基于結(jié)構(gòu)張量的混合階偏微分方程圖像去噪

許宛如，劉 奎，吳海峰

(安慶師范大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，安徽 安慶 246011)

0 引 言

圖像在獲取、存儲和傳輸?shù)倪^程中會引入噪聲，這嚴(yán)重影響對圖像的后續(xù)處理。因此，圖像去噪一直是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的研究熱點。近幾年來，隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，偏微分方程(PDE)成為數(shù)字圖像處理的主要工具。1990年P(guān)erona和Malik提出的基于偏微分的各向異性擴散模型(PM模型)[1]對圖像恢復(fù)領(lǐng)域的工作具有著開創(chuàng)性，PM模型中的擴散系數(shù)采用在不同方向上梯度的單調(diào)遞減函數(shù)，即在平坦區(qū)域梯度值較小，則它的擴散系數(shù)較大，可以平滑平坦區(qū)域的噪聲；而邊緣或角點區(qū)域梯度值較大，則其擴散系數(shù)較小，能保護邊緣和角點。但這個模型在數(shù)學(xué)理論上被證明是“病態(tài)的”，即方程解的唯一性和穩(wěn)定性得不到保證。此外，噪聲的頻率與圖像邊緣頻率的相近，使得PM模型會把噪聲信息誤認(rèn)為邊緣信息，在平滑區(qū)域處減少擴散，產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”(偽邊緣)。1992年Rudin等人提出的全變分去噪[2]，該模型以梯度信息作為圖像平滑性的度量來實現(xiàn)圖像去噪，由于該模型所依賴的是梯度范數(shù)，所以也會導(dǎo)致在圖像的光滑漸變區(qū)域出現(xiàn)階梯效應(yīng)。通過增加擴散模型的階數(shù)[3-8]，利用分段斜面來逼近原始圖像來克服“階梯效應(yīng)”是一種常用有效的方法。根據(jù)這個思想，2000年You和Kaveh兩人首次提出了基于拉普拉斯算子的四階偏微分方程圖像去噪模型(YK模型)[3]，該模型雖然能有效的消減階梯效應(yīng)，但是該模型在平滑區(qū)域濾波噪聲時，會產(chǎn)生黑白斑點。

為了克服上述傳統(tǒng)模型的缺陷，劉奎等人提出了基于結(jié)構(gòu)張量的各項異性擴散模型[9]，該模型很好的保護了圖像的紋理細(xì)節(jié)，但是當(dāng)噪聲密度大時，去噪效果并不是很好。文獻[5]提出了基于結(jié)構(gòu)張量的四階偏微分方程模型，該模型能很好的去除圖像里的噪聲，但是存在著邊緣的模糊現(xiàn)象。本文綜合了基于結(jié)構(gòu)張量二階偏微分方程和四階偏微分方程的優(yōu)點，提出了一種基于結(jié)構(gòu)張量的混合階偏微分方程模型。實驗證明，本文模型能更好的在去除噪聲的同時保護圖像的邊緣、紋理等細(xì)節(jié)。

1 非線性擴散模型

1.1 各向異性擴散模型

在圖像去噪的早期，最先用于圖像去噪的是各向同性線性熱擴散模型，這種模型的優(yōu)點是速度快，在平滑區(qū)域能很好地去除噪聲，但是該模型不能有效保護邊角。為了克服熱擴散模型的缺陷，Perona與Malik首次提出的保持邊緣各向異性擴散模型[1]，該模型是傳統(tǒng)熱擴散模型的一個推廣，其形式為：

(1)

其中u0是原始圖像，u是噪聲圖像，div是散度算子，u是u的梯度，|u|是u的梯度模，g(?)是一個非負(fù)增函數(shù)，作為擴散算子，當(dāng)g(?)=1時，該模型退化為各向同性熱擴散方程。g(?)有兩種經(jīng)典形式如下：

(2)

其中k是一個常量。

1.2 四階偏微分模型(YK模型)

為了消除PM模型的缺陷，2000年You和Kaveh兩人提出了基于拉普拉斯算子的四階偏微分方程圖像去噪模型(YK模型)[3]，來實現(xiàn)去噪和保留邊緣之間的權(quán)衡。該模型的能量泛函：

(3)

(4)

(5)

其中k>0是拉普拉斯閾值。YK模型使用Laplacian算子代替梯度算子，利用分段斜面來逼近原圖的，有效地克服了“階梯效應(yīng)”。但是該模型在平滑區(qū)域濾波噪聲時會產(chǎn)生斑點，影響去噪圖像的視覺效果。

2 基于結(jié)構(gòu)張量的偏微分方程

1897年DiZenzo提出了的結(jié)構(gòu)張量的概念，結(jié)構(gòu)張量可以用于提取和分析圖像的局部結(jié)構(gòu)信息，如幾何結(jié)構(gòu)和方向。近些年，結(jié)構(gòu)張量已經(jīng)在數(shù)字圖像處理和機器視覺領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[10-14]。結(jié)構(gòu)張量的定義如下：

(6)

其中Gρ是標(biāo)準(zhǔn)差為ρ的高斯核函數(shù)，*是卷積運算符，uσ是圖像u經(jīng)過方差為σ的高斯濾波圖像，即uσ=u*Gσ，目的是使邊緣檢測對尺寸小于σ的內(nèi)容不敏感，從而提高邊緣檢測的魯棒性。結(jié)構(gòu)張量矩陣Jρ是一個對稱的半正定矩陣，其兩個正交的單位特征向量如下：

(7)

特征向量v1和v2分別用來表示邊緣的法線和切線方向，用來控制擴散方向。它們對應(yīng)的兩個非負(fù)特征值如下：

(8)

通過結(jié)構(gòu)張量的兩個特征值來計算它的行列式d(d=λ1×λ2)和跡t(t=λ1+λ2)，特征值λ1，λ2能反映圖像局部的特征信息，在平滑區(qū)域，λ1≈λ2≈0，對應(yīng)d≈t≈0；在邊緣區(qū)域，λ1>>λ2≈0，對應(yīng)d≈0，t>>0；在角點區(qū)域，λ1≈λ2>>0，對應(yīng)d>>0，t>>0。

使用結(jié)構(gòu)張量的行列式和跡來構(gòu)造擴散系數(shù)，劉奎等人提出了基于結(jié)構(gòu)張量的自適應(yīng)各向異性擴散模型[9]，該模型能很好的克服傳統(tǒng)PM模型的缺陷，模型如下：

(9)

其中，η和ξ分別表示等照線方向和梯度方向，u0為噪聲圖像，閾值K>0。該模型充分發(fā)揮了結(jié)構(gòu)張量的優(yōu)勢，保護了圖像的邊緣紋理，但是當(dāng)噪聲嚴(yán)重時，不能有效去噪。

文獻[5]將結(jié)構(gòu)張量與四階偏微分方程結(jié)合提出了基于結(jié)構(gòu)張量的四階偏微分模型，模型如下：

(10)

其中，v1v1和v2v2分別表示結(jié)構(gòu)張量估計的梯度方向和邊緣方向，閾值K用于邊緣保持，可手動設(shè)置。 在式(9)，(10)中方程的前兩項是擴散項，第三項是保真項，λ是拉格朗日乘子用來平衡數(shù)據(jù)項和保真項。

3 基于結(jié)構(gòu)張量的組合PM模型和四階YK模型

3.1 混合偏微分模型

受文獻[8]和文獻[9]啟發(fā)，本文提出了一種基于結(jié)構(gòu)張量的混合階偏微分模型，如下：

(11)

在二階偏微分模型使用局部坐標(biāo)系(ξ,η)，其中ξ代變梯度方向，η代表對應(yīng)的垂直方向；在四階偏微分模型引入局部結(jié)構(gòu)張量坐標(biāo)系(v1,v2)，其中v1代表梯度方向，v2代表邊緣方向，則模型如下：

(12)

其中d是結(jié)構(gòu)張量的行列式，t表示結(jié)構(gòu)張量的跡，uηη和uξξ分別表示圖像在梯度和水平集方向上的二階導(dǎo)數(shù)；uv1v1和uv2v2分別表示圖像沿著由結(jié)構(gòu)張量估計的梯度方向和邊緣方向的二階方向?qū)?shù)，計算如下：

(13)

模型的擴散系數(shù)g(h)的大小，決定于結(jié)構(gòu)張量的行列式和跡。在圖像平滑區(qū)域，d≈t≈0，則g(d)≈g(t)≈1，在梯度方向和其垂直方向上的擴散程度幾乎相同，能有效去噪；在圖像邊緣區(qū)域，d≈0,t>>0，則g(d)≈1，g(t)≈0，擴散只沿著邊緣方向，在梯度方向上幾乎不擴散，能很好的保護邊緣和細(xì)節(jié)；在圖像的角點區(qū)域，d>>0，t>>0，則g(d)≈g(t)≈0，此時，在角點處不擴散，起到很好的保護角點的作用。

3.2 模型求解

使用有限中心差分法對本文提出的模型(11)進行求解，對于二維圖像u的一階和二階導(dǎo)數(shù)如下：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

4 實驗結(jié)果與分析

為了評估提出模型的有效性，進行大量實驗，選取了合成圖像、512×512的Lena圖像Barbara圖像和Pepper圖像作為仿真實驗的測試圖。將本文改進模型分別與PM模型[1]、張量PM模型[8]、和張量YK模型[9]分別對加噪圖像進行濾波處理。圖像去噪中對濾波器性能的評估從主觀評價和客觀評價兩個方面從發(fā)，客觀評價的標(biāo)準(zhǔn)采用峰值信噪比(PSNR)、信噪比(SNR)和平均結(jié)構(gòu)相似性(MSSIM),分別定義如下：

(21)

(22)

(23)

其中u和u0分別表示去噪后的圖像和原始圖像，M、N分別為圖像的高度和寬度，μu、μu0分別表示圖像u和u0的均值，σu、σu0分別表示圖像u和u0的方差，σuu0表示圖像u和u0的協(xié)方差，H表示滑動窗口將圖像分成H塊。SNR和PSNR數(shù)值越大表示圖像失真越??；MSSIM取值范圍為[0,1]，數(shù)值越大表示圖像失真越小。

在實驗中，基礎(chǔ)參數(shù)設(shè)置λ=0.9，α=0.55，Δt=0.35。對Lena和Peppers圖像添加標(biāo)準(zhǔn)差為20(σ=20)的高斯噪聲，給合成圖和Barbara圖像添加標(biāo)準(zhǔn)差為30(σ=30)的高斯噪聲，實驗結(jié)果主觀效果如圖1～圖5，圖中(a)是原始圖像，(b)是噪聲圖像，(c)是PM模型去噪圖像，(d)是PM模型去噪圖像，(e)是張量YK去噪圖像,(f)是張量YK去噪圖像，(g)是本文模型去噪圖像。客觀數(shù)據(jù)對比如表1～表2。

由圖1(c)、圖3(c)、圖4(c)和圖5(c)可以看出，經(jīng)PM模型處理后的圖像會在邊緣產(chǎn)生模糊的現(xiàn)象，結(jié)合圖2(c)的局部放大圖，可以看出圖像去噪效果不顯著且產(chǎn)生現(xiàn)階梯效應(yīng)；由圖1(d)、圖3(d)、圖4(d)和圖5(d)可以看出,經(jīng)YK模型處理后的圖像去噪效果明顯，但結(jié)合圖2(d)的局部放大圖，可以看出圖像平滑過度，損失大量邊緣細(xì)節(jié)且會產(chǎn)生黑白孤立的斑點。

(a)原始圖像

(a)原始圖像

(e)張量PM模型

(a)原始圖像

(e)張量PM模型

(a)原始圖像

(a)原始圖像

由圖2(e)和其他個圖(e)可見，張量PM模型處理后的圖像去噪效果有提高，但存在著邊緣細(xì)節(jié)被模糊和丟失的現(xiàn)象。由圖2(f)和其他個圖(f)可見，張量YK模型處理后的圖像去噪效果顯著，但處理后的圖像過于平滑，使得部分邊緣紋理模糊。最后比較圖1(g)、圖3(g)、圖4(g)和圖5(g)，可見本文模型處理后的圖像相比于前面模型，視覺效果更好，圖像中的噪聲得到了有效的抑制，且邊緣和紋理也得到了有效保護，如圖2(g)Lena圖像的帽檐上的毛發(fā)細(xì)節(jié)、圖4(g)合成圖像中間十字沒有模糊和陰影，而其他幾種模型處理后的十字都有陰影。表1給出了噪聲方差為20的Lena和Peppers圖像使用各種模型算法去噪結(jié)果的PSNR、SNR和MSSIM指標(biāo)比較，表2為噪聲方差為30的合成圖和Barbara圖像使用各種模型去噪結(jié)果的PSNR、SNR和MSSIM指標(biāo)的比較，由表1和表2中的數(shù)據(jù)可以得出本文模型處理后的圖像峰值信噪比、信噪比和平均結(jié)構(gòu)相似性均有顯著的提高。

表1 Lena和Peppers圖像各種模型去噪的PSNR、SNR、MSSIM的比較

表2 合成圖像各種模型去噪的PSNR、SNR、MSSIM的比較

5 結(jié)束語

提出一種基于結(jié)構(gòu)張量的混合階偏微分方程的圖像去噪方法，該方法充分利用結(jié)構(gòu)張量在確定圖像邊緣、角點的優(yōu)勢，分別在不同區(qū)域?qū)ζ溥M行不同程度的擴散，達到在去除圖像噪聲的同時實現(xiàn)對邊緣細(xì)節(jié)的保護。本文同時使用梯度坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)張量梯度坐標(biāo)系，更加精準(zhǔn)化的控制擴散。通過實驗得出，將本文模型與PM模型、YK模型、張量PM模型、張量YK模型進行對比，本文模型去噪效果更顯著，且更好的保護了圖像的邊緣特征和紋理細(xì)節(jié)。