基本不等式模塊復(fù)習(xí)要注意的幾個問題

安徽 朱啟州

基本不等式具有將“和式”與“積式”互化的放縮功能，應(yīng)用廣泛.在教學(xué)中要強化因式制宜，運用合理拆添項、配湊等恒等變形，創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用條件.應(yīng)用基本不等式的步驟可概括為“一正二定三相等”，需特別注意滿足取等號的條件.與完全平方式等恒等式的應(yīng)用一樣，基本不等式應(yīng)用只有達到精熟，才能當(dāng)用時用、呼之即來.現(xiàn)就基本不等式模塊復(fù)習(xí)教學(xué)談?wù)勛约旱囊稽c體會，供讀者參考.

一、重視梳理基本不等式幾種常見形式及其之間的關(guān)系

從上述恒成立的不等式可以看出，這些不等式的根源是(a-b)2≥0.理解掌握基本不等式的幾種常見形式，是我們應(yīng)用基本不等式正確解題的知識基礎(chǔ)，應(yīng)用時特別要注意每個不等式成立的條件.

二、不可忽視基本不等式的文化背景、幾何意義

圖1

圖2

圖3

三、理解函數(shù)、方程、基本不等式之間的本質(zhì)聯(lián)系，重視函數(shù)方法

基于此，在應(yīng)用基本不等式求最值問題時，我們也會考慮利用函數(shù)方法.

【例1】在正項等比數(shù)列{an}中，a4+a3-a2-a1=5，則a5+a6的最小值為________.

【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a1>0,q>0，

因為5=a4+a3-a2-a1=a1q3+a1q2-a1q-a1=a1(1+q)(q2-1)，

解法二：令q2=m，顯然m>1，

所以a5+a6的最小值為20.

【說明】解法一就是以函數(shù)視角為出發(fā)點來解題的，解法二從應(yīng)用基本不等式的角度來解題的，但共同點都需要對目標(biāo)式進行合理的變形，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

這一模塊復(fù)習(xí)的目的就是讓學(xué)生掌握運用基本不等式求最值方法，掌握常見代數(shù)式變形方法，拓寬了求最值的思路.當(dāng)然，本模塊的復(fù)習(xí)目的是在函數(shù)、方程、不等式高度融合的基礎(chǔ)上實現(xiàn)知識的成網(wǎng)成塊，從而實現(xiàn)學(xué)生解題素養(yǎng)的提升.

四、通過對比體驗認識應(yīng)用基本不等式的必要性

既然利用函數(shù)模型可以代替基本不等式解決問題，為什么還要學(xué)習(xí)基本不等式呢？打個比方，正如我們在初中階段學(xué)習(xí)了整式運算和乘法公式一樣，正是因為應(yīng)用基本不等式解決問題廣泛與便利，所以學(xué)習(xí)和掌握基本不等式是很有必要的.下面舉一例說明.

運用重要不等式，關(guān)鍵是要依據(jù)目標(biāo)式的特點進行變形，以能運用重要不等式.

下面運用函數(shù)方法，就需要化二元代數(shù)式為一元代數(shù)式，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

Δ=(4-10y)2-4(6y-1)(4y-2)=4y2-16y+8≥0，

五、掌握應(yīng)用基本不等式幾個常見模式

1.由目標(biāo)式特點湊成定值是運用基本不等式解題的關(guān)鍵

【解析】由a>b>c>0，

【說明】根據(jù)問題提供的條件，湊出和或積為定值往往是解題的關(guān)鍵，因此基于目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征進行變形，湊出定值的變形就顯得更為重要.

2.“一正二定三相等”，切實檢查等號是否成立

【例5】下列命題:

【說明】“一正二定三相等”是應(yīng)用基本不等式的重要步驟，要切實驗證每一步驟成立的條件，不能敷衍了事.

3.常數(shù)代換是最常運用的模式

【解析】因為a+b=2，b>0，

【說明】常數(shù)代換方法常見于條件代數(shù)式與目標(biāo)代數(shù)式分別是整式與分式的情況，目的是實現(xiàn)目標(biāo)代數(shù)式整式與分式等不同形式的轉(zhuǎn)換，或湊出積式或和式為定值，從而為應(yīng)用基本不等式創(chuàng)造條件，如2019年全國卷Ⅰ第23題.