等額累進(jìn)與等比累進(jìn)還款模型的精算研究

芮招彪，程潘紅，劉相國(guó)

(1.巢湖學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，合肥 238000；2.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

0 引 言

近年來(lái)，房地產(chǎn)市場(chǎng)依舊熱度不減。在購(gòu)房的客群中，絕大多數(shù)都是通過(guò)銀行住房抵押按揭貸款買(mǎi)房。購(gòu)房者在辦理住房抵押按揭貸款時(shí)，金融機(jī)構(gòu)一般提供兩種還款方式：等額本金還款法與等額本息還款法。等額本金還款法[1]是指在還款期內(nèi)將貸款總額等分，每期(月)償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該期內(nèi)所產(chǎn)生的利息，即每期(月)所還本金固定。等額本息還款法[1]是將按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分?jǐn)偟矫總€(gè)還款期(月)中，即每期的期供固定。鄭澤星、唐革榕[2]指出，這兩種還款方式都要求還款本息在還款期內(nèi)均勻分布，雖方便銀行確定自身未來(lái)的現(xiàn)金流，但卻沒(méi)有給借款人更多的可以根據(jù)自身收入分布狀況選擇還款方式的余地。事實(shí)上，不同貸款者的還款需求是不同的：剛剛出來(lái)工作的年輕人，事業(yè)處于起步時(shí)期，缺乏工作經(jīng)驗(yàn)以及相應(yīng)的工作技能，前期工資收入不高，付完首付后還要考慮房屋裝修等各種問(wèn)題。因此，這類(lèi)貸款者特別希望采取前期少還，后期多還的還款方式。而對(duì)于將要退休的中老年購(gòu)房者，他們的人生經(jīng)過(guò)前期的拼搏努力，已經(jīng)積累一定的資金和相應(yīng)的工作技能，收入較工作初期高很多，他們考慮的是退休前將房貸還清以便自己可以安享晚年，因此，這類(lèi)貸款者希望采取前期多還，后期少還的還款方式。

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展，居民的消費(fèi)需求發(fā)生很大變化，超前消費(fèi)的觀(guān)念逐漸被人們所接受。金融機(jī)構(gòu)為了滿(mǎn)足人們的消費(fèi)需求，創(chuàng)設(shè)了很多新型的貸款還款方式：如一次性還本付息法、定期付息到期還本法、等比累進(jìn)(退)還款法、等額累進(jìn)(退)還款法[3]、移動(dòng)組合還款法、入住還款法、雙周供、接力貸、循環(huán)貸、氣球貸[4]、窟窿貸[5]等。以上創(chuàng)新還款方式大多應(yīng)用于中短期的消費(fèi)類(lèi)貸款，而居民房貸大多數(shù)屬于長(zhǎng)期限貸款且屬于銀行的優(yōu)質(zhì)資產(chǎn)。邵磊、陳永紅[6]指出，從美國(guó)、日本和中國(guó)香港等個(gè)人住房按揭貸款業(yè)務(wù)開(kāi)展興旺的國(guó)家和地區(qū)的實(shí)際情況看，等比累進(jìn)還款法和等額累進(jìn)還款法是國(guó)際上十分通行的兩種還款方式，尤其受到新婚夫婦和開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的年輕人的歡迎。但這兩種還款方式計(jì)算復(fù)雜，加上計(jì)算機(jī)設(shè)置等多種原因，目前在國(guó)內(nèi)還暫時(shí)較少被銀行采用。

萬(wàn)變不離其宗，從金融機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)按揭貸款的本意來(lái)看，其目的是希望借款人能夠在規(guī)定的貸款期限內(nèi)，按照事先約定的還款方式，按時(shí)足額償還貸款本金和相應(yīng)的利息。本文以還款過(guò)程中產(chǎn)生的現(xiàn)金流為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)貸款還款過(guò)程建模，得出一般還款方式下期供、本金以及利息之間的關(guān)系式，并利用該關(guān)系式進(jìn)一步得到期供(1)注①，也可以是本金呈等額累進(jìn)(退)、等比累進(jìn)(退)趨勢(shì)，類(lèi)似于等額本金與等額本息的算法區(qū)別，本文僅研究期供呈等額累進(jìn)(退)、等比累進(jìn)(退)趨勢(shì)。呈等額累進(jìn)(退)、等比累進(jìn)(退)趨勢(shì)下各期期供、本金以及利息的數(shù)學(xué)表達(dá)式。最后，通過(guò)案例分析給出這兩種還款方法適用的貸款人群，為金融機(jī)構(gòu)推出多樣化的還款方式提供一定的參考。

1 還款模型

1.1 一般還款模型

設(shè)還款金額流為C(1),C(2),……,C(βN),由于利息是由貸款本金產(chǎn)生，故

(1)

一般地，

(2)

且滿(mǎn)足

(3)

這里A(i)≥0,B(i)>0,i=1,2,…,k，k表示最后一次還款的期數(shù)。

若k<βN,說(shuō)明貸款者提前還款，貸款合同自動(dòng)終止；若k=βN,說(shuō)明貸款者正常按期還款，最后一期將剩余本金及相應(yīng)利息全部還清。

在整個(gè)貸款還款過(guò)程中(2)注②：在實(shí)際操作中，金融機(jī)構(gòu)是先扣利息，再扣本金。原因在于如果借款人連利息都不能按時(shí)足額償還，說(shuō)明借款人的財(cái)務(wù)狀況已經(jīng)出現(xiàn)問(wèn)題。，由于(剩余)本金不為0，故每期所還利息必須足額，即必須有B(i)>0,但期供中的本金部分可以為0，即有A(i)≥0。

為得出一般還款模型中期供、本金以及利息之間的關(guān)系式，由(2)式進(jìn)一步有，

(4)

結(jié)合(2)式、(4)式，有

(5)

(6)

以上得到了貸款償還過(guò)程中本金與利息，本金與期供關(guān)系的更一般表達(dá)式。而且(5)式具有很強(qiáng)的直觀(guān)意義，即利息會(huì)隨著貸款本金的減少而逐漸降低。

1.2 等額累進(jìn)(退)還款模型

等額累進(jìn)(退)還款法[3]是將整個(gè)還款期按一定的時(shí)段劃分，每個(gè)時(shí)間段比上一時(shí)間段多(少)還約定的固定金額，而每個(gè)時(shí)間段內(nèi)每月需以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式。

不失一般性，設(shè)

C(n)=C(1)+(n-1)d,n=1,2,…,βN

(7)

其中d的大小由借款人和銀行商定。

顯然d>0時(shí)，為等額累進(jìn)還款法；d<0時(shí)，為等額累退還款法；d=0時(shí)，為等額本息還款法。且d的取值必須使A(i),B(i),i=1,2,…,βN滿(mǎn)足約束條件式(3)。

(8)

得

從而

(9)

1.3 等比累進(jìn)(退)還款模型

等比累進(jìn)(退)還款法[3]是將整個(gè)還款期按一定的時(shí)段劃分，每個(gè)時(shí)間段比上一時(shí)間段多(少)還約定的固定比例，而每個(gè)時(shí)間段內(nèi)每月需以相同的償還額歸還貸款本息的一種還款方式。

不失一般性，令

C(n)=C(1)qn-1

這里q>0,q的大小由借款人和銀行商定。

顯然，q>1時(shí)為等比累進(jìn)還款法；0

根據(jù)現(xiàn)金流折現(xiàn)法，有

將C(n)=C(1)qn-1代入，有

(10)

下面推導(dǎo)“期供”中本金以及利息部分的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即求A(n)與B(n)。

等式兩邊同時(shí)除以(1+r)n+1,有

(11)

(12)

根據(jù)(1)式，有初始條件：

又根據(jù)(11)式，

因此，當(dāng)r,β,N滿(mǎn)足1+r≥βNr時(shí)，此法是適用的，否則會(huì)出現(xiàn)與實(shí)際不符的情況。

C(1)qn-1-C(1)qn+A(n+1)=(1+r)A(n)

等式兩邊同時(shí)除以qn,有

即

所以

D0(1+r-q)+qh(n+1)=(1+r)h(n)

整理得

q(h(n+1)-D0)=(1+r)(h(n)-D0)

進(jìn)而

A(n)=(A(1)-D0q)(1+r)n-1+D0qn

(13)

(14)

根據(jù)(1)式，有初始條件：

同時(shí)，對(duì)于(13)式，有

2 實(shí)證分析

案例：某購(gòu)房者準(zhǔn)備通過(guò)銀行貸款100萬(wàn)購(gòu)置住房，貸款期限為30年，每月按時(shí)還款，貸款年利率為5.88%.

(1)等額累進(jìn)(退)還款法。

對(duì)于等額累進(jìn)(退)還款法，這里不妨取d=±5,(d的取值需使各期本金和利息滿(mǎn)足約束條件式(3))根據(jù)式(7)、(8)、(9)，有：

由圖1和圖2可知，等額累進(jìn)(退)還款法，期供呈線(xiàn)性單調(diào)增(減)，但每期所還的本金呈非線(xiàn)性單調(diào)遞增趨勢(shì)，利息隨著本金的減少而逐漸降低，與實(shí)際相符。

圖1 等額累進(jìn)還款

圖2 等額累退還款

(2)等比累進(jìn)(退)還款法。

關(guān)于等比累進(jìn)(退)還款法，需考慮三種情況：01且q≠1+r。將案例中的數(shù)據(jù)代入，有1+r<βNr。不滿(mǎn)足前提條件，故考慮剩余兩種情況。

不妨取q=0.999,q=1.001(q的取值需使各期本金和利息滿(mǎn)足條件(3))。根據(jù)式(13)、(14)，有

由圖3可知，當(dāng)q=0.999時(shí)，“期供”的圖像幾乎是一條單調(diào)遞減的直線(xiàn)，類(lèi)似于等額累退還款法。圖4類(lèi)似，當(dāng)q=1.001時(shí)，期供的圖像幾乎是一條單調(diào)遞增的直線(xiàn)，類(lèi)似于等額累進(jìn)還款法。

圖3 等比累退還款

圖4 等比累進(jìn)還款

以上q的取值均接近1，使得期供的圖像看起來(lái)呈一條直線(xiàn)。為驗(yàn)證本模型，同時(shí)也為了說(shuō)明條件3的重要性，以下分別給出一個(gè)正例與一個(gè)反例，分別取q=0.98,q=1+r,有結(jié)果如下圖5和圖6所示

圖5 等比累退(正例)

圖6 等比累進(jìn)(反例)

由圖5可知，當(dāng)q=0.98時(shí)，在大約50期之前，借款人每月月供均在1萬(wàn)以上，首期月供更是接近2.5萬(wàn)元；但在200期之后，月供、本金和利息三者的圖像幾乎重合，表明每月月供幾乎為0，符合前期多還，后期少還的要求。

圖6給出的是一個(gè)反例，月供滿(mǎn)足前期少還，后期多還，呈等比遞增趨勢(shì)，但在150期之前，本金為負(fù)值，利息的走勢(shì)是先增后減，但在實(shí)踐中，本金不可能為負(fù)值，利息應(yīng)隨著貸款本金的減少而逐漸降低，不符合實(shí)際。

由此可知，對(duì)于等比累退還款法，只要0

綜上，等額累進(jìn)(退)還款法和等比累進(jìn)(退)還款法主要適用于未來(lái)收入預(yù)期有較大變動(dòng)(或逐漸增多或逐漸減少)的人群。對(duì)于希望前幾年少還，后幾年多還的借款人，可以采用d>0的等額累進(jìn)還款法或者q>1的等比累進(jìn)還款法。而對(duì)于希望前期多還后期少還的借款人，可以采用d<0的等額累退還款法、0

3 小 結(jié)

以客戶(hù)為中心，為客戶(hù)提供多元化的產(chǎn)品服務(wù)是金融機(jī)構(gòu)最有力的競(jìng)爭(zhēng)手段。累進(jìn)還款法前期收回本金較少，金融機(jī)構(gòu)有更多的生息資產(chǎn)；累退還款法前期收回本金較多，貸款風(fēng)險(xiǎn)小，金融機(jī)構(gòu)資金利用率高。但是，金融機(jī)構(gòu)推出新的產(chǎn)品也必將承擔(dān)一定的費(fèi)用和承受產(chǎn)品自身存在的風(fēng)險(xiǎn)。本文運(yùn)用年金理論得出的期供、本金以及利息的數(shù)學(xué)表達(dá)式可為金融機(jī)構(gòu)創(chuàng)設(shè)新產(chǎn)品提供一定的參考。