高考復(fù)習(xí)沖刺階段“能力型”問題的教學(xué)策略

湖南 楊育球

能力型問題是高考命題創(chuàng)新的亮點(diǎn)題型，其特點(diǎn)是：通過給出新知識、新方法或新情境等信息，要求考生用自己已掌握的知識、技能和方法，借助題干信息解決新問題.它主要用來考查考生臨場閱讀、提取信息、處理信息所需的各種思維方法(如比較、分類、分析、綜合、歸納、演繹、類比等)及分析問題和解決問題的能力.在緊張的高考考前沖刺備考階段，如何使我們的復(fù)習(xí)教學(xué)取得事半功倍的效果？無疑重視能力型問題是使復(fù)習(xí)教學(xué)的成效更上一層樓的有效途徑.

一、通過“新信息”能力型問題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性

所謂“新信息”能力型問題，就是在常規(guī)題的基礎(chǔ)上，要么給出新的定義，要么將有關(guān)信息進(jìn)行遷移，或者針對某一問題展開研究性學(xué)習(xí)，進(jìn)而產(chǎn)生的一些“一反常態(tài)”的新型問題.這類問題要求考生能夠針對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性.

A.a※b=b※a

B.μ(a※b)=(μa)※b=a※(μb)(μ∈R)

C.(a+b)※c=a※c+b※c

D.若e是單位向量，則|a※e|>|a|

以上結(jié)論一定正確的是( )

解析：當(dāng)a,b共線時，a※b=2|a-b|=2|b-a|=b※a，當(dāng)a,b不共線時，a※b=a·b=b·a=b※a，故A正確；當(dāng)μ=0,b≠0，μ(a※b)=0，(μa)※b=2|0-b|≠0，故B錯誤；當(dāng)a+b與c共線時，則存在a,b與c都不共線，(a+b)※c=2|a+b-c|，a※c+b※c=a·c+b·c，顯然2|a+b-c|≠a·c+b·c，故C錯誤；當(dāng)e與a不共線時，|a×e|=|a·e|=|a|·|e|=|a|，故D錯誤.綜上，應(yīng)選A.

點(diǎn)評：本題是“新定義運(yùn)算”的信息創(chuàng)新問題.解決這類創(chuàng)新題的關(guān)鍵是“讀懂法則,緊扣法則，適當(dāng)運(yùn)算，適當(dāng)用特例或特值處理”. 這類創(chuàng)新題要求考生要善于抓住新信息的主干，靈活運(yùn)用所給法則解決問題.

【例2】定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1(x>-2，n∈N*且n>1).

(Ⅰ)求證：fn(x)≥nx；

(Ⅱ)是否存在區(qū)間[a，b]?(-∞，0]，使函數(shù)h(x)=f3(x)-f2(x) 在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，b]；若不存在，請說明理由.

解析：(Ⅰ)令g(x)=fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx，則g′(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1]，當(dāng)-20時，g′(x)>0，所以g(x)在(-2，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x=0時，g(x)min=g(0)=0，即g(x)≥g(x)min=0，所以fn(x)≥nx.

(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，則h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2，所以h′(x)=(1+x)2+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x).

其大致圖象如圖所示：

方法2.由題易知k>0，b=0.

點(diǎn)評：本題涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)值域和不等式等知識，是融合“新定義遷移、綜合性、開放性和探索性”于一體的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)探索性問題，重在考查導(dǎo)數(shù)知識以及數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用.存在型探索問題是近年來高考的熱點(diǎn)題型，求解這類問題，應(yīng)做到大膽預(yù)測、小心求證、思路清晰、過程規(guī)范.求解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的探索性問題主要有兩個途徑：一是先假設(shè)符合題意的條件存在，然后把結(jié)論作為條件，進(jìn)行分析，探求出條件后，再進(jìn)行證明;二是先假設(shè)符合題意的條件存在，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；反之，肯定結(jié)論. 求解條件組合型問題，需通過對條件的反復(fù)組合試驗(yàn)，進(jìn)行逐一嘗試探求.

二、通過“新方法”能力型問題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

所謂“新方法”能力型問題，就是在問題的題干中給出的信息是一種全新的思維方式或方法型的知識.在解答這類能力型試題時，考生必須把試題所給的新知識納入到自己已有的知識結(jié)構(gòu)中來，與已有知識整合形成新的知識結(jié)構(gòu)，再運(yùn)用它來解決問題，從而培養(yǎng)思維的靈活性.

【例3】三位同學(xué)合作學(xué)習(xí)，已知區(qū)域Ω={(x,y)|1≤x≤2,2≤y≤3}內(nèi)的數(shù)對(x,y)滿足不等式xy≤ax2+2y2,求a的取值范圍”提出了各自的解題思路.甲說：“可視x為變量，y為常量來分析”.乙說：“尋找x與y的關(guān)系，再作分析”.丙說：“把字母a單獨(dú)放在一邊,再作分析”.參考上述思路，或自己的其他解法，可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

答案：[-1，+∞)

解析:方法1.甲的思路：原不等式可化為f(x)=ax2-yx+2y2≥0，當(dāng)x∈[1，2]時，恒成立.

因?yàn)閥∈[2，3]，所以-1≤a<0；

②當(dāng)a=0時，f(x)=-yx+2y2，因?yàn)閥∈[2,3]，所以f(1)=2y2-y∈[6，15]，f(2)=2y2-2y∈[4，12]，所以f(x)>0，符合題意；

綜上所述，a∈[-1，+∞).

當(dāng)Ω={(x，y)|1≤x≤2,2≤y≤3}時，1≤t≤3.

【例4】已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是________，最大值是________.

解析：根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系.如圖，記∠AOB=α，則0≤α≤π.

點(diǎn)評：本題充分挖掘向量與解析幾何都具有數(shù)與形的雙重身份這一特點(diǎn)做文章，利用圓的幾何性質(zhì)和向量加法運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離進(jìn)而借助新“圓”模型，數(shù)形結(jié)合解決問題，很好地考查了考生思維的靈活性.

本題首先依據(jù)向量加、減運(yùn)算的幾何意義構(gòu)造平行四邊形，然后利用余弦定理將兩向量和與差的模表示為角的三角函數(shù)，進(jìn)而換元來構(gòu)造“圓(弧)”模型，利用直線與圓的位置關(guān)系求解，充分體現(xiàn)“構(gòu)造思想”在解題中的運(yùn)用和直觀想象素養(yǎng)的滲透.本題的兩空屬并列關(guān)系.

三、通過“新情境”能力型問題的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

所謂“新情境”能力型問題，就是在問題中設(shè)置新的情境、或選擇不同條件，給出閱讀材料，抑或以數(shù)據(jù)(表格或圖象)的形式給出，要求考生在觀察、分析、推理、比較、概括和探索的基礎(chǔ)上，找到解決問題的方法和途徑，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

【例5】在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值;若k不存在，說明理由.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，________，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1，且Sk+1

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解析：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{bn}中，b2=3，b5=-81，所以公比q=-3，從而bn=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2，所以a5=b1=-1.

若存在k，使得Sk>Sk+1，即Sk>Sk+ak+1，從而ak+1<0；

同理，若使得Sk+10.

方法1:若選①，由b1+b3=a2，得a2=-1-9=-10，所以an=3n-16，當(dāng)k=4時，滿足a5<0，且a6>0成立.

若選②，由a4=b4=27，且a5=-1，得數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故不存在ak+1<0，且ak+2>0.

又k∈N*，從而k=4滿足題意.

若選②或選③，仿解法1解決.

點(diǎn)評：本題是條件和結(jié)論均開放的探索性問題，在不同的條件下進(jìn)行了結(jié)論的探索，考查了等差和等比數(shù)列知識的綜合運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【例6】幾何特征與圓柱類似，底面為橢圓面的幾何體叫做“橢圓柱”. 圖1所示的“橢圓柱”中，A′B′,AB和O′,O分別是上、下底面兩橢圓的長軸和中心，F(xiàn)1,F2是下底面橢圓的焦點(diǎn).圖2是圖1“橢圓柱” 的三視圖及尺寸，其中俯視圖是長軸在一條水平線上的橢圓.

圖1

圖2

(1)若點(diǎn)M,N分別是上、下底面橢圓的短軸端點(diǎn)，且位于平面AA′B′B的兩側(cè).

①求證：OM∥平面A′B′N；

②求平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角的余弦值.

解析：(1)①連接O′M,O′N，∵O′O⊥平面A′B′N′，O′M?平面A′B′N′，∴O′O⊥O′M.

∵O′M⊥A′B′，O′O?平面AA′B′B，A′B′?平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，∴O′M⊥平面AA′B′B.

類似可證得ON⊥平面AA′B′B，∴O′M//ON.

又∵O′M=ON， ∴四邊形ONO′M為平行四邊形，∴OM∥O′N.

又∵OM?平面A′B′N,O′N?平面A′B′N，

∴OM∥平面A′B′N.

∵z軸⊥平面ABN，∴可取平面ABN的一個法向量n1=(0,0,1).

設(shè)平面ABN與平面A′B′N所成銳二面角為θ，

又∵NF1,NF2?平面ABN，∴NN′⊥NF1,NN′⊥NF2.

點(diǎn)評：本題以由平面圖形向空間圖形進(jìn)行升維類比得到“橢圓柱”，創(chuàng)設(shè)新的問題情境，結(jié)合三視圖證明線面平行和求解二面角的余弦值；進(jìn)而直觀判斷tan(α+β)的取值范圍，并進(jìn)行了證明.多方面的知識、方法融合于一題，可謂是一道研究性學(xué)習(xí)的經(jīng)典試題.

在高考復(fù)習(xí)沖刺階段時間緊、任務(wù)重的情況下，如何通過能力型問題的教學(xué)使學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力得到進(jìn)一步提升，是擺在每一位高三老師面前的課題.為數(shù)不少的老師往往以沒有時間為借口，不愿花費(fèi)精力指導(dǎo)學(xué)生對一些具有數(shù)學(xué)思維價值的典型問題做深入地探索，而是讓學(xué)生一味地做題，一題一題的刷，整套整套的做，只是為“解題”而解題，而不去考慮如何“解題”.這樣做的結(jié)果往往適得其反，表面上看學(xué)生每天都沉浸在高壓的學(xué)習(xí)下，但學(xué)生復(fù)習(xí)效率低下，并沒有太大的效果，當(dāng)學(xué)生在高考中遇到數(shù)學(xué)思維性強(qiáng)且需要探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力型問題時，就束手無策了.問題解決是數(shù)學(xué)高考的“主旋律”，即使是高考前的復(fù)習(xí)沖刺，教師也要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念和教學(xué)方式，對一些能力型試題，多研究、多探索和多歸納，唯有如此，才能達(dá)到提高復(fù)習(xí)效率的目的.