基于直覺模糊優(yōu)化的雙邊匹配決策

郭 茜，吳 剛，汪雅婷

(西南交通大學(xué) 1.交通運輸與物流學(xué)院；2.綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國家工程實驗室；3.經(jīng)濟管理學(xué)院, 四川 成都 610031)

匹配決策問題是生產(chǎn)生活中大量存在的一類問題，自Gale等[1]提出以來，所受關(guān)注度與日俱增。Roth[2]進一步明確了雙邊匹配的概念，并結(jié)合現(xiàn)實中雙邊匹配的實例進行了詳細分析。目前解決此類問題的思路主要有兩大類，一類建立在序關(guān)系的基礎(chǔ)上，另一類建立在評價值的基礎(chǔ)上。基于序關(guān)系的雙邊匹配要求參與個體對另一方按照偏好程度有一個嚴格的排序，最終形成最優(yōu)穩(wěn)定匹配[3-4]?；谠u價值的匹配決策依據(jù)的是匹配雙方個體之間的互評信息，其目標是盡可能使匹配結(jié)果讓每一位參與個體感到滿意。評價值相較于序關(guān)系容易形成并較為具體，有利于形成滿意匹配方案[5-6]。本文研究的便是此類問題。

受制于思維的主觀性和局限性，匹配雙方的互評具有模糊本質(zhì)。模糊數(shù)學(xué)被引入解決此類問題，具有很好的現(xiàn)實意義。文獻[7]提出基于直接模糊偏好關(guān)系的雙邊穩(wěn)定匹配決策方法，無需一方主體給出另一方全體偏好序信息，利用直覺模糊偏好關(guān)系間接得到主體滿意度，然后建立穩(wěn)定匹配條件約束下的單目標優(yōu)化模型，獲得最優(yōu)匹配方案。文獻[8]建立了模糊環(huán)境下的目標規(guī)劃模型，以合理匹配人力資源，構(gòu)建跨職能團隊。相較于模糊集而言，直覺模糊集對于模糊信息的刻畫更為細致，并且靈活性與實用性兼具，本文的研究正是借鑒了直覺模糊集理論中有關(guān)概念和處理方法。

公平性是行為經(jīng)濟學(xué)中的一個重要概念。研究表明，個體的公平性感知對于滿意度影響顯著，較高的公平性感知能夠增強個體之間的信任感，從而促進從意愿向行為的轉(zhuǎn)化[9]。為此，公平性原則是管理機制設(shè)計中一個重要原則，本文在匹配過程中考慮了公平性原則。而要保證一定的公平性，就要在其他目標即匹配滿意度方面作出適度讓步。本文設(shè)計了一種交互式的匹配決策方法，從達到最優(yōu)總體滿意度的解出發(fā)，根據(jù)迭代過程中獲得的新信息并結(jié)合公平性水平參考區(qū)間修訂模型約束條件，在不同目標之間反復(fù)權(quán)衡，直至獲得最終滿意解。

1 直覺模糊集預(yù)備知識

模糊集的核心思想，是把取值僅為1或者0的特征函數(shù)擴展到可在單位閉區(qū)間[0,1]中任意取值的隸屬函數(shù)，其隸屬函數(shù)值是一個單一的值，不能同時表示肯定、否定和不確定的信息。為此，Atanssov[10]對模糊集進行了拓展，把模糊集推廣到同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面，以便更加細膩地刻畫客觀世界的本質(zhì)模糊性。近年來的直覺模糊集理論研究成果頗豐，因篇幅有限，下面僅介紹與本文相關(guān)的理論基礎(chǔ)知識。

定義1設(shè)X是一個非空集合，則稱

為直覺模糊集，其中μα(x)和 να(x)分別為X中元素x屬于α的隸屬度和非隸屬度，即

且滿足條件

此外

表示X中元素x屬于 α的不確定度。稱 α=(μα,να)為直覺模糊數(shù)，其中 μα∈[0,1]，να∈[0,1]，且 μα+να≤1。對于任一直覺模糊數(shù)，可以使用得分函數(shù)對其進行評估。

直覺模糊集在模糊集理論的基礎(chǔ)上增加了非隸屬度和不確定度的概念，即同時表達支持、反對和中立3種狀態(tài)，符合現(xiàn)實中人們對客觀事物的理解與描述。隸屬度與非隸屬度函數(shù)的構(gòu)造是模糊數(shù)學(xué)運用的難點之一，在工程技術(shù)領(lǐng)域中依賴于對大量歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，評價模型中則普遍采用三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、正態(tài)模糊數(shù)、云模型的形式。為了便于運算分析，本文采用三角模糊數(shù)的形式構(gòu)造匹配目標的隸屬度與非隸屬度函數(shù)，再將二者結(jié)合起來定義一個滿意度函數(shù)，以此衡量滿意度目標的實現(xiàn)水平。

2 基于直覺模糊優(yōu)化的匹配決策

2.1 問題描述

對于本文所討論的雙邊匹配問題，參與匹配的雙方為離散的主體，分別記為E={E1,E2,···,Em}與F={F1,F2,···,Fn}，m,n≥2，不失一般性，設(shè)m≤n。集合E中第i個主體Ei，與集合F中至多一位潛在對象匹配，其間能否形成匹配的主要依據(jù)為雙方的互相滿意程度以及對于匹配方案的滿意程度，下文簡稱為滿意度。以表示E方到F方即以E方為主體對于潛在匹配對象的實際滿意度，以表示F方到E方即以F方為主體對潛在匹配對象的滿意度，中的元素與中的元素均為直覺模糊數(shù)的形式。表示主體Ei對主體Fj的滿意程度為 μij(a)、不滿意程度為 νij(a)，同理表示主體Ei對主體Fj的滿意程度為 μij(b)、不滿意程度為νij(b)，所解決的主要問題是如何利用上述匹配信息，使用一種合理有效的方法形成雙方較為滿意的匹配方案。本文利用直覺模糊理論中的隸屬度與非隸屬度的概念定義總體滿意度函數(shù)，將經(jīng)典的雙目標匹配決策模型轉(zhuǎn)換單目標模型，并將公平性因素納入模型中，通過設(shè)計交互式算法在滿足一定公平性的前提下實現(xiàn)總體滿意度最大化。

2.2 匹配決策方法

模型LP1是一個典型的雙目標0-1規(guī)劃問題。為了便于求解，通常將其轉(zhuǎn)化為單目標問題來處理。除了對目標系數(shù)進行簡單的線性加權(quán)以外，有文獻還提出了考慮主體雙方互補性和一致性的目標系數(shù)組合方法，在一定程度上改進了加權(quán)法的局限性。實際應(yīng)用中，如果主體雙方的決策信息無法做到全面、精確，其滿意度究竟要達到何種程度也是一個模糊目標。下文引入直覺模糊理論中的隸屬度與非隸屬度的概念對模糊目標進行量化，然后使用直覺優(yōu)化模型以獲得靈活、滿意的解。將目標函數(shù)f1(x)和f2(x)的隸屬度函數(shù)分別定義為

圖1 目標函數(shù)f1的隸屬度與非隸屬度函數(shù)Figure 1 Membership degree and non-membership degree

s1(f1(x))、s2(f2(x))代表單方主體的整體滿意度，可以s1(f1(x))與s2(f2(x))之和最大化為目標構(gòu)建最優(yōu)化模型(LP2)

模型(LP2)中，約束條件(11)說明其可行解必須滿足模型(LP1)的所有約束。約束條件(12)對可行解的滿意性作出限制：目標函數(shù)f1(x)和f2(x)的隸屬度值不能低于非隸屬度值，即單方主體的整體滿意度非負。根據(jù)直覺模糊集的相關(guān)定義，其元素的隸屬度與非隸屬度之和小于1，這一點在約束(13)中得以體現(xiàn)。如果以最大化主體雙方的最小滿意度為目標，可建立優(yōu)化模型(LP3)

上述模型中僅考慮了主體雙方的滿意度的實現(xiàn)程度，而在很多情況下公平性也是衡量決策方案的一個重要方面。兼顧公平性的方案能夠降低主體雙方利益沖突，提升匹配決策的質(zhì)量和效率。如果對模型(LP2)或(LP3)產(chǎn)生有效解的公平性不滿意，可采用交互滿意的決策方法，在模型(LP2)或(LP3)局部有效解的基礎(chǔ)上逐步改進，直至得到最終滿意解為止。令作為公平性水平的衡量，雙方在協(xié)商基礎(chǔ)上事先設(shè)定 η允許的取值區(qū)間為求解模型(LP2)或(LP3)，所得有效解x?如果能夠滿足公平性條件則x?為最終的公平滿意解，否則重新尋找新的有效解，策略如下。

1)當 η＜ηL時，將目標函數(shù)為f1(x)的主體的滿意度水平從此時θ1的 提升至

2) 當η ＞ηL時，將目標函數(shù)為f2(x)的主體的滿意度水平從此時θ2的 提升至

3) 新的有效解通過求解模型(LP4)或模型(LP5)得出。

新的有效解如果滿足公平性條件，則將其作為整體滿意解輸出，決策過程停止；否則，根據(jù)上述策略進行更新，直至所得到的有效解滿足公平性條件為止。綜上所述，基于直覺模糊優(yōu)化的交互式匹配決策方法的步驟如下。

步驟1根據(jù)主體雙方的匹配意愿，分別構(gòu)建E方與F方的直覺模糊匹配矩陣與并設(shè)置雙方可接受的公平性水平 η的參考區(qū)間 ηL,ηH；

步驟2采用適當?shù)牡梅趾瘮?shù)將直覺模糊匹配矩陣與轉(zhuǎn)化為得分矩陣與依據(jù)得分矩陣與建立匹配決策模型(LP1)；

步驟3針對模型(LP1)，分別求解單目標問題與的最優(yōu)解，得到相應(yīng)的最優(yōu)目標函數(shù)值為

步驟4依據(jù)式(6)、式(7)定義直覺模糊隸屬度函數(shù)μ1(f1(x)) 與μ2(f2(x))，依據(jù)式(8)、式(9)定義直覺模糊非隸屬度函數(shù)ν1(f1(x))與 ν2(f2(x))；

步驟5根據(jù)式(10)所定義的滿意度函數(shù)，構(gòu)建最大化主體雙方滿意度之和的匹配決策優(yōu)化模型(LP2)或主體雙方最小滿意度最大化的匹配決策優(yōu)化模型(LP3)，求解該模型得到最優(yōu)解x?；

步驟6檢驗最優(yōu)解x?能否滿足公平性條件，即是否位于區(qū)間

步驟7若x?滿足公平性條件，算法停止，輸出x?為該匹配問題的公平滿意解，否則轉(zhuǎn)下一步；

步驟8依據(jù)上述策略調(diào)整相應(yīng)主體的滿意度水平，將其作為約束條件構(gòu)建滿意度之和最大化模型(LP4)或最小滿意度最大化模型(LP5)，求解該模型得到最優(yōu)解x??，然后轉(zhuǎn)步驟6。

另外，實際應(yīng)用中存在一方主體具有一定的主導(dǎo)地位的情況，即要求一方主體的滿意度不能低于另一方的滿意度，并且要確保一定的公平性。此時可在模型(LP2)~(LP5)中增加約束條件s1(f1(x))≥s2(f2(x)) 或s2(f2(x))≥s1(f1(x))，其余步驟流程不變，為此本文不作贅述。

3 算例分析

下文提供一個技術(shù)服務(wù)供需匹配的算例闡明所提決策方法，并驗證其可行性和有效性。某第三方中介機構(gòu)的主營業(yè)務(wù)是為中小型投資者收集新技術(shù)、產(chǎn)品或服務(wù)等項目信息，在供需雙方之間起牽線搭橋的作用。項目信息發(fā)布后一段時間內(nèi)，有明確合作意向的投資方有4家，而目前有5個待投資技術(shù)項目，鑒于資金、人員等多方面因素限制，一家投資方只能投資一個項目。為合理決策，盡可能形成滿意的雙邊匹配，該機構(gòu)收集和整理了雙方的相關(guān)信息，通過人員調(diào)查與專家訪談?wù)髟冸p方意見，形成投資方和項目提供方的滿意度評價矩陣。與上述模型中表述保持一致性，記投資方為E={E1,E2,E3,E4} ，待投資技術(shù)項目為雙方的滿意度互評矩陣分別記為由于存在諸多影響雙方主體匹配意愿與滿意度的不確定因素，與中的元素便于以直覺模糊數(shù)的形式給出，詳見表1與表2。

表1 E 對 F 滿意度的直覺模糊矩陣Table 1 Satisfaction degree matrix given by E for F

表2 F 對 E 滿意度的直覺模糊矩陣Table 2 Satisfaction degree matrix given by F for E

π(α)代表直覺模糊集的猶豫度，該函數(shù)綜合考慮了贊成、反對和棄權(quán)3個方面，是對傳統(tǒng)得分函數(shù)的改進。利用其計算出得的分矩陣A與B分別為

根據(jù)上文所述方法步驟，建立基本匹配決策模型(LP1)，?代表(LP1)的可行域。求解單目標問題得到再依據(jù)式(1)、式(2)定義目標函數(shù)的直覺模糊隸屬度函數(shù)，下面以f2(x)為例說明

以上4個子模型與該模型利用Matlab編程求解，輸出的最優(yōu)解為最優(yōu)目標值為1.52，且η=0.61。如果事先將公平性水平的參考區(qū)間設(shè)置為[0.7，1.2]，則該解未能滿足公平性條件，需要根據(jù)所提策略進行調(diào)整。根據(jù)上述優(yōu)化結(jié)果，利用模型(LP4)求解新的最優(yōu)解如下。

相較于最初的模型，該模型增加了對一方主體滿意度水平的約束，是因為雖然使用最初的模型可以最大化雙方的滿意度之和，但是其公平性水平并不在參考區(qū)間內(nèi)。目標函數(shù)為f1(x)主體方的滿意度水平為0.57，遠低于f2(x)主體方的滿意度水平，其決策結(jié)果有失公平必須進行調(diào)整。按照2.2節(jié)所提策略，通過協(xié)商將f1(x)主體方的滿意度水平在現(xiàn)有結(jié)果的基礎(chǔ)上適當提升，即將s1(f1(x))調(diào)整為0.7以上，運行模型得到最優(yōu)解為最優(yōu)目標值1.46；此時s1(f1(x?))=0.76，s2(f1(x?))=0.70 ，η=1.08。經(jīng)調(diào)整后的最優(yōu)目標函數(shù)值雖然略次于原最優(yōu)目標函數(shù)值，但是其公平性水平滿足預(yù)先設(shè)定要求，可以作為最終的匹配方案，即E1與F4、E2與F3、E3與F5以及E4與F1形成匹配對?，F(xiàn)實中的很多決策經(jīng)常難以一次性達成一致，需要經(jīng)過反復(fù)交互協(xié)商才能達成共識。本文所提方法正是出于這樣的考慮，在第一步的優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上對主體滿意度水平作出適當調(diào)整，以保證決策結(jié)果具有一定的公平性。交互式的匹配決策方法還有很大的研究空間[10-13]，今后將在信息補充、算法設(shè)計上繼續(xù)努力。

4 結(jié)論

雙邊匹配問題因其廣闊的應(yīng)用背景而受到近年來研究界的廣泛關(guān)注，本文研究的是基于匹配雙方評價值進行決策的情況。借鑒直覺模糊集理論中模糊信息的表達與處理方法，構(gòu)造反映決策目標實現(xiàn)水平的滿意度函數(shù)，并將公平性因素納入決策模型中。通過設(shè)計交互式算法，結(jié)合迭代過程中獲得的新信息和公平性水平參考區(qū)間修訂模型的約束條件，為實現(xiàn)一定的公平性作出適當權(quán)衡。由于匹配問題特別是人員參與的匹配決策，受其認知能力、心理、情緒、經(jīng)驗等主觀因素的影響較為顯著。將更多人的心理行為引入匹配過程，體現(xiàn)其“有限理性”的特征，可以作為未來研究的一個思路。