一題多變，玩轉(zhuǎn)滑塊、滑板

河北 聶震萍 康利軍

板塊模型是高中物理的經(jīng)典模型，它由一個(gè)或多個(gè)滑塊疊放在木板上，通過(guò)某些力使二者發(fā)生相互作用，從而使板、塊間發(fā)生一系列與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相關(guān)的過(guò)程，是考查學(xué)生靈活運(yùn)用力學(xué)三大規(guī)律解決物理問(wèn)題的常用載體，故備受命題者的青睞。從命題的情景上看，此模型又常通過(guò)多滑塊、多過(guò)程、或外加擋板、彈簧等輔助器件進(jìn)行考查，使得構(gòu)成的物理情景多樣化；從知識(shí)的考查上看，此模型既可以考查動(dòng)力學(xué)相關(guān)規(guī)律，也可以考查動(dòng)量和能量的綜合運(yùn)用；從學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成來(lái)看，由于此模型綜合性強(qiáng)，不僅可以加深學(xué)生對(duì)加速度、動(dòng)量、能量等多個(gè)物理概念的理解，使物理觀念得到提煉和升華，還可以通過(guò)多個(gè)規(guī)律的綜合考查，使學(xué)生的模型建構(gòu)、綜合分析、推理論證等科學(xué)思維內(nèi)化為能力。示由此可見(jiàn)，板塊問(wèn)題由于涉及研究對(duì)象多、運(yùn)動(dòng)過(guò)程多、知識(shí)規(guī)律考查多，使得學(xué)生在解題方法的選擇上感到混亂，甚至無(wú)從下手，故本文將以2019年江蘇卷第15題為例，通過(guò)一題多變的方式，對(duì)常見(jiàn)的板塊問(wèn)題予以分析和歸納，希望對(duì)同學(xué)們解決此類問(wèn)題有所幫助。

【母題】(2019年江蘇卷第15題)如圖1所示，質(zhì)量相等的物塊A和B疊放在水平地面上，左邊緣對(duì)齊。A與B、B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ。先敲擊A，A立即獲得水平向右的初速度，在B上滑動(dòng)距離L后停下。接著敲擊B，B立即獲得水平向右的初速度，A、B都向右運(yùn)動(dòng)，左邊緣再次對(duì)齊時(shí)恰好相對(duì)靜止，此后兩者一起運(yùn)動(dòng)至停下。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。求：

(1)A被敲擊后獲得的初速度大小vA；

(3)B被敲擊后獲得的初速度大小vB。

圖1

【點(diǎn)評(píng)與拓展】解決力學(xué)問(wèn)題的三大觀點(diǎn)分別是動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)、能量觀點(diǎn)、動(dòng)量觀點(diǎn)，而本題是同一水平面內(nèi)的滑塊、滑板類問(wèn)題，且系統(tǒng)受到外力(此題是地面施加的摩擦力)，外力不為零，所以在選擇解題規(guī)律時(shí)不能選用動(dòng)量守恒定律，而二者的加速度不同，故優(yōu)先隔離分析選用動(dòng)力學(xué)方法比較方便。

與此題類似的幾種常見(jiàn)的位于同一個(gè)平面內(nèi)的滑塊、滑板類問(wèn)題如下：(滑塊質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M，滑板長(zhǎng)度為L(zhǎng))

情境水平面光滑,滑板靜止,滑塊受恒力F從靜止開始運(yùn)動(dòng)直至到滑板另一端水平面光滑,滑塊靜止,滑板受恒力F從靜止開始運(yùn)動(dòng)直至到滑板另一端A、B同時(shí)由靜止開始釋放,當(dāng)滑板下端滑到斜面底端時(shí)滑塊也恰好到達(dá)滑板的下端,滑板和斜面之間、滑塊與滑板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2示意圖解題策略對(duì)滑塊有F-Ff=ma1對(duì)滑板有Ff'=Ma2二者位移關(guān)系12a1t2-12a2t2=L對(duì)滑塊有a1=μmgm=μg對(duì)滑板有a2=F-μmgM(使m能從M上滑下的條件為a2>a1)二者位移關(guān)系12a2t2-12a1t2=L對(duì)滑塊有aB=mgsinθ-μ2mgcosθm=gsinθ-μ2gcosθ對(duì)滑板有aA=Mgsinθ+μ2mgcosθ-μ1(M+m)gcosθM二者位移關(guān)系12aBt2-12aAt2=L若涉及與單個(gè)物體的位移或時(shí)間相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題也可選用動(dòng)能定理或動(dòng)量定理

若母題中B與地面間的摩擦忽略不計(jì)，由于系統(tǒng)不受外力，則可以系統(tǒng)為研究對(duì)象，優(yōu)先選用動(dòng)量守恒和能量守恒解決較為方便，如下變式一。

【變式一】無(wú)外力作用的滑塊、滑板

【例1】如圖2所示，在光滑水平面上放置一個(gè)質(zhì)量分布均勻的長(zhǎng)木板，質(zhì)量M=2 kg，板長(zhǎng)L=1 m。一個(gè)與木板質(zhì)量相同的小滑塊C(看成質(zhì)點(diǎn))，以水平初速度v0=4 m/s從木板的左端滑上木板，滑塊恰好能滑到木板的右端。現(xiàn)將木板分成質(zhì)量相等的A、B兩塊并排放置，滑塊仍以v0從木板A的左端滑上木板，如圖3所示，重力加速度取g=10 m/s2。求：

圖2

圖3

(1)滑塊C與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

(2)當(dāng)滑塊C滑過(guò)A時(shí)，C與A的速度大小(結(jié)果可用根號(hào)表示)；

(3)滑塊C相對(duì)B板靜止時(shí)位于B板何處？

【解析】(1)設(shè)滑塊C質(zhì)量為m，C滑到木板右端時(shí)的速度為v

由動(dòng)量守恒定律可知

mv0=(m+M)v①

由能量守恒定律可知

(2)滑塊C剛滑過(guò)A時(shí)的速度為v1，此時(shí)A、B兩木板速度相等均為v2，則有

mv0=mv1+Mv2③

解③④式取合理值得

(3)設(shè)C相對(duì)于木板B向右滑行s后與B共速為vBC，則有

【點(diǎn)評(píng)與拓展】本題是同一水平面內(nèi)的滑塊、滑板問(wèn)題，且系統(tǒng)所受外力為零，故可優(yōu)先采用動(dòng)量守恒定律解決。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是要找準(zhǔn)過(guò)程中的臨界狀態(tài)點(diǎn)；二是要注意應(yīng)用能量守恒定律，尤其是摩擦生熱的相關(guān)結(jié)論。與此題相類似的幾種常見(jiàn)的無(wú)外力的滑塊、滑板類問(wèn)題如下：(滑塊質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M，滑板長(zhǎng)度為L(zhǎng))

情境子彈打木塊,水平面光滑滑塊、滑板在光滑水平面上,以等大反向的初速度運(yùn)動(dòng),A、B間存在摩擦,已知m

若地面摩擦、滑塊滑板間摩擦均不計(jì)，滑板由平面直板轉(zhuǎn)化為曲面或斜面，則可演變成變式二?？蓛?yōu)先選用水平方向動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律，如下變式二。

【變式二】滑塊+曲面(斜面)滑板問(wèn)題

【例2】(2019年吉林模擬)如圖4所示，形狀完全相同的光滑弧形槽A，B靜止在足夠長(zhǎng)的光滑水平面上，兩弧形槽相對(duì)放置，底端與光滑水平面相切，弧形槽高度為h，A槽質(zhì)量為2m，B槽質(zhì)量為M。質(zhì)量為m的小球，從弧形槽A頂端由靜止釋放，重力加速度為g，求：

圖4

(1)小球的最大速度；

(2)若小球從B上滑下后還能追上A，求M，m間所滿足的關(guān)系。

【解析】(1)小球到達(dá)弧形槽A底端時(shí)速度最大。設(shè)小球到達(dá)弧形槽A底端時(shí)速度大小為v1，槽A的速度大小為v2。

小球與弧形槽A組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以水平向右為正方向，小球下滑過(guò)程中，由動(dòng)量守恒定律得

mv1-2mv2=0

由機(jī)械能守恒定律得

(2)小球沖上弧形槽B后，上滑到最高點(diǎn)后再返回分離，設(shè)分離時(shí)小球速度反向，大小為v3，弧形槽B的速度為v4。整個(gè)過(guò)程二者水平方向動(dòng)量守恒，則有

mv1=-mv3+Mv4

二者的機(jī)械能守恒，則有

小球還能追上A，則有v3>v2

解得M>3m

【點(diǎn)評(píng)與拓展】此類問(wèn)題屬于滑塊與斜面、曲面板的組合情境，且小球從槽A上下滑和沖上槽B的過(guò)程，系統(tǒng)水平方向不受外力，故系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)總動(dòng)量不守恒，同時(shí)，由于沒(méi)有摩擦，故系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒。特別注意：當(dāng)滑塊滑向滑板到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)二者水平方向共速，且滑塊豎直方向的速度為零；若滑塊飛出滑板，則滑塊將做斜拋運(yùn)動(dòng)。若滑塊與滑板間有摩擦，則可以選用能量守恒解決。與此題相類似的幾種情境及解題策略如下。

情境質(zhì)量為m的滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放,最終相對(duì)靜止于B、C之間的D點(diǎn)(圓弧AB面光滑,半徑為R,BC面粗糙,水平地面光滑,滑板質(zhì)量為M)質(zhì)量為m的滑塊B從質(zhì)量為M的滑板A的右端以水平初速度v0滑上滑板A,滑塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長(zhǎng)后返回,最終停止在滑板A上(圓弧面光滑,PQ面粗糙,水平地面光滑)質(zhì)量為m的滑塊從A點(diǎn)正上方某處無(wú)初速度下落,恰好落入質(zhì)量為M的小車圓弧軌道滑動(dòng),然后沿水平軌道滑至軌道末端C處恰好沒(méi)有滑出(圓弧面光滑,BC面粗糙,水平地面光滑)示意圖解題策略A到B過(guò)程:系統(tǒng)動(dòng)量不守恒,水平方向動(dòng)量守恒,有0=mv1+Mv2系統(tǒng)機(jī)械能守恒mgR=12mv21+12Mv22B到C過(guò)程:系統(tǒng)動(dòng)量守恒,有mv1+Mv2=(m+M)v系統(tǒng)能量守恒:Q熱=12mv21+12Mv22-12(m+M)v2全過(guò)程系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒mv0=(m+M)v全過(guò)程系統(tǒng)能量守恒Q熱=12mv20-12(m+M)v2從開始下落至B:軌道不動(dòng),受豎直墻壁施加的外力,系統(tǒng)動(dòng)量不守恒,滑塊機(jī)械能守恒,有mgh=12mv20BC段:系統(tǒng)動(dòng)量守恒,有:mv0=(m+M)v對(duì)全過(guò)程能量守恒,有Q熱=mgh-12(m+M)v2若涉及與單個(gè)物體的位移或時(shí)間相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題也可選用動(dòng)能定理或動(dòng)量定理

若滑板與地面間摩擦、滑塊滑板間摩擦均不計(jì)，滑塊與滑板之間利用彈簧進(jìn)行相互作用，可優(yōu)先選用動(dòng)量守恒定律、能量守恒或機(jī)械能守恒定律，如下變式三。

【變式三】滑塊+帶彈簧的滑板情境

【例3】如圖5所示，在光滑的水平面上靜止放一質(zhì)量為2m的木板B，木板表面光滑，右端固定一輕質(zhì)彈簧。質(zhì)量為m的木塊A以速度v0從板的左端水平向右滑上木板B，求：

圖5

(1)彈簧的最大彈性勢(shì)能；

(2)彈簧被壓縮直至最短的過(guò)程中，彈簧給木塊A的沖量；

(3)當(dāng)木塊A和木板B分離時(shí)，木塊A和木板B的速度。

【解析】(1)彈簧被壓縮到最短時(shí)，木塊A與木板B具有相同的速度，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大。設(shè)共同速度為v，從木塊A開始沿木板B表面向右運(yùn)動(dòng)至彈簧被壓縮到最短的過(guò)程中，A、B系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，取向右為正方向，則有

mv0=(m+2m)v

由機(jī)械能守恒可知，彈簧的最大彈性勢(shì)能

(2)對(duì)木塊A，根據(jù)動(dòng)量定理得I=mv-mv0，解得

(3)從木塊A滑上木板B直到二者分離，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，設(shè)分離時(shí)A、B的速度分別為v1和v2，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mv0=mv1+2mv2

【點(diǎn)評(píng)與拓展】對(duì)于通過(guò)彈簧連接的滑塊滑板問(wèn)題，因彈力做功的過(guò)程中彈力是個(gè)變力，所以解決這類問(wèn)題時(shí)，要細(xì)致分析彈簧的變化過(guò)程，抓住彈簧特殊狀態(tài)的特征，如彈簧壓縮最短(或拉伸最長(zhǎng))時(shí)二者共速，且此時(shí)彈性勢(shì)能最大；若系統(tǒng)只受彈力作用，當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)速度最大或最小。對(duì)兩個(gè)狀態(tài)限定的過(guò)程優(yōu)先選用系統(tǒng)動(dòng)量守恒和能量守恒求解較為方便。

與此類似的幾種常見(jiàn)的通過(guò)彈簧連接的滑塊、滑板問(wèn)題策略如下。(滑塊質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M，滑板長(zhǎng)度為L(zhǎng))

情境光滑水平面上,彈簧壓縮,開始時(shí)都靜止,當(dāng)突然燒斷細(xì)繩時(shí),忽略一切摩擦帶擋板的滑板M靜止光滑水平面上,滑塊m放置在滑板上,二者由輕彈簧連接,滑板上表面光滑且足夠長(zhǎng)。等大反向的兩個(gè)恒力分別作用在滑塊、滑板上示意圖解題策略動(dòng)量守恒0=mv1+Mv2機(jī)械能守恒Ep=12mv2+12Mv2動(dòng)量守恒Mv1=mv2能量守恒:彈簧伸長(zhǎng)過(guò)程,兩拉力對(duì)系統(tǒng)做正功,系統(tǒng)機(jī)械能增加;彈簧收縮過(guò)程,兩拉力對(duì)系統(tǒng)做負(fù)功,系統(tǒng)機(jī)械能減小若涉及與單個(gè)物體的位移或時(shí)間相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題也可選用動(dòng)能定理或動(dòng)量定理