因此速度方向也不能確定，由所知條件無(wú)法判斷電子的運(yùn)動(dòng)方向，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；電子在電場(chǎng)中做曲線運(yùn)動(dòng)，虛線AB是電子只在靜電力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡，電場(chǎng)力沿電場(chǎng)線指向曲線的凹側(cè)，所以電子受到的靜電力方向向左，電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右，電場(chǎng)線方向向右，若aA>aB，說(shuō)明電子在M點(diǎn)受到的電場(chǎng)力較大，M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度較大，根據(jù)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布可知，靠近M端為場(chǎng)源電荷的位置，應(yīng)帶正電，故選項(xiàng)B正確；無(wú)論Q為正電荷還是負(fù)電荷，沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)降低，一定有電勢(shì)φA>φB，電子電勢(shì)能Ep=-eφ，電勢(shì)能是標(biāo)量，所以一定有EpA

2.等勢(shì)面和帶電粒子的軌跡問(wèn)題

解答該類(lèi)問(wèn)題，可以先根據(jù)等勢(shì)面與電場(chǎng)線互相垂直，由已知的等勢(shì)面畫(huà)出對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)線，將等勢(shì)面和帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為電場(chǎng)線和帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題。

(1)非典型電場(chǎng)

【例3】如圖6所示，虛線a、b、c表示電場(chǎng)中的三個(gè)等勢(shì)面與紙平面的交線，且相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差相等。實(shí)線為一帶正電荷的粒子僅在電場(chǎng)力作用下通過(guò)該區(qū)域時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，M、N是這條軌跡上的兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是

( )

圖6

A.三個(gè)等勢(shì)面中，a的電勢(shì)最高

B.對(duì)于M、N兩點(diǎn)，通過(guò)M點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能較大

C.對(duì)于M、N兩點(diǎn)，通過(guò)M點(diǎn)時(shí)動(dòng)能較大

D.帶電粒子由M運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，加速度增大

【分析】首先根據(jù)等勢(shì)面和電場(chǎng)線垂直的關(guān)系，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡和等勢(shì)面b的交點(diǎn)的電場(chǎng)線，將等勢(shì)面、運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如圖7所示的電場(chǎng)線、運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題。確定交點(diǎn)處的靜電力方向和兩個(gè)可能的速度方向，因?yàn)榱Ｗ訋д?，可判斷電?chǎng)強(qiáng)度的方向如圖8所示，根據(jù)電荷電性、電勢(shì)高低、電勢(shì)能大小的關(guān)系判斷M點(diǎn)和N點(diǎn)電勢(shì)能的大小，再依據(jù)能量守恒定律比較M點(diǎn)和N點(diǎn)的動(dòng)能的大小，根據(jù)等勢(shì)面的密集程度與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小關(guān)系判斷N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度比M點(diǎn)大。

圖7

圖8

【解析】畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡與b等勢(shì)線的交點(diǎn)處的一條電場(chǎng)線，由于帶電粒子做曲線運(yùn)動(dòng)，所受電場(chǎng)力的方向必定指向軌道的凹側(cè)，且和等勢(shì)面垂直、電場(chǎng)線相切，因?yàn)殡姾蔀檎?，所以電?chǎng)線方向是由c指向b再指向a如圖8所示。根據(jù)電場(chǎng)線的方向指向電勢(shì)降低的方向，故φc>φb>φa，選項(xiàng)A錯(cuò)。正電荷在電勢(shì)高處電勢(shì)能大，M點(diǎn)的電勢(shì)比N點(diǎn)電勢(shì)低，故粒子在M點(diǎn)電勢(shì)能小，選項(xiàng)B錯(cuò)。根據(jù)能量守恒定律，電荷的動(dòng)能和電勢(shì)能之和保持不變，故粒子在M點(diǎn)的動(dòng)能較大，選項(xiàng)C正確。由于相鄰等勢(shì)面之間電勢(shì)差相等，因N點(diǎn)等勢(shì)面較密，則EN>EM，即qEN>qEM。由牛頓第二定律知，帶電粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)，加速度增大，選項(xiàng)D正確。

(2)典型電場(chǎng)

【例4】如圖9所示，一帶電粒子在兩個(gè)固定的等量正電荷的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，圖中的實(shí)線為等勢(shì)面，虛線ABC為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中B點(diǎn)是兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)，A、C位于同一等勢(shì)面上。下列說(shuō)法正確的是

( )

圖9

A.該粒子可能帶正電

B.該粒子經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度最大

C.該粒子經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的加速度一定為零

D.該粒子在B點(diǎn)的電勢(shì)能小于在A點(diǎn)的電勢(shì)能

【分析】由圖9所示的典型的等量同種正電荷等勢(shì)面分布特點(diǎn)可知，從A到B點(diǎn)電勢(shì)是先增加再降低，A點(diǎn)的電勢(shì)低于B點(diǎn)的電勢(shì)。等量同種正電荷的連線的中點(diǎn)B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零。另外，由曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系可知，帶電粒子在等勢(shì)面和運(yùn)動(dòng)軌跡的交點(diǎn)A處受到的靜電力方向指向軌跡內(nèi)側(cè)，所以帶電粒子帶負(fù)電。

【解析】從該帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡判斷靜電力方向，由固定電荷帶正電可知，該粒子一定帶負(fù)電，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)等量同種正電荷電勢(shì)分布特點(diǎn)，因?yàn)榱Ｗ訌腁運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，電勢(shì)先升高后降低，又該粒子帶負(fù)電，所以電勢(shì)能先減小后增加，根據(jù)能量守恒定律知，動(dòng)能先增加后減小，故B點(diǎn)的動(dòng)能不是最大，則經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度不是最大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；B點(diǎn)是兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)，合場(chǎng)強(qiáng)為零，故粒子受力為零，則加速度為零，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)殡x正電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低，即φA<φB，因粒子帶負(fù)電，由Ep=φq得，EpA>EpB，故選項(xiàng)D正確。

3.“等勢(shì)(線)面”問(wèn)題——電場(chǎng)線和等勢(shì)線(面)問(wèn)題

這類(lèi)問(wèn)題一般設(shè)置典型電場(chǎng)的等勢(shì)線(面)情景。根據(jù)等勢(shì)面和電場(chǎng)線的關(guān)系，畫(huà)出相對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)線，把此類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成電場(chǎng)線和等勢(shì)面(線)問(wèn)題。在分析中要注意典型電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)分布特點(diǎn)，依據(jù)動(dòng)力學(xué)關(guān)系畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡。

【例5】?jī)蓚€(gè)固定的等量異號(hào)點(diǎn)電荷所產(chǎn)生電場(chǎng)的等勢(shì)面如圖10中虛線所示，一帶負(fù)電的粒子以某一速度從圖10中A點(diǎn)沿圖示方向進(jìn)入電場(chǎng)在紙面內(nèi)飛行，最后離開(kāi)電場(chǎng)，粒子只受靜電力作用，則粒子

( )

A.做直線運(yùn)動(dòng)，電勢(shì)能先變小后變大

B.做直線運(yùn)動(dòng)，電勢(shì)能先變大后變小

C.做曲線運(yùn)動(dòng)，電勢(shì)能先變小后變大

D.做曲線運(yùn)動(dòng)，電勢(shì)能先變大后變小

圖10

【分析】先根據(jù)題目給定的典型電場(chǎng)——等量異號(hào)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)等勢(shì)面畫(huà)出該電場(chǎng)的電場(chǎng)線如圖11所示，粒子帶負(fù)電，所以靜電力方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反，依據(jù)力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系定性的畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示，可知粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電勢(shì)先升高后降低，再依據(jù)電荷電性、電勢(shì)、電勢(shì)能的關(guān)系判斷電勢(shì)能的變化。

圖11

【解析】?jī)晒潭ǖ牡攘慨愄?hào)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布如圖11所示。帶負(fù)電的粒子以速度v進(jìn)入電場(chǎng)后，電場(chǎng)力的方向與v的方向不在一條直線上，故帶負(fù)電的粒子做曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示，故選項(xiàng)AB錯(cuò)誤。帶負(fù)電的粒子先由低電勢(shì)面運(yùn)動(dòng)到高電勢(shì)面，然后由高電勢(shì)面運(yùn)動(dòng)到低電勢(shì)面，所以電勢(shì)能先減小后增大，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

【例6】(2018年全國(guó)卷Ⅰ)圖12中虛線a、b、c、d、f代表勻強(qiáng)電場(chǎng)內(nèi)間距相等的一組等勢(shì)面，已知平面b上的電勢(shì)為2 V。一電子經(jīng)過(guò)a時(shí)的動(dòng)能為10 eV，從a到d的過(guò)程中克服電場(chǎng)力所做的功為6 eV。下列說(shuō)法正確的是

( )

A.平面c上的電勢(shì)為零

B.該電子可能到達(dá)不了平面f

C.該電子經(jīng)過(guò)平面d時(shí)，其電勢(shì)能為4 eV

D.該電子經(jīng)過(guò)平面b時(shí)的速率是經(jīng)過(guò)d時(shí)的2倍

圖12

圖13

【解析】勻強(qiáng)電場(chǎng)中等勢(shì)面間距相等，相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差相等。電子從a到d的過(guò)程中克服電場(chǎng)力做功為6 eV，電場(chǎng)方向水平向右，畫(huà)出電場(chǎng)線，Uad=6 V，又b等勢(shì)面電勢(shì)為2 V，所以c等勢(shì)面電勢(shì)為零，a等勢(shì)面電勢(shì)為4 V，d等勢(shì)面電勢(shì)為-2 V，電子經(jīng)過(guò)平面d時(shí)，其電勢(shì)能為2 eV，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。題目沒(méi)有給出電子運(yùn)動(dòng)的初速度方向，所以運(yùn)動(dòng)軌跡不能判斷，有可能到達(dá)不了平面f，選項(xiàng)B正確，根據(jù)動(dòng)能定理，電子經(jīng)過(guò)平面b時(shí)，動(dòng)能為8 eV，電子經(jīng)過(guò)平面d時(shí)，動(dòng)能為4 eV，該電子經(jīng)過(guò)平面b時(shí)的動(dòng)能是經(jīng)過(guò)d時(shí)動(dòng)能的2倍，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。