對一道典型光滑斜面上連接體例題的變式及分析

湖南 鄒兆貴

光滑斜面上的連接體問題是高中物理的一個重難點，通常涉及受力分析、共點力的平衡、牛頓運動定律等知識，重點考查整體法、隔離法、臨界條件的判斷與分析，學生往往難以準確掌握其規(guī)律。下面筆者通過對一道典型光滑斜面上連接體例題進行變式及分析，以期提高學生對連接體問題的分析及處理能力。

【例題】如圖1所示，在傾角θ=37°的固定光滑斜面上，物塊A靜止在輕彈簧上面，物塊B用細線與斜面頂端相連，物塊A、B緊挨在一起但AB之間無彈力，已知物塊A、B質量分別為m和2m，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。某時刻將細線剪斷，則在細線剪斷瞬間，下列說法正確的是

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圖1

A.物塊B的加速度為0.6g

B.物塊A的加速度為0.6g

C.物塊A、B間的彈力為0.4mg

D.彈簧的彈力為1.8mg

【點評】本例中考查連接體瞬時加速度、物體間彈力的突變問題。解決此題的關鍵在于理解及掌握以下兩點：1.細線剪斷后瞬間，物塊A、B具有相同的加速度；2.細線剪斷后瞬間，輕彈簧的形變量來不及突變，彈簧彈力大小仍然為F1，而物塊A、B間的彈力發(fā)生了突變，從無到有。再利用整體法與隔離法即可求得細線剪斷瞬間，物塊A、B間的彈力及兩者的加速度。

【變式1】如圖2所示，光滑斜面體固定在水平面上，傾角為30°，輕彈簧下端固定A物體，A物體質量為m，上表面水平且粗糙，彈簧勁度系數為k，重力加速度為g，初始時A保持靜止狀態(tài)，在A的上表面輕輕放一個與A質量相等的B物體，隨后兩物體一起運動，則

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圖2

B.當B放在A上的瞬間，A對B的摩擦力為零

D.當B放在A上的瞬間，A對B的支持力小于mg

【點評】變式1與例題相比，綜合性更強，難度明顯增加。利用整體法與隔離法即可求得當B放在A上瞬間，整體的加速度大小，其中對A、B間摩擦力大小的分析及彈力大小的分析旨在考查牛頓第二定律的矢量性、正交分解等有關知識，而對兩物體運動到何位置速度達到最大，則考查了臨界極值條件。本例中當物體A、B的加速度為零時，物體A、B的速度達到最大。

【變式2】如圖3所示，三個物體質量分別為m1=1.0 kg、m2=2.0 kg、m3=3.0 kg，已知固定斜面的上表面光滑，斜面傾角θ=30°，m1和m2之間的動摩擦因數μ=0.8(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g=10 m/s2)。不計繩和滑輪的質量和摩擦。初始時用外力使整個系統(tǒng)靜止，當撤掉外力時，m2將

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圖3

A.和m1一起沿斜面下滑 B.和m1一起沿斜面上滑

C.相對于m1下滑 D.相對于m1上滑

【點評】變式2與變式1相比，同為光滑固定斜面上的連接體問題，考查了整體法與隔離法，但變式2重在分析連接體物體間是否相對滑動這一臨界問題。本變式中，分析判斷m1和m2之間是否相對滑動是關鍵。遇到此類連接體問題時，通常采用假設法。先利用整體法，假設兩者未發(fā)生相對滑動，求得整體的加速度；再利用隔離法，求得單個物體所需要的合力大??；最后計算單個物體實際受到的合力大小。若實際受到的合力不足，則說明假設不成立，物體間實際上發(fā)生了相對滑動；反之，假設成立，物體保持相對靜止。

【變式3】如圖4所示，放置于水平面上的楔形物體，兩側傾角均為30°，左右兩表面光滑且足夠長，上端固定一光滑滑輪，一根很長且不可伸長的輕繩跨過定滑輪分別與左右兩側斜面平行，繩上系著三個物體A、B、C，三物體組成的系統(tǒng)保持靜止.A物體質量為m，B物體質量為3m，現(xiàn)突然剪斷A物體和B物體之間的繩子，不計空氣阻力(重力加速度為g)，三物體均可視為質點，則下列說法正確的是

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圖4

C.繩剪斷瞬間，楔形物體對地面的壓力不變

D.繩剪斷瞬間，A、C間繩的拉力為2mg

【點評】本變式中，C物體的質量未知，需要先利用平衡知識得到C物體的質量，這是本變式中連接體問題中的基礎；剪斷物體A、B間的繩子瞬間，A、C間繩的繩子拉力發(fā)生了突變，對A、C利用整體法與隔離法，即可求得其加速度大小及兩者間的繩子拉力大小。在分析楔形物體對地面的壓力是否變化時，重點從A、C間繩子拉力對定滑輪的作用力大小發(fā)生了變化入手，利用受力分析即可判斷。

【變式4】如圖5所示，在傾角為θ的光滑斜劈P的斜面上有兩個用輕質彈簧相連的物塊A、B，C為一垂直固定在斜面上的擋板。A、B質量均為m，斜面連同擋板的質量為M，彈簧的勁度系數為k，系統(tǒng)靜止于光滑水平面上。現(xiàn)開始用一水平恒力F作用于P，(重力加速度為g)下列說法中正確的是

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圖5

A.若F=0，則擋板受到B物塊的壓力為2mgsinθ

B.力F較小時，A相對于斜面靜止，F(xiàn)大于某一數值，A相對于斜面向上滑動

D.若F=(M+2m)gtanθ且保持兩物塊與斜劈共同運動，則彈簧將處于原長

【解析】F=0時，對物體A、B整體受力分析，受重力、斜面的支持力FN1和擋板的支持力FN2，根據共點力平衡條件，沿平行斜面方向，有FN2-2mgsinθ=0，故由牛頓第三定律知，B物塊對擋板的壓力大小為2mgsinθ，故選項A正確；用水平力F作用于P時，A具有水平向左的加速度，設加速度大小為a，將加速度分解如圖6所示。

圖6

對A受力分析，由牛頓第二定律得mgsinθ-kx=macosθ，當加速度a增大時，x減小，即彈簧的壓縮量減小，物體A相對斜面開始沿斜面向上滑動，故只要有力作用在P上，A即向上滑動，故選項B錯誤；物體B恰好離開擋板C的臨界情況為物體B對擋板無壓力。此時，整體向左加速運動，對物體B受力分析，受重力、支持力、彈簧的拉力，如圖7所示。

圖7

圖8

由牛頓第二定律得mgsinθ-kx=macosθ，聯(lián)立解得kx=0，故彈簧處于原長，故選項D正確。

【點評】本變式中，光滑斜面體沒有固定。當F=0時，利用整體法即可求得B物塊對擋板的壓力大小；當F>0時，對A物體利用隔離法分析及分解其加速度知，A物體受到的彈簧彈力相對于F=0時減小了，而彈簧開始處于壓縮狀態(tài)，故A物體實際相對斜面體向上運動；B離開擋板C的臨界條件為B、C間彈力變?yōu)榱?；當F等于某一給定特殊值時，則綜合利用整體法與隔離法，聯(lián)立方程即可求解。