一道三角問題的多解切入與思考

江西 黃邦活

“八仙過海，各顯神通”，很多數(shù)學(xué)問題都可以從不同角度去思考，從有限的信息中尋找切入點(diǎn)，架設(shè)合適的橋梁，開拓解題思路，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的易于解答的新問題，來實(shí)現(xiàn)對原問題的解答，得到解題的有效方法.

【問題提出】

【問題分析】

1.根據(jù)AD=3,如何得到關(guān)于b,c的關(guān)系式？

切入點(diǎn)1：考慮平面幾何知識，根據(jù)對角線互相平分，補(bǔ)成平行四邊形，由余弦定理列式.

因?yàn)锽D=CD，所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，如圖所示，延長AD至F，使得AD=DF，則ABFC是平行四邊形，則AF=2AD=6，∠ABF=180°-∠CAB=60°.

在△BAF中，由余弦定理得AF2=AB2+BF2-2AB·BFcos∠ABF,得b2+c2-bc=36.

切入點(diǎn)2：通過建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式來列式.

整理得b2+c2-bc=36.

切入點(diǎn)1：由于AE是△ABC的角平分線，可以考慮角平分線定理中的線段比例關(guān)系，根據(jù)邊角關(guān)系及余弦定理，建立等量關(guān)系.

因?yàn)椤螧AC=120°，所以∠BAE=∠CAE=60°.

切入點(diǎn)2：建立直角坐標(biāo)系，由B,E,C三點(diǎn)共線得到點(diǎn)E的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出等量關(guān)系.

3.根據(jù)1,2的結(jié)論，又如何求BC呢？

切入點(diǎn)：因?yàn)樵凇鰽BC中有BC2=b2+c2+bc，若聯(lián)立1,2中的結(jié)論通過解方程組解得b,c，計(jì)算麻煩，若觀察待求式子的結(jié)構(gòu)，整理處理，只需要分別得到b2+c2，bc便可以迎刃而解了.

整理得(bc)2-6bc-72=0，解得bc=12，

從而b2+c2=bc+36=48，

【題后思考】

1.總結(jié)解題規(guī)律，提煉解題方法

同一類型的問題，解題方法往往有其規(guī)律，當(dāng)一個問題解決后，應(yīng)認(rèn)真總結(jié)，從解決問題中找出普遍適應(yīng)的內(nèi)容，以現(xiàn)在解決問題的經(jīng)驗(yàn)幫助我們后續(xù)的問題解決.

從以上問題的分析與解答，我們可以看出：對于與三角形有關(guān)的問題，一是可以直接由正弦定理、余弦定理以及面積公式求解；二是可以運(yùn)用平面向量的基底思想，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、夾角與模來運(yùn)算；三是通過建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用解析法求解；四是利用圖形的幾何特征，通過補(bǔ)形與切割求解.

比較解法，可以得出：涉及三角形的中線長度，利用向量法，“單刀直入”，由向量運(yùn)算與模之間的轉(zhuǎn)化，可以快速求解；涉及三角形的角平分線長度，利用角平分線將三角形分割成兩個小三角形，利用面積之間的等量關(guān)系，以及三角形的面積公式，則運(yùn)算簡單而快捷.

2.運(yùn)用問題變式，提升數(shù)學(xué)思維

題海戰(zhàn)術(shù)往往是“以多勝少”“就題論題”，在長期的題海訓(xùn)練中會身心疲憊，學(xué)生的學(xué)習(xí)會逐漸步入“低效率、重負(fù)擔(dān)、低質(zhì)量”的惡性循環(huán)中.適當(dāng)通過不同角度、層次、情境進(jìn)行變式訓(xùn)練，不僅可以克服這些缺點(diǎn)，而且可以做到方法歸納，題目歸類，尋找數(shù)學(xué)問題本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，開拓解題思路，突破思維束縛，形成良好的思維品質(zhì)，真正增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，從而達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.

解答問題之后，我們可以變更結(jié)論與條件，從三角形邊角、中線、角平分線、垂線、面積中選取變更條件，可以設(shè)置如下變式：

變式4在△ABC中，∠BAC=120°，D為邊BC上的點(diǎn)，且BD=CD，若AD=3，則△ABC的面積的最大值為________.

變式5在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為________.

3.回歸重視教材，發(fā)揮典例功能

我們知道，精心構(gòu)思的教材習(xí)題，不僅是學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是重要結(jié)論、命題、定理或數(shù)學(xué)思想的載體，更是編擬各類試題的源泉.因此，不少高考數(shù)學(xué)試題題目及思想“取材于教材，但又不拘泥于教材”，在典型問題身上往往能找到它們的“基因”，通過變形、改編與組合重組，展現(xiàn)典型問題的“魅力”.因此，隨著高考的臨近，應(yīng)回歸教材，重視教材，發(fā)揮教材中習(xí)題的功能，通過對教材中問題的適當(dāng)拓展或延伸，改變題目的呈現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)習(xí)題的推陳出新，充分發(fā)揮課本習(xí)題作為試題的根本來源的功能，以不變應(yīng)萬變，提高復(fù)習(xí)效率.如以上問題，可以是2019年北師大版教材高中必修四第82頁例3、高中必修五第57頁B組第1題的結(jié)論應(yīng)用、解題方法的延伸，若能正確運(yùn)用，解題會事半功倍.

不能只是為了解決數(shù)學(xué)問題而解數(shù)學(xué)問題，更重要的是理清解決數(shù)學(xué)問題的思路，掌握解決數(shù)學(xué)問題中的思維方式，總結(jié)規(guī)律，提煉方法，拓展延伸，同時也要重視回歸教材，發(fā)揮習(xí)題的功能，這樣才能觸類旁通，舉一反三，更有效地提高解題能力.