動(dòng)量定理有效處理變量、瞬時(shí)及連續(xù)作用問題

湖北 王寶生

動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的重要規(guī)律，2017年高考《考試大綱》將選修3-5的內(nèi)容調(diào)整為必考，在隨后幾年高考、大型聯(lián)考等考試中動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律就成了一個(gè)新熱點(diǎn)，并且題型不再拘泥于過去傳統(tǒng)的一維水平碰撞、反彈等經(jīng)典題型，涌現(xiàn)出很多新題型。這其中一個(gè)很重要的原因就是動(dòng)量定理涉及力，而整個(gè)高中知識點(diǎn)幾乎都和力有關(guān)，這樣結(jié)合后知識間銜接點(diǎn)就非常多，個(gè)人認(rèn)為更多的新題型將大量涌現(xiàn)。

二輪復(fù)習(xí)要從基礎(chǔ)知識出發(fā)，逐步深化和拓展應(yīng)用能力。對于動(dòng)量定理，可以在用動(dòng)量定理處理變量、瞬時(shí)及連續(xù)作用問題上做文章。

一、處理變質(zhì)量問題

對于研究對象為“變質(zhì)量”的“連續(xù)”的流體(如水流、空氣流等)問題，現(xiàn)以水流為例做探討。這類問題一般要假設(shè)一段時(shí)間Δt內(nèi)流出的水柱，其長度可表述為vΔt，水柱橫截面積為S，就可得出水柱體積V=SvΔt，進(jìn)而得到水柱質(zhì)量Δm=ρV=ρSvΔt，再對質(zhì)量為Δm的水柱應(yīng)用動(dòng)量定理求解。

【例1】(2016年全國卷Ⅰ)某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計(jì)算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板(面積略大于S)；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻散開。忽略空氣阻力，已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

(1)噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

(2)玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對于噴口的高度。

【例2】氣墊導(dǎo)軌可有效減小摩擦力，如圖1所示為氣墊導(dǎo)軌示意圖。每個(gè)滑塊有兩個(gè)側(cè)面，側(cè)視圖為等邊三角形，單個(gè)側(cè)面對應(yīng)氣孔面積為S，假設(shè)氣流(密度為ρ)從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0噴出，并以v0垂直作用側(cè)面上后在垂直側(cè)面方向上速度減為零，滑塊懸浮在導(dǎo)軌上方。試求單個(gè)滑塊的質(zhì)量m。

圖1

【總結(jié)】兩個(gè)例題中均采用先假設(shè)出一段時(shí)間，先求出單位時(shí)間“流出”的質(zhì)量。例1是結(jié)合機(jī)械能守恒求出水流與玩具作用前的速度，例2是直接給出氣流與滑塊作用前的速度，得到作用方向上動(dòng)量變化進(jìn)而用動(dòng)量定理列式求解相關(guān)未知量(如例1中的高度，例2中的F)。值得一提的是例2中的作用力方向并非豎直方向，需要用到矢量三角形知識，增加了難度。

在處理“變質(zhì)量”的“連續(xù)”的流體(如水流、空氣流等)的問題時(shí)，一般先求一段時(shí)間內(nèi)的流體質(zhì)量，再求作用方向上的動(dòng)量變化量，利用動(dòng)量定理表達(dá)式中含有的時(shí)間量，巧妙把時(shí)間這個(gè)量處理掉進(jìn)而求得要求解的物理量。

二、處理變力問題

動(dòng)量定理的內(nèi)容為物體在一個(gè)過程始末的動(dòng)量變化量等于它在這個(gè)過程中所受力的沖量。動(dòng)量定理表述了物體所受合外力的沖量與其動(dòng)量的變化間的關(guān)系，其為變力作用及復(fù)雜過程問題的處理提供了方法和依據(jù)，如電磁感應(yīng)中的變力、時(shí)間未知量問題。這類問題讓很多學(xué)生束手無策，運(yùn)用動(dòng)量定理處理可化繁為簡，變力表達(dá)式中的某個(gè)物理量與時(shí)間(可以為未知量)的乘積恰為另一物理量，而這個(gè)物理量能通過其他辦法求解得出，這樣就巧妙地規(guī)避了變力無法或難以求解的問題。

【例3】在如圖2所示的水平導(dǎo)軌上(摩擦、電阻忽略不計(jì))，有豎直向下的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為B，導(dǎo)軌左端的間距為L1=4L0，右端間距為L2=L0。今在導(dǎo)軌上放置AC、EF兩根導(dǎo)體棒，質(zhì)量分別為m1=2m0、m2=m0，接在導(dǎo)軌間導(dǎo)體棒電阻R1=4R0，R2=R0。若AC棒以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)，求AC棒運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的總焦耳熱QAC。

圖2

【總結(jié)】本例題是求AC棒運(yùn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生的總焦耳熱QAC。開始有感應(yīng)電流產(chǎn)生焦耳熱，當(dāng)兩棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢為零(整體為零)后電路不再產(chǎn)生感應(yīng)電流也就不再產(chǎn)生焦耳熱，在這個(gè)過程中安培力是變力不能直接求出克服安培力做功進(jìn)而得到產(chǎn)生的總焦耳熱，需要用能量守恒來求解。接下來關(guān)鍵在于求解兩棒最后的速度，而兩棒上安培力并非等大反向不能用動(dòng)量守恒定律處理，應(yīng)使用動(dòng)量定理求解。在動(dòng)量定理表達(dá)式中安培力中的電流與時(shí)間二者乘積對兩棒是一樣的，恰好可以消掉，使得安培力變力問題迎刃而解。

三、處理瞬時(shí)問題

沖量是個(gè)累積量，恒力和給定時(shí)間計(jì)算沖量是很容易的，但若變力及時(shí)間不確定的情況就比較棘手了，這類問題非?？简?yàn)學(xué)生的思維能力、綜合處理問題的能力。由動(dòng)量定理知沖量就等于物體在這個(gè)過程始末的動(dòng)量變化量，將瞬時(shí)沖量問題轉(zhuǎn)為求解動(dòng)量的變化量。

【例4】如圖3甲所示，質(zhì)量m=3.0×10-3kg的“冂”形金屬細(xì)線框豎直放置在兩水銀槽中，“冂”形框的水平細(xì)桿CD長l=0.20 m，處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1=1.0 T、方向水平向右的勻強(qiáng)磁場中。有一匝數(shù)n=300匝、面積S=0.01 m2的線圈通過開關(guān)K與兩水銀槽相連。線圈處于與線圈平面垂直、沿豎直方向的勻強(qiáng)磁場中，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖3乙所示。t=0.22 s時(shí)閉合開關(guān)K，瞬間細(xì)框跳起(細(xì)線框跳起瞬間安培力遠(yuǎn)大于重力)，跳起的最大高度h=0.20 m。不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10 m/s2，下列說法正確的是

( )

甲

乙

A.0～0.10 s內(nèi)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢大小為3 V

B.開關(guān)K閉合瞬間，CD中的電流方向由C到D

C.磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的方向豎直向下

D.開關(guān)K閉合瞬間，通過細(xì)桿CD的電荷量為0.03 C

【總結(jié)】瞬時(shí)作用問題一直是物理中的難點(diǎn)，時(shí)間短且一般無法得到具體數(shù)值，故此類問題不妨先假設(shè)作用時(shí)間為t，再對這個(gè)瞬時(shí)過程用物理定理、定律等列等式。在列式中某個(gè)量可能恰好跟假設(shè)的時(shí)間t乘積或者商等構(gòu)成另一個(gè)可求解的物理量，通過這個(gè)方式將瞬時(shí)時(shí)間t變未知為已知，使得問題最終得以解決。如上例3中，安培力表達(dá)式中電流與瞬時(shí)時(shí)間乘積剛好是電荷量，用動(dòng)量定理剛好巧妙地處理了這個(gè)瞬時(shí)問題。

四、處理微粒連續(xù)作用問題

微粒常指電子流、光子流、微塵等。特點(diǎn)是單個(gè)質(zhì)量m確定，并已知單位體積內(nèi)的粒子數(shù)量n。處理方法為沿運(yùn)動(dòng)的方向選取一段微元，柱體的截面積為S，作用時(shí)間Δt內(nèi)的一段微元柱體的長度為Δl=v0Δt，柱體體積ΔV=Sv0Δt，柱體內(nèi)的粒子數(shù)N=nSv0Δt，總質(zhì)量為mnSv0Δt。根據(jù)速度變化可得到動(dòng)量變化，應(yīng)用動(dòng)量定理列式?jīng)_量為FΔt，其中Δt可與總質(zhì)量mnSv0Δt中Δt消掉。

【例5】自動(dòng)稱米機(jī)已在糧食工廠中廣泛使用，有人認(rèn)為米流落到秤盤中時(shí)有向下的沖量會增大米與秤盤底部作用力，從而增大了分量而不劃算；也有人認(rèn)為自動(dòng)裝置即刻切斷米流時(shí)，尚有一些米仍在空中，這些米是多給買者的。因而雙方爭執(zhí)起來，究竟哪方說的對呢？請分析說明。

【總結(jié)】本例題核心在于建立物理模型將米分成三部分(秤盤中、正在接觸盤中的部分、空中部分)，最難處理的是正接觸落入盤中部分，這部分可以根據(jù)下落速度變化用動(dòng)量定理處理。由稱米機(jī)出口到秤盤中米堆上表面的高度為h，由機(jī)械能守恒得落到米堆表面的初速度，末速度為零，可得到動(dòng)量的變化量，再對這部分米由動(dòng)量定理列式。其中這部分米的質(zhì)量Δm與作用時(shí)間Δt的比值恰好為稱米機(jī)的流量d(題干中已知量)。這類問題很新穎，可與生活實(shí)際及高新技術(shù)關(guān)聯(lián)，側(cè)重考查學(xué)生建模能力以及應(yīng)用物理知識解決實(shí)際問題的綜合能力，在此類題中，動(dòng)量定理是個(gè)很得力的工具。