考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的線狀需求物流節(jié)點(diǎn)選址研究

周建勤，李 敏，隋雨函

(北京交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044)

截至2019年4月，全國鐵路網(wǎng)規(guī)模達(dá)13.1萬km。到2025年，鐵路網(wǎng)規(guī)模將達(dá)到17.5萬km，尚有4萬多km鐵路待建設(shè)。鐵路線路的建設(shè)需要大量的物資，且擬建線路上連續(xù)各點(diǎn)都有需求，為線狀需求。為滿足線路建設(shè)的物資需求，通常沿?cái)M建線路布局一定數(shù)量的物流節(jié)點(diǎn)，接收并儲(chǔ)存從工廠運(yùn)來的物資，并根據(jù)實(shí)際需要將其運(yùn)輸至需求路段。此外，不確定因素常發(fā)生于需求路段中，導(dǎo)致需求路段所需物資隨時(shí)間變化且具有隨機(jī)性，從而使各物流節(jié)點(diǎn)處的庫存失衡。而引入橫向轉(zhuǎn)運(yùn)將有效解決此問題。因此，探討物流節(jié)點(diǎn)的選址問題，對(duì)末端的物流成本控制具有重要意義，進(jìn)而對(duì)鐵路線路建設(shè)有一定影響。

大多數(shù)設(shè)施選址文獻(xiàn)的研究都是基于離散需求，也有一些學(xué)者研究線狀需求下的選址問題。Alonso[1]以沙灘線沿岸連續(xù)分布的冰淇淋需求為研究對(duì)象，確定冰淇淋店的選址。Rosenhead等[2]通過決策沿線設(shè)施的位置，來最小化沿線分布的客戶到最近設(shè)施的期望距離。周建勤[3]使用需求密度函數(shù)表示擬建交通線路的物資需求密度，并用線積分描述線狀連續(xù)的物資需求。Gastner[4]以居住地點(diǎn)到最近設(shè)施的平均距離最小化為目標(biāo)，研究了線路上連續(xù)需求的物流節(jié)點(diǎn)選址及需求分配問題。Erdemir等[5]基于離散需求和線狀需求，建立選址模型，并運(yùn)用算例闡明了線狀需求下選址模型的優(yōu)越性。以上學(xué)者研究了線狀需求下的設(shè)施選址問題，尚未將庫存納入考慮。

當(dāng)需求不確定時(shí)，一些學(xué)者探討了聯(lián)合選址–庫存問題。Shen等[6]提出了聯(lián)合選址–庫存模型同時(shí)決策庫存和選址，研究了單供應(yīng)商和多零售商的聯(lián)合選址–庫存問題。Daskin等[7]提出了以庫存成本和運(yùn)輸成本之和為聯(lián)合選址–庫存模型的目標(biāo)函數(shù)。原丕業(yè)等[8]建立了非線性整數(shù)規(guī)劃的選址–庫存模型。周愉峰等[9]研究了國家血液戰(zhàn)略儲(chǔ)備庫的選址–庫存模型。王林等[10]構(gòu)建了聯(lián)合補(bǔ)貨–選址庫存協(xié)同優(yōu)化模型。若開展庫存控制與設(shè)施選址聯(lián)合優(yōu)化，能降低需求不確定性帶來的影響。

物流節(jié)點(diǎn)間的橫向轉(zhuǎn)運(yùn)策略常被引入到選址–庫存聯(lián)合優(yōu)化中。Tagaras等[11]將橫向轉(zhuǎn)運(yùn)引入聯(lián)合選址–庫存問題，考慮了訂貨提前期和轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)間的兩設(shè)施橫向轉(zhuǎn)運(yùn)機(jī)制，論證了設(shè)施選址分配決策受橫向轉(zhuǎn)運(yùn)影響。Shen等[6]、Shu等[12]、Snyder等[13]針對(duì)零售商之間的橫向轉(zhuǎn)運(yùn)問題，以優(yōu)化選址和庫存為目標(biāo)，建立了非線性整數(shù)規(guī)劃模型。Shen等[6]研究了考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的選址模型，將該模型轉(zhuǎn)化為集分割問題，通過列生成算法求解。Shu等[12]進(jìn)一步研究和改進(jìn)了Shen等[6]的算法。Snyder等[13]提出了基于拉格朗日松弛的精確算法，通過低階多項(xiàng)式求解模型。上述學(xué)者都是研究了橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的選址–庫存聯(lián)合優(yōu)化問題，然而他們針對(duì)的是離散需求，目前還沒有將橫向轉(zhuǎn)運(yùn)考慮進(jìn)線狀需求下的設(shè)施選址的文獻(xiàn)。

本文針對(duì)需求沿線路連續(xù)分布的情形，考慮了物流節(jié)點(diǎn)之間橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的策略，構(gòu)建了需求隨時(shí)間不確定下的選址–庫存模型，在分析模型性質(zhì)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)線搜索算法求解，并結(jié)合算例驗(yàn)證模型的可行性和有效性。

1 問題描述與模型構(gòu)建

1.1 問題描述

大多數(shù)擬建鐵路線路空間跨度大，經(jīng)過丘陵、平原和湖泊等不同的地理環(huán)境時(shí)，需要架設(shè)橋梁、隧道等。各段線路建設(shè)所需的物資數(shù)量各不相同。確定線路建設(shè)物資需求密度變化的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，將擬建線路劃分為多個(gè)子區(qū)段，各子區(qū)段內(nèi)物資需求密度在空間上均勻分布。同時(shí)，在不同時(shí)間階段內(nèi)各子區(qū)段的物資需求密度隨機(jī)變化。擬選址的物流節(jié)點(diǎn)分布在擬建線路上，其供應(yīng)的物資沿?cái)M建線路運(yùn)輸至線路上的各處需求點(diǎn)。

不失一般性，本文將擬建線路拓?fù)錇橐粭l直線段，2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)分別選址在該直線段上，且物流節(jié)點(diǎn)1負(fù)責(zé)滿足左端點(diǎn)至需求分界點(diǎn)的物資需求，物流節(jié)點(diǎn)2負(fù)責(zé)滿足需求分界點(diǎn)至右端點(diǎn)的物資需求。在物流節(jié)點(diǎn)處儲(chǔ)存物資，并將物資運(yùn)輸至需求點(diǎn)，當(dāng)物流節(jié)點(diǎn)的庫存水平不均衡時(shí)，物流節(jié)點(diǎn)之間采用橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的方式調(diào)配物資。模型以運(yùn)營總成本最小化為目標(biāo)，決策物流節(jié)點(diǎn)和需求分界點(diǎn)的位置。

為了便于分析問題，現(xiàn)作出如下假設(shè)：

1) 擬建線路各子區(qū)段的物資需求相互獨(dú)立；

2) 橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的物資瞬時(shí)到達(dá)；

3) 擬建線路中同一子區(qū)段內(nèi)各處的需求密度相同。

1.2 模型構(gòu)建

1.2.1 符號(hào)說明

K為擬建線路子區(qū)段的數(shù)量；

p0為擬建線路的起始位置；

pk為擬建線路第k子區(qū)段的右端點(diǎn)，k=1,2,···,K；

lk為第k子區(qū)段的長(zhǎng)度；

μk為第k子區(qū)段需求密度的均值;

δk為第k子區(qū)段需求密度的標(biāo)準(zhǔn)差;

j=1,2為物流節(jié)點(diǎn)的編號(hào)；

xj為第j個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的位置；

d為需求分界點(diǎn)的位置；

f(x)為線路建設(shè)期內(nèi)需求密度的均值；

Sj為 物流節(jié)點(diǎn)j的期初庫存水平；

Zj為 物流節(jié)點(diǎn)j需要滿足的線路總需求；

Fj(·) 為物流節(jié)點(diǎn)j需要滿足的總需求的分布函數(shù)；

Qij為物流節(jié)點(diǎn)i到 節(jié)點(diǎn)j的轉(zhuǎn)運(yùn)物資數(shù)量；

ec為物流節(jié)點(diǎn)到擬建線路上各需求點(diǎn)的運(yùn)輸費(fèi)率；

eh為庫存持有費(fèi)率；

ep為庫存短缺費(fèi)率；

et為橫向轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)率；

Gj為物流節(jié)點(diǎn)j轉(zhuǎn)運(yùn)后的凈庫存；

為轉(zhuǎn)運(yùn)后，物流節(jié)點(diǎn)j處的持有庫存；

為轉(zhuǎn)運(yùn)后，物流節(jié)點(diǎn)j處的短缺庫存。

1.2.2 建立模型

擬建線路為x軸 上K個(gè)首尾相連的子區(qū)段，如圖1所示。

圖1 鐵路線路子區(qū)段劃分圖Figure 1 Diagram of railway route division

各子區(qū)段內(nèi)需求沿線路均勻分布，其需求密度均值f(x)為

對(duì)于第k子區(qū)段，其線路長(zhǎng)度為lk，需求密度均值為 μk，標(biāo)準(zhǔn)差為 δk，則在建設(shè)周期內(nèi)第k區(qū)段的總需求量服從正態(tài)分布

2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的需求分界點(diǎn)為d，d∈(pn?1,pn)。因而物流節(jié)點(diǎn)1的服務(wù)范圍是[p0,d]，物流節(jié)點(diǎn)2的服務(wù)范圍是[d,pK]，如圖2所示。

圖2 物流節(jié)點(diǎn)服務(wù)范圍圖Figure 2 Diagram of logistics node service scope

物流節(jié)點(diǎn)1服務(wù)范圍的需求均值和方差分別為

同理可得物流節(jié)點(diǎn)2服務(wù)范圍的需求均值 μ?2和方差

由于需求不確定，物流節(jié)點(diǎn)j持有安全庫存，其期初庫存水平表示為Sj=μj+aδj，a為安全庫存系數(shù)。如果一個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的庫存仍然無法滿足其物資需求時(shí)，則可以通過另一個(gè)物流節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移庫存來滿足部分或者全部需求。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)的橫向轉(zhuǎn)運(yùn)情況如下

1) 如果S1＞Z1且S2＞Z2，則Q1,2=Q2,1=0；

2) 如果S1≤Z1且S2≤Z2，則Q1,2=Q2,1=0；

3) 如果S1＞Z1且S2＜Z2，則Q1,2=min{S1?Z1,Z2?S2}，Q2,1=0；

4) 如果S1＜Z1且S2＞Z2，則Q1,2=0 ，Q2,1=min{Z1?S1,S2?Z2}。

在單位周期內(nèi)，物流節(jié)點(diǎn)的期初庫存滿足擬建線路的物資需求后，若2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)均缺貨或均持有庫存，則無需橫向轉(zhuǎn)運(yùn)；若1個(gè)物流節(jié)點(diǎn)持有庫存，另一節(jié)點(diǎn)缺貨，則2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)間進(jìn)行橫向轉(zhuǎn)運(yùn)，直到庫存短缺的物流節(jié)點(diǎn)需求被滿足或持有庫存的物流節(jié)點(diǎn)庫存被消耗完。

物流節(jié)點(diǎn)到需求點(diǎn)的末端運(yùn)輸成本由運(yùn)輸量、運(yùn)輸距離和運(yùn)輸費(fèi)率3者共同決定。物流節(jié)點(diǎn)1到線上需求點(diǎn)x的距離表示為 |x1?x|，物流節(jié)點(diǎn)2到線上需求點(diǎn)x的距離表示為 |x2?x|。依據(jù)文獻(xiàn)[15]，核算運(yùn)輸成本時(shí)，可以用期望需求量代替實(shí)際需求量。

物流節(jié)點(diǎn)1、2的末端運(yùn)輸成本之和為

物流節(jié)點(diǎn)的庫存成本由庫存持有成本和庫存短缺成本組成。參考文獻(xiàn)[16]，以物流節(jié)點(diǎn)1需要滿足的建設(shè)物資總需求Z1為橫軸，以物流節(jié)點(diǎn)2需要滿足的建設(shè)物資總需求Z2為縱軸，觀察2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)的庫存狀態(tài)和橫向轉(zhuǎn)運(yùn)情形，如圖3。

圖3 物流節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)的庫存及橫向轉(zhuǎn)運(yùn)情形Figure 3 Possible inventory and transshipment situations at logistics node

圖3的區(qū)域①中，2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的期初庫存量都大于各自的需求量，故2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)間不發(fā)生轉(zhuǎn)運(yùn)，且各自的期末庫存量都為正。圖3的區(qū)域②中，物流節(jié)點(diǎn)1的期初庫存量大于其需求量，物流節(jié)點(diǎn)2的期初庫存量小于其需求量，且2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的期初庫存量之和大于其總需求量，故物流節(jié)點(diǎn)1向物流節(jié)點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)以恰好滿足物流節(jié)點(diǎn)2的需求。轉(zhuǎn)運(yùn)后，物流節(jié)點(diǎn)1的期末庫存量仍為正，物流節(jié)點(diǎn)2的期末庫存量為0。圖3的區(qū)域③中，物流節(jié)點(diǎn)1的期初庫存量大于其需求量，物流節(jié)點(diǎn)2的期初庫存量小于其需求量，且2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的期初庫存量之和小于總需求量，故物流節(jié)點(diǎn)1將剩余庫存全部轉(zhuǎn)運(yùn)至物流節(jié)點(diǎn)2。轉(zhuǎn)運(yùn)后，物流節(jié)點(diǎn)2的一部分需求得到滿足，但仍然缺貨。因此，物流節(jié)點(diǎn)1的期末庫存量為0，物流節(jié)點(diǎn)2的期末庫存量為負(fù)。圖3的區(qū)域④、區(qū)域⑤和區(qū)域⑥對(duì)應(yīng)于類似的情形。

橫向轉(zhuǎn)運(yùn)后，物流節(jié)點(diǎn)1的期望庫存持有數(shù)量是圖3中區(qū)域①和②的面積之和

轉(zhuǎn)運(yùn)后，物流節(jié)點(diǎn)1的期望缺貨數(shù)量是圖3中區(qū)域⑤和⑥的面積之和

橫向轉(zhuǎn)運(yùn)成本由橫向轉(zhuǎn)運(yùn)距離、轉(zhuǎn)運(yùn)量和轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)率3者共同決定。物流節(jié)點(diǎn)1為物流節(jié)點(diǎn)2橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的期望橫向轉(zhuǎn)運(yùn)數(shù)量，為圖3中區(qū)域②和③的面積，表示為

同理可知物流節(jié)點(diǎn)2為物流節(jié)點(diǎn)1橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的期望橫向轉(zhuǎn)運(yùn)數(shù)量。那么2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的橫向轉(zhuǎn)運(yùn)成本可以表示為

選址模型的總成本由末端運(yùn)輸成本、庫存成本和橫向轉(zhuǎn)運(yùn)成本組成，從而將考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的線狀需求物流節(jié)點(diǎn)選址模型表示為

在式(9)中，決策變量分別為需求分界點(diǎn)的位置d、物流節(jié)點(diǎn)1的位置x1、物流節(jié)點(diǎn)2的位置x2，它們都是連續(xù)型變量，可以分布在線路的任意位置。

最優(yōu)選址性質(zhì)定理在考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的線狀需求物流節(jié)點(diǎn)選址模型中，若1個(gè)需求分界點(diǎn)位置d=d(0)已知，則物流節(jié)點(diǎn)1最優(yōu)位置所在子區(qū)段n1滿足式(10)和式(11)時(shí)，的表達(dá)式如式(12)所示；物流節(jié)點(diǎn)2的最優(yōu)位置所在子區(qū)段n2滿足式(13)和式(14)時(shí)，的解析式如式(15)所示。

其中，QL表示兩個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的平均橫向轉(zhuǎn)運(yùn)量,QL=E(Q1,2)+E(Q2,1)。

2 算法設(shè)計(jì)

最優(yōu)選址性質(zhì)定理指出了2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)最優(yōu)位置需要滿足的條件。本文設(shè)計(jì)了線搜索算法，求得需求分界點(diǎn)和2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)位置，步驟如下。

步驟1令搜索步長(zhǎng)為設(shè)定的搜索次數(shù)，并令計(jì)步器

步驟2根據(jù)搜索步長(zhǎng)，計(jì)算需求分界點(diǎn)的位置并令計(jì)步器加1。

步驟3根據(jù)式(10)和式(11)計(jì)算得到物流節(jié)點(diǎn)1最優(yōu)位置所 在 子 區(qū) 段n1[w]，根 據(jù) 式(13)和 式(14)計(jì)算得到物流節(jié)點(diǎn)2的最優(yōu)位置所在子區(qū)段n2[w]。

步驟4將n1[w]代入式(12)中得到物流節(jié)點(diǎn)1最優(yōu)位置x1[w]，將n2[w]代入式(15)中得到物流節(jié)點(diǎn)2的最優(yōu)位置x2[w]。

步驟5由d[w]、x1[w]、x2[w]可得運(yùn)營總成本Y[w]，返回到步驟1，直到w＜N，停止計(jì)算。選擇Y[w]值最小的解為最優(yōu)解。

3 算例分析

擬建鐵路線路長(zhǎng)度為328 km，在工程建設(shè)預(yù)算的限制下，在線路上設(shè)置2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)以供應(yīng)線路建設(shè)所需物資。

以線路需求密度變化處為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，將該需求線路劃分為6個(gè)子區(qū)段，其長(zhǎng)度、需求密度均值以及需求密度標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。

表1 參數(shù)表示Table 1 Parameter representation

物流節(jié)點(diǎn)滿足線路建設(shè)物資需求時(shí)，末端運(yùn)輸費(fèi)率ec=4元 /（t·km），庫存持有費(fèi)率eh=400元/t，短缺費(fèi)率ep=4000元 /t，橫向轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)率et=6元/（t·km）。設(shè)置安全庫存系數(shù)a=1。

本文采用Matlab2018b編寫代碼，求解考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的線狀需求物流節(jié)點(diǎn)選址模型的物流節(jié)點(diǎn)最優(yōu)位置和需求分界點(diǎn)最優(yōu)位置。當(dāng)線性搜索次數(shù)為200時(shí)，得到運(yùn)營成本隨需求分界點(diǎn)的變化曲線，如圖4所示。

圖4 需求分界點(diǎn)對(duì)總成本的影響曲線Figure 4 Cost curve of demand cut-off points

由圖4可以看出，無論需求分界點(diǎn)在何處，發(fā)生轉(zhuǎn)運(yùn)后的總成本總是比不發(fā)生轉(zhuǎn)運(yùn)的總成本小，其中，需求分界點(diǎn)在160.72 km處時(shí)，發(fā)生轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)的總成本最低，為940020元。以上說明需求分界點(diǎn)的位置影響總成本，合理的決策需求分界點(diǎn)可以節(jié)省成本。此外，橫向轉(zhuǎn)運(yùn)有助于降低總成本。

由表2可知，在上述分界點(diǎn)處，考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)，轉(zhuǎn)運(yùn)成本增加了26633元，運(yùn)輸成本增加了4437元的，同時(shí)，庫存成本降低了104856元，總成本降低了73786元?？紤]橫向轉(zhuǎn)運(yùn)使庫存成本顯著下降，降低了31.0%，進(jìn)而使總成本降低了7.3%。因此，考慮物流節(jié)點(diǎn)間的橫向轉(zhuǎn)運(yùn)對(duì)成本控制效果顯著表2。

表2 各個(gè)成本及其變化率Table 2 Each cost and its rate of change

在考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的條件下，不同的物流節(jié)點(diǎn)選址對(duì)總成本有影響，如圖5所示。合理決策物流節(jié)點(diǎn)位置，有利于降低運(yùn)營總成本。

綜上，當(dāng)鐵路線路建設(shè)物資需求不確定時(shí)，物流節(jié)點(diǎn)間進(jìn)行橫向轉(zhuǎn)運(yùn)優(yōu)于不轉(zhuǎn)運(yùn)，且物流節(jié)點(diǎn)和需求分界點(diǎn)的位置決策都會(huì)影響運(yùn)營總成本。因此，在物流節(jié)點(diǎn)選址和需求分配階段，建議管理者考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的影響，以得到更優(yōu)的物流節(jié)點(diǎn)選址和需求分配決策，控制庫存成本，進(jìn)而控制物流總成本。

圖5 考慮轉(zhuǎn)運(yùn)下物流節(jié)點(diǎn)位置對(duì)總成本的影響曲線Figure 5 Cost curve of logistics node location considering transshipment

4 結(jié)束語

本文界定了考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的線狀需求物流節(jié)點(diǎn)選址問題，以最小化物流節(jié)點(diǎn)運(yùn)營總成本為目標(biāo)，構(gòu)建了選址?庫存模型，確定2個(gè)物流節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)位置和需求分配。通過分析模型性質(zhì)，設(shè)計(jì)線搜索算法來求解物流節(jié)點(diǎn)最優(yōu)位置和需求分界點(diǎn)最優(yōu)位置。論文還指出物流節(jié)點(diǎn)選址受橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的影響，結(jié)果表明，考慮橫向轉(zhuǎn)運(yùn)可以降低物流節(jié)點(diǎn)的庫存成本，進(jìn)而降低總成本。

未來的研究可以從以下方面拓展。1) 可以將需求線路拓展為二維空間形態(tài)，并選用其他的距離函數(shù)刻畫運(yùn)輸距離。2) 本文確定需求分界點(diǎn)的最優(yōu)位置時(shí)，采用的線搜索算法，可能存在誤差，具體的算法設(shè)計(jì)可進(jìn)行優(yōu)化。