高考圓錐曲線解題教學關(guān)鍵
——坐標法

北京 白志峰 于艷梅

高考圓錐曲線試題思想方法交匯強，能力要求高.試題通過解題策略的選擇、解題障礙的突破區(qū)分不同層次的考生，是拉開考生分數(shù)檔次的關(guān)鍵題目之一.

綜觀各套高考試題，多以直線與橢圓為載體.試題入口低、觀點高，突出考查解析幾何的基本知識、基本思想，兼顧對數(shù)學思想和數(shù)學能力的考查.試題從學科的知識交匯與思想體系去認識、把握解析幾何的核心思想——用代數(shù)的方法解決幾何問題,其核心的解題方法是坐標法.

所謂坐標法，就是建立坐標系，把幾何對象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對象，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)工具、方法研究并獲得結(jié)論，然后再解釋幾何對象.

一、圓錐曲線的解題教學方面存在兩個不良傾向

其一，刻意地把幾何條件的轉(zhuǎn)化當做所謂的“亮點”.有的教師選擇一些幾何條件復雜、不易轉(zhuǎn)化利用的題目，竭力分析如何巧妙轉(zhuǎn)化，這樣雖然能增加教師授課的吸引力，但沖淡了解析幾何基本思想的落實.有的教師從幾何條件的分析轉(zhuǎn)化出發(fā)，列出多種方法，剩下的運算留給學生完成.事實上，幾何條件的轉(zhuǎn)化是為坐標法的順利實施提供支持的.考生在讀懂題意方面沒有較大障礙，大多能夠盡快理清條件信息，找到解題思路.其中，幾何條件的轉(zhuǎn)化并不復雜.

其二，過分的模式化訓練.多數(shù)教師習慣于題型歸類、方法總結(jié).比如有的教師從易到難劃分題型：位置關(guān)系問題、最值與范圍問題、定點與定值問題、存在性探索性問題等等，并且進行解題訓練.通過各類題目總結(jié)許多“解題模式”，這樣會給學生帶來負面的“條件反射”.事實上，不管何種題型、不論如何變化，最常用的方法是坐標法.

二、落實好坐標法需把握好如下三個問題

第一，教師要善于促使學生形成可行的解題思路并進行有效的變通.

解題思路的形成是解題者根據(jù)題目條件提供的信息和結(jié)論的目標指向，結(jié)合大腦儲存的數(shù)學知識、思想、方法，共同作用的結(jié)果.條件是基礎(chǔ)，結(jié)論是方向，變通是關(guān)鍵.教學實踐表明，學生在解答圓錐曲線綜合題時不是沒有思路，而是存在以下兩個問題：一是解題思路不可行，二是思路可行但變通不暢.找準了問題的關(guān)鍵，也就找到了教學的著力點.所以教學中教師既要善于促使學生形成可行的解題思路，又要善于促使學生形成有效的變換與溝通.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】(Ⅰ)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1)；

(Ⅱ)第一步：分析題意，形成思路.

可用條件：①P在橢圓x2+3y2=4(x≠±1)上；②直線AP和BP分別與x=3交于點M,N；③S△PAB=S△PMN.

目標指向：P點坐標(若存在).

這里必須明確何為P點存在？何為P點不存在？

設(shè)P(x0,y0)，若關(guān)于x0(或y0)的方程有解，且x0∈[-2,2]時，則P點存在，否則P點不存在.于是就需要建立關(guān)于x0的方程，那么如何建立呢？考慮條件③，面積相等是幾何條件，其代數(shù)表達如何？思路由此展開.

接下來，需將④，⑤坐標化.設(shè)點M，N的坐標分別為M(3,yM)，N(3,yN),

由④? 2|x0+y0|=|yM-yN|(3-x0),⑥

由⑤?|PM|×|PN|=|PA|×|PB|,⑦

第二步：合理轉(zhuǎn)化，有效變通.

⑥的問題是字母過多,如何減少,這就是變通的問題了.條件②的本質(zhì)是三點共線,可實現(xiàn)用P點坐標表示M,N的坐標：

法一：利用直線AP與直線x=3求交點M，直線BP與直線x=3求交點N；

法二：利用kAP=kAM，kBP=kBN；

第三步：規(guī)范書寫，完成解答.

根據(jù)以上分析，不難形成多種解題方法，這里略.

只有第一、第二兩步處理的合理到位，才能形成有效的解題思路，教師的引導作用的重點應該在第二步，第一步和第三步只要留足一定的時間和空間，學生是能夠獨立完成的.

有效的解題策略、思路、方法，不是教師告訴學生的，而是學生自己生成的.教師要回避“告訴式”的教學方式.教師的作用是引導學生找到一種正確的、可行的思路，并且經(jīng)過一段時間的訓練成為學生的自發(fā)行為.

教學時應該圍繞坐標法展開，從不同角度切入，用多種方法解答.既要重視一題多解，又要重視多題一解.通過一題多解開拓思路，通過多題一解把握本質(zhì).

第二，教師不能一味引導學生規(guī)避運算，要讓學生想得出來、算得出來.

數(shù)學運算是數(shù)學核心素養(yǎng)之一.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算方法、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到運算障礙而調(diào)整運算的能力.解析幾何試題承載著高考對運算能力的考查要求，試題對于運算量的大小、運算長度及運算障礙的設(shè)置都是經(jīng)過慎重考慮的，在整個試卷里是合理配套的，因而運算能力也是考生應該具備的，不可回避的.

【例2】已知拋物線y2=4x，點R(1,2)，過點Q(1,1)作直線交拋物線C于不同兩點A，B，若直線AR,BR分別交直線l：y=2x+2于點M，N，求|MN|最小時直線AB的方程.

【解析】教學時，發(fā)現(xiàn)一學生給出如下解法片段：

至此停滯不前，怎么辦？學生的解題思路何嘗不是立足根本，中規(guī)中矩的解法呢！而且極具代表性.該生能算到這一步確實不易，說明他的運算很準確，值得肯定與表揚.所以教師不要急于拋出自己的想法，或急于展示其他學生的成功解法.應該順應該生思路，引導學生共同分析、評價，找出問題，找出方法，讓學生在比對與評價中學會處理問題.

停滯不前的原因顯然是變量過多.如何減少變量呢？肯定還有一些條件未利用.這個原因一經(jīng)提出，眾生發(fā)現(xiàn)：

師：“好！點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程，反之呢”？

生：“點的坐標滿足曲線的方程，則該點在曲線上.”

師：“這正是解析幾何的基本思想之一.之所以停滯不前，是因為這種意識不強烈.”

教師要抓住這一有利時機，幫助學生強化點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程；反之，點的坐標滿足曲線的方程，則點在曲線上，這一解析幾何基本思想的理解和認識.此時此刻，學生的思維是活躍的.又有不少學生發(fā)現(xiàn)將④代入①②先化簡，再解交點更簡單.

教師肯定與表揚之后，留出時間讓學生做下去，看誰做得又對又快！在最后處理目標函數(shù)最值時，又是一個節(jié)點，本文不再贅述.

第三， 教師要善于發(fā)揮順勢而為的教學價值.

( )

但到此停滯不前，有的放棄，有的“死算” . 難道解法不可行？為什么通法“不通”，“阻”在何處？面對這樣的情況，教師該怎么處理？畢竟是學生自己的思路，而且是非常合理的，學生已經(jīng)避開利用余弦定理求解的途徑，說明經(jīng)過了充分的思考 .教師要善于發(fā)揮順勢而為的教學價值.

面對①式怎么辦？順勢而為的第一個結(jié)點：

k1,k2有什么關(guān)系——順勢而為的第二個結(jié)點：

解得m≤1或m≥9，又0

焦點在y軸上時，由學生自己完成，目的是及時鞏固以上方法，達到真正理解，起到舉一反三的效果. 此時得出結(jié)論：m≥9.

當然，我們不一定提倡考場上這樣解題，但是在習題課上如此“認死理”的解答，重在解答過程中所經(jīng)歷的體驗和學到的東西，培養(yǎng)學生求真務(wù)實的科學精神和鍥而不舍的意志品格，這正是新版課標中所提倡的必備品格.

本題利用“橢圓短軸端點對兩焦點的張角最小”，可以簡便求解，這里不再贅述.

課堂上留足時間、空間讓學生想出來、做出來，并進行“策略選擇、運算方法、障礙調(diào)整”等方面的反思、提煉.通過這樣的過程可以讓學生體驗成功的樂趣，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，培養(yǎng)鍥而不舍的意志品質(zhì).

新一輪課改后的高考改革已見端倪.解析幾何綜合題依然是高考的熱點和重點，必將常考常新，所以難免由陌生之感而產(chǎn)生難度.但無論如何，都不會離開解析幾何的學科本質(zhì).解題教學的重點是有效的解題思路的形成和運算的順利進行.說到底就是要：明確一種思想——用代數(shù)的方法解決幾何問題、強化一種方法——坐標法、樹立一種態(tài)度——解決問題、培養(yǎng)一種品質(zhì)——不服輸.