淺談與導數(shù)應用問題交匯例題解析

甘肅 何偉軍

導數(shù)是研究函數(shù)性質和圖象的有力工具，導數(shù)除在求函數(shù)的單調性、曲線的切線、研究函數(shù)的圖象、求解函數(shù)極(最)值、判斷函數(shù)的零點和求參數(shù)的取值范圍等方面有著廣泛的應用外，“在知識的交匯處命題”的原則貫穿導數(shù)應用始終，由此也成為與其他各“知識塊”命題的生長點、交匯點和考查學生數(shù)學綜合能力的熱點．下文筆者將擷取與導數(shù)有關的試題進行分析，與大家分享.

一、集合知識與導數(shù)的交匯

集合是其他數(shù)學的基礎知識，把集合問題作為載體，求解不等式的解集為運算的核心，通過兩集合間的關系形成綜合問題是高考的重中之重.

( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)

綜上可得MP時，a>1,故選C.

【評注】正確求出導函數(shù)，解有理分式不等式，理解集合的含義，再由MP，借助數(shù)軸列不等式或不等式組求其參數(shù)的取值范圍.注意運用分類討論與整合，數(shù)形結合思想方法，尤其需要注意端點值能否取到.

二、不等式與導數(shù)的交匯

函數(shù)、導數(shù)和不等式之間聯(lián)系非常緊密.不等式貫穿于函數(shù)的單調性、極值、最值和參數(shù)的取值范圍等問題中，這些都要通過函數(shù)“牽線搭橋”，用導數(shù)求解不等式問題，體現(xiàn)導數(shù)應用上的新穎性以及導數(shù)思想的重要性.

【例2】已知函數(shù)f(x)=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)；

(Ⅱ)若關于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

解析：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)由mf(x)≤e-x+m-1得m(f(x)-1)≤e-x-1.

(Ⅲ)由題意，不等式f(x)

【評注】第(Ⅰ)問判斷偶函數(shù)；第(Ⅱ)問不等式恒成立問題；第(Ⅲ)問導數(shù)與函數(shù)的單調性，比較大小．解決含參數(shù)問題及不等式問題實現(xiàn)兩個轉化，一是利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調性問題可轉化為不等式恒成立問題，要注意化歸與轉化、分類討論和數(shù)形結合思想的應用．二是將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉化為函數(shù)的單調性、極值問題處理．無論何種問題，最終轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或最值，如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是證明不等式的關鍵.

三、數(shù)列與導數(shù)的交匯

我們知道數(shù)列是自變量取正整數(shù)時的函數(shù)，而導數(shù)又是研究函數(shù)性質的有力工具．因此，自然可聯(lián)想、嘗試應用導數(shù)知識解決數(shù)列的最大項或最小項問題；研究數(shù)列的增減性，證明數(shù)列不等式等.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;

又a1=2,a2+a4=8,所以a3=4,解得d=1,所以an=2+(n-1)·1=n+1.

四、三角函數(shù)與導數(shù)的交匯

三角函數(shù)與導數(shù)的交匯將是高考命題的一個新方向.

( )

A.(-∞,-6)∪(6,∞)

B.(-∞,-4)∪(4,∞)

C.(-∞,-2)∪(2,∞)

D.(-∞,-1)∪(1,∞)

【評注】利用導數(shù)求三角函數(shù)的單調區(qū)間、最值、參數(shù)的取值范圍等，求解過程簡單，方法新穎別致，耳目一新.2013年全國卷Ⅱ理第16題、2014年遼寧卷理第21題、2015年陜西卷理第21題、2017年山東卷理第20題、2017年北京卷理第19題、2019年江蘇卷第20題第(2)問等，都是把求函數(shù)的導數(shù)、三角函數(shù)的有界性、解簡單的三角方程和一元二次不等式的解法緊密相連，起到多管齊下、一石二鳥的作用.

五、平面向量與導數(shù)的交匯

以平面向量為載體，利用向量的數(shù)量積、向量共線和模的概念可以把問題轉化為代數(shù)表達形式，脫去向量的外衣，轉化為代數(shù)問題，即運用導數(shù)方法解決有關問題.

六、解析幾何與導數(shù)的交匯

導數(shù)的幾何意義把函數(shù)的導數(shù)與曲線的切線相聯(lián)系,使之成為知識交匯的一個重要載體.運用導數(shù)求圓錐曲線上任意一點的切線方程、直線與圓錐曲線關系中最值問題，當目標函數(shù)不能用一般方法求解時，轉化或換元為高次函數(shù)，可利用導數(shù)求出最值.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值.

【評注】第(Ⅰ)問可用平面向量的坐標運算，采用直接法求出點的軌跡；第(Ⅱ)問將曲線的切線與導數(shù)有機結合，考查點到直線的距離公式，基本不等式求最值的方法.問題設計精彩，知識面廣，基礎兼綜合.

七、概率與導數(shù)的交匯

將函數(shù)、導數(shù)和方程與概率統(tǒng)計問題綜合、整合與交匯，成為高考命題的創(chuàng)新點，如2018年全國卷Ⅰ理第20題，值得注意.

【例7】某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0

(Ⅰ)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；

(Ⅱ)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×18=490.

(ii)由(i)可知一箱產品若全部檢驗只需花費400元，若余下的不檢驗則要490元，所以應該對余下的產品作檢驗.

【評注】本題以檢驗產品為命題背景，將概率統(tǒng)計知識與實際問題相結合，設計二項分布 “搭臺”、導數(shù)“唱戲”，數(shù)學期望“劇終”，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值與人文特色，給人以耳目一新感覺，但考生的閱讀理解能力以及應用數(shù)學知識解決實際問題的能力都不盡如人意，備考時應予以高度重視和反思.

八、數(shù)列、解析幾何等與導數(shù)的交匯

曲線上的點列、遞推數(shù)列及導數(shù)知識交匯問題，它們均是在“知識網絡交匯點”命題，所涉及的知識點較多、內涵豐富.無論在知識方面還是在思維轉化方面都提出了較高要求，有較強的綜合性和一定的思維深度.

(Ⅰ)求點Pn的坐標；

(Ⅲ)設S={x|x=2xn,n∈N*},T={y|y=4yn,n∈N*}，等差數(shù)列{an}的任一項an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數(shù)，-265

又y′=2x+2n+3，當x=0時，kn=2n+3,所以

(Ⅲ)S={x|x=-(2n+3),n∈N,n≥1}，

T={y|y=-(12n+5),n∈N,n≥1}={y|y=-2(6n+1)-3,n∈N,n≥1}，

所以S∩T=T,T中最大數(shù)a1=-17.

又an∈T，所以d=-12m(m∈N*)?d=-24，所以an=7-24n(n∈N*).

九、簡單幾何體與導數(shù)的交匯

高考立體幾何與導數(shù)交匯的綜合題，以生活中的最優(yōu)化問題(人教A版選修2-2P34)最為多見，主要是設置恰當?shù)淖宰兞?，并確定自變量取值范圍，建立關于錐體、柱體體積的目標函數(shù). 知識點的結合也比較精，以它的新穎性、綜合性而“閃亮登場”.

(Ⅰ)求V(x)的表達式；

(Ⅱ)當x為何值時，V(x)取得最大值？

(Ⅲ)當V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值.

【評注】本題是簡單幾何體與導數(shù)的綜合題，解決本題的關鍵是建立四棱錐P-ACFE的體積V(x)與x的函數(shù)關系式，進而轉化為利用導數(shù)法求解V(x)的最大值問題，運算量不大，但沒有扎實的基本功和應對新題型的應變能力，就很容易導致解題錯誤甚至沒有解題思路.

通過以上各例的分析可以看出，導數(shù)之所以能作為壓軸題，必有其獨特的魅力，其魅力在于導數(shù)的聯(lián)系十分廣泛，因而在知識的交匯點處命題一直是高考的命題熱點.平時復習中有意識地將知識交匯的問題進行歸類、整理，了解知識交匯的一些特點，掌握新課標背景下依然堅持的高考命題的新視角，有利于獲得更大的效益.