摭談含參導(dǎo)數(shù)題的分類討論標(biāo)準(zhǔn)及優(yōu)化策略

湖北 周 威

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法，在對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查方面有著獨特的作用，因此是歷年高考的必考點，特別是在導(dǎo)數(shù)綜合題中分類討論思想的應(yīng)用，是我們不能回避的問題，例如2019年全國卷Ⅲ文、理科20題單調(diào)性討論及根據(jù)最值求參數(shù)，2017年、2018年全國卷Ⅰ理科21題判斷單調(diào)性，2017年全國卷Ⅱ理科21題求參數(shù)的范圍等考題琳瑯滿目.既然是無法避免的問題，只有基于分類討論思想在學(xué)習(xí)中做到合理、恰當(dāng)分類以及掌握最常規(guī)的優(yōu)化策略，才是備考的重點.通過分類討論促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.

一、單調(diào)性討論的恰當(dāng)分類標(biāo)準(zhǔn)

在高考導(dǎo)數(shù)綜合題中單調(diào)性是必須要討論的問題，因為單調(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵，而伴隨單調(diào)性問題大多有參數(shù)的引入，由于參數(shù)取值不同導(dǎo)致結(jié)果的不同，因此給數(shù)學(xué)問題帶來了不確定因素，從而就必須分類討論.那么，如何才能在分類中做到恰當(dāng)、合理呢？這就必須遵循恰當(dāng)分類的基本原則，即根據(jù)一個相對統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏，這其實也就是分類討論思想的核心.因為很多學(xué)生不知道這個標(biāo)準(zhǔn)如何確定，從而成為害怕、回避的主要原因.那么，單調(diào)性分類討論時這個標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？

1.準(zhǔn)確找出界點

一般地，只要嚴(yán)格按照步驟先在一條數(shù)軸上標(biāo)出各種界點(關(guān)于定義域的界點、導(dǎo)函數(shù)因式分解中不含參數(shù)的零點或?qū)Ш瘮?shù)有無零點時的界點)，然后遵循從左到右(或者從右到左)進行分段式討論，最后再整合、歸并就能做到恰當(dāng)分類、不重不漏.

【例1】討論函數(shù)f(x)=2ax-2lnx在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性.

當(dāng)a-1≤0時，即a≤1時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0

當(dāng)a-1=1時，即a=2時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a-1>1時，即a>2時，f(x)在(0,1)，(a-1,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,a-1)上單調(diào)遞減.

【評注】對f(x)>g(x)的處理，一般是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，然后進行求導(dǎo)， 一般情況下，含參函數(shù)求導(dǎo)后決定其符號的都是一次或二次函數(shù)模型，通過例1、例2讓學(xué)生更加親切、輕松地掌握含參函數(shù)單調(diào)性處理的一般方法，再通過相關(guān)界點分類討論研究h(x)的單調(diào)性(極值、圖象)，從而解決問題.

2.借助二階導(dǎo)數(shù)或判別式

對于無法通過因式分解確定零點作為界點的情形，如何進行恰當(dāng)分類呢？

【例3】已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna-a(a>0且a≠1)，討論f(x)的零點個數(shù).

【例4】若a≥0，討論函數(shù)f(x)=(1+ax2)ex-2的單調(diào)性.

【分析】函數(shù)的定義域為R,求導(dǎo)得f′(x)=(ax2+2ax+1)ex，因此需要考慮a=0，a>0兩種情況.

當(dāng)a=0時，f′(x)=ex>0，f(x)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時，ax2+2ax+1=0有可能有根，也可能無根，因此需繼續(xù)分類：

當(dāng)4a2-4a≤0時，即0

【評注】若f′(x)無法因式分解或無法確定正負(fù)時，需要通過題意中具體情況分類討論，判斷是否要繼續(xù)對f′(x)進行求導(dǎo)得到f″(x)，結(jié)合f′(x)、f″(x)一起判斷f(x)的單調(diào)性或通過f′(x)=0的判別式分類討論f(x)的單調(diào)性.

二、常規(guī)的優(yōu)化策略

1.分離變量法

分離變量法一直是解決含參變量取值范圍問題的常用方法，特別是含單變量的取值范圍問題，分離變量能減少導(dǎo)數(shù)綜合題中分類討論層次.

【例5】已知函數(shù)f(x)=axex-x2-2x+1(其中a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù))．若x≥1時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

【評注】分離變量后構(gòu)造h(x)，其求導(dǎo)看似復(fù)雜，實則計算后恰好分子中不含ex，給計算帶來了方便.對于單變量能分離的情形，甚至能達到避免分類討論的目的.

【練習(xí)】已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2lnx(a為常數(shù))，若f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

綜上，f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)時a的取值范圍是(-∞,4].

2.利用局部單調(diào)性

怎樣利用局部單調(diào)性質(zhì)呢？主要根據(jù)函數(shù)零點及其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).當(dāng)函數(shù)f(x)滿足f(x0)=0時,且在某區(qū)間內(nèi)f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立，則可結(jié)合f′(x0)的正負(fù)來確定參數(shù)的范圍，然后驗證在此范圍內(nèi)是否能得出題設(shè)中的已知結(jié)論.比如已知條件中有f(x)≥0，根據(jù)f(x0)=0，那么必有f′(x0)≥0，從而能得出關(guān)于參數(shù)的范圍,然后根據(jù)這個范圍，驗證其能否得到f(x)≥0，如果能則參數(shù)范圍即為所求.

【例6】(2017·全國卷Ⅱ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求a.

【練習(xí)】已知函數(shù)f(x)=xln(x-1)-a(x-2)(a∈R)，當(dāng)x∈(2,+∞)時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在命題原則里強調(diào)，高考考查內(nèi)容要注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧.因此，我們不能一味的追尋如何規(guī)避分類討論，尋求“偏、怪”的解題技巧,反而要熟悉、熟練分類討論的標(biāo)準(zhǔn)、步驟等的“通性通法”.在專題復(fù)習(xí)或解題教學(xué)中，需要分類討論的情形不盡相同，但其基本步驟可概括為先確定討論的對象及范圍，然后根據(jù)恰當(dāng)分類，做到不重不漏，最后進行逐步討論、歸并和總結(jié).同時，當(dāng)分類討論確實過于煩瑣時，正所謂“正難則反”，一些減少、甚至規(guī)避分類討論的優(yōu)化策略，也是數(shù)學(xué)思維的一種體現(xiàn)，也應(yīng)該掌握，開拓數(shù)學(xué)視野，提升核心素養(yǎng).