驗(yàn)證動(dòng)量守恒 測速各顯其能

湖北 許 文

動(dòng)量守恒定律是自然界中普遍適用的物理規(guī)律之一，驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律是一個(gè)經(jīng)典的力學(xué)實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)一般采用兩物體的一維碰撞或反沖運(yùn)動(dòng)，通過測出過程前后系統(tǒng)的總動(dòng)量在一定的實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)是否相等，來驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律。此實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)方案主要是圍繞測量物體的速度這一角度來創(chuàng)新的，通過改變測量手段與測量技術(shù)，盡顯測速技能。

一、解析經(jīng)典實(shí)驗(yàn)

驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)方案是利用兩小球在水平方向進(jìn)行一維碰撞，通過平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律測量小球碰撞前后的速度。

1.器材與裝置如圖1所示。

圖1

3.驗(yàn)證的等式：

(1)兩球在碰撞中動(dòng)量守恒，應(yīng)滿足

ma·OP=ma·OM+mb·ON；

(2)兩球進(jìn)行彈性碰撞，除上式成立外，還應(yīng)滿足

ma·OP2=ma·OM2+mb·ON2。

4.誤差分析：該設(shè)計(jì)方案的實(shí)驗(yàn)誤差主要表現(xiàn)在：測量兩球的質(zhì)量及小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移大小存在一定的偶然誤差；兩小球不是一維正碰也會(huì)產(chǎn)生一定的實(shí)驗(yàn)誤差。

此實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典設(shè)計(jì)方案是根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的情況下，用平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移大小替代平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小，把小球碰撞前后不易直接測量的平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小轉(zhuǎn)化為易直接測量的平拋運(yùn)動(dòng)水平位移大小，從而簡化實(shí)驗(yàn)操作與數(shù)據(jù)處理過程。

二、例析創(chuàng)新方案

1.兩球水平方向一維碰撞，通過斜面平拋規(guī)律測速

【例1】為了驗(yàn)證碰撞中的動(dòng)量是否守恒和檢驗(yàn)兩個(gè)小球的碰撞是否為彈性碰撞，某同學(xué)選取了兩個(gè)體積相同、質(zhì)量不相等的小球，按下述步驟進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

①用天平測出兩個(gè)小球的質(zhì)量(分別為m1和m2，且m1>m2)；

②按照圖2所示，安裝好實(shí)驗(yàn)裝置，將斜槽AB固定在桌邊，使槽末端的切線水平，將一斜面BC連接在斜槽末端；

圖2

③不放小球m2，讓小球m1從斜槽頂端A處由靜止開始滾下，記下小球m1在斜面上的落點(diǎn)位置；

④將小球m2放在斜槽末端邊緣處，讓小球m1從斜槽頂端A處由靜止開始滾下，使它們發(fā)生碰撞，記下小球m1和小球m2在斜面上的落點(diǎn)位置；

⑤用毫米刻度尺量出各個(gè)落點(diǎn)到斜槽末端點(diǎn)B的距離。圖2中D、E、F點(diǎn)是該同學(xué)記下的小球在斜面上的幾個(gè)落點(diǎn)位置，到B點(diǎn)的距離分別為LD、LE、LF。

根據(jù)該同學(xué)的實(shí)驗(yàn)，回答下列問題：

(1)小球m1與m2發(fā)生碰撞后，m1的落點(diǎn)是圖中的________點(diǎn)，m2的落點(diǎn)是圖中的________點(diǎn)；

(2)用測得的物理量來表示，只要滿足關(guān)系式________，則說明兩球在碰撞中的動(dòng)量守恒。

【解析】(1)兩小球發(fā)生碰撞后，m1的落點(diǎn)是圖中的D點(diǎn)，m2的落點(diǎn)是圖中的F點(diǎn)。

【點(diǎn)評】本題實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案與該實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典設(shè)計(jì)方案不同之處在于將小球平拋運(yùn)動(dòng)的落點(diǎn)位置由水平面改成了斜面，這種情況下兩小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不相等。由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，拋點(diǎn)與落點(diǎn)在同一斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，其平拋初速度的大小與落在斜面上距離的平方根成正比。因此只要測出小球在斜面上拋點(diǎn)與落點(diǎn)的距離，即可用此距離的平方根替代小球平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小。本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是此經(jīng)典實(shí)驗(yàn)的創(chuàng)新與拓展，設(shè)計(jì)思路均是通過平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律測速，但根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，可用平拋運(yùn)動(dòng)相關(guān)的距離或距離的平方根，替代平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小。

2.兩球水平方向一維碰撞，用機(jī)械能守恒定律測速

【例2】用如圖3所示的裝置驗(yàn)證碰撞中動(dòng)量守恒定律。將大小相等質(zhì)量分別為mA與mB的兩小球用等長的細(xì)線懸掛在同一水平高度處，在最低點(diǎn)時(shí)兩球剛好接觸，細(xì)線均處于豎直狀態(tài)?，F(xiàn)將小球B向右拉至細(xì)線處于水平狀態(tài)處，并由靜止釋放，實(shí)驗(yàn)測得B與A碰撞后B向右彈回的最大擺角為θB，A向左擺的最大擺角為θA。不計(jì)實(shí)驗(yàn)過程中空氣阻力。

圖3

(1)寫出要驗(yàn)證的動(dòng)量守恒的表達(dá)式__________。

(2)若實(shí)驗(yàn)測得mA=0.12 kg，mB=0.05 kg，θA=θB=60°，則實(shí)驗(yàn)相對誤差的絕對值為________%。(保留兩位有效數(shù)字)

【點(diǎn)評】本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路與經(jīng)典實(shí)驗(yàn)相同，也是通過兩球在水平方向進(jìn)行一維碰撞來驗(yàn)證兩球在碰撞過程中遵循動(dòng)量守恒定律。但此題的設(shè)計(jì)方案與經(jīng)典實(shí)驗(yàn)不同的是通過入射小球碰撞前后與被碰小球碰后均在同一豎直平面內(nèi)做圓周擺動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，小球在做圓周擺動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可求兩小球在圓周最低點(diǎn)碰撞前后瞬間的速度大小。由于兩小球等大，且懸掛兩小球的兩條細(xì)線等長，由機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律可知，在要驗(yàn)證的結(jié)果表達(dá)式中可略去細(xì)線長，本實(shí)驗(yàn)只要測出兩小球質(zhì)量及兩小球碰撞前后做圓周擺動(dòng)過程中擺線與豎直方向的最大角度，從而簡化實(shí)驗(yàn)過程。

3.兩球水平方向一維碰撞，用機(jī)械能守恒定律與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律測速

【例3】如圖4所示，質(zhì)量為M的小球A用長為L不可伸長的細(xì)線系于天花板上的O點(diǎn)，小球A從細(xì)線與豎直方向成θ角位置處由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與靜止在O點(diǎn)正下方桌邊上的質(zhì)量為m(m

圖4

(1)若小球A、B在碰撞過程中動(dòng)量守恒，則x=________；

(2)在保證m

A、B兩小球發(fā)生彈性碰撞有

碰后小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，有

【點(diǎn)評】本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路和經(jīng)典實(shí)驗(yàn)一樣，通過兩球在水平方向進(jìn)行一維碰撞來驗(yàn)證兩球碰撞過程中遵循動(dòng)量守恒定律。與經(jīng)典實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案不同的是，本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中讓入射小球在豎直平面內(nèi)做圓周擺動(dòng)，通過測出擺長與小球開始做圓周擺動(dòng)時(shí)線與豎直方向的夾角，由機(jī)械能守恒定律求出入射小球碰前瞬間的速度大??；碰撞后，被碰小球做平拋運(yùn)動(dòng)，測出其運(yùn)動(dòng)的水平位移與豎直位移大小，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出被碰小球碰后瞬間的速度大小。若兩球的碰撞是彈性碰撞，則兩球在碰撞前后應(yīng)同時(shí)滿足動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律。本題中通過動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律，導(dǎo)出x與m的關(guān)系式，通過函數(shù)關(guān)系式分析線性圖象的構(gòu)成。用線性圖象分析處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的一種基本技能。

4.兩滑塊反沖運(yùn)動(dòng)，用光電門傳感器測速

【例4】用如圖5所示的裝置驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律。固定在氣墊導(dǎo)軌上的光電門A和光電門B與光電計(jì)時(shí)裝置連接，滑塊C、D上裝有完全相同的矩形擋光片。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

圖5

①用天平分別測量得出C、D兩滑塊(連同擋光片)的質(zhì)量分別為mC、mD；

②調(diào)節(jié)氣墊導(dǎo)軌底座螺母，觀察導(dǎo)軌上的氣泡儀，使導(dǎo)軌成水平狀態(tài)；

③在滑塊C、D間放入一個(gè)壓縮的輕質(zhì)彈簧，用一條細(xì)線將C、D連接，靜置于導(dǎo)軌上兩光電門之間；

④燒斷細(xì)線，使滑塊C、D在彈簧的作用下左、右運(yùn)動(dòng)，分別通過兩光電門A、B；

⑤由光電計(jì)時(shí)器記錄滑塊C第一次通過光電門A時(shí)擋光片擋光的時(shí)間tC，以及滑塊D第一次通過光電門B時(shí)擋光片擋光的時(shí)間tD。

回答下列問題：

(1)寫出驗(yàn)證兩滑塊動(dòng)量守恒的表達(dá)式________；

(2)為了測出被壓縮彈簧的彈性勢能Ep的大小，還需要測量________。

【點(diǎn)評】本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思想是利用兩體的反沖運(yùn)動(dòng)來驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律，通過光電門測速。實(shí)驗(yàn)方案中設(shè)計(jì)兩擋光片的寬度相同，驗(yàn)證兩滑塊反沖運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)量守恒，根據(jù)結(jié)果的表達(dá)式，可不用測量擋光片的寬度的具體值(但要求擋光片寬度很小)，讓實(shí)驗(yàn)過程簡化。利用氣墊導(dǎo)軌可有效地減小滑塊與導(dǎo)軌間的摩擦，提高實(shí)驗(yàn)精度。該實(shí)驗(yàn)裝置可驗(yàn)證兩物體反沖運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)量守恒，若測出擋光片的寬度，可求出滑塊被彈簧彈開后的速度大小，該實(shí)驗(yàn)裝置還可以用來測量被壓縮彈簧的彈性勢能，實(shí)現(xiàn)同一裝置多用途，提高知識的遷移與應(yīng)用能力。

5.兩滑塊反沖運(yùn)動(dòng)，用動(dòng)能定理與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律測速

【例5】用如圖6所示的裝置驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律。實(shí)驗(yàn)步驟如下：

圖6

①先測出滑塊A、B的質(zhì)量分別為mA、mB，查出滑塊A的材質(zhì)與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭；

②用細(xì)線將滑塊A、B連接，使A、B間的彈簧壓縮，滑塊B緊靠在桌邊；

③剪斷細(xì)線，測出滑塊B做平拋運(yùn)動(dòng)落地位置到重錘線的水平位移x1和滑塊A沿桌面滑行距離x2。

(1)本實(shí)驗(yàn)中，為了驗(yàn)證兩滑塊的動(dòng)量是否守恒，還要測量________；(寫出物理量的名稱及符號)

(2)若兩滑塊的動(dòng)量守恒，則關(guān)系式________成立。(用測量的物理量表示)

【解析】(1)桌面距離水平地面的高度h。

【點(diǎn)評】本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思想也是利用兩物體的反沖運(yùn)動(dòng)來驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律，實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)一輕彈簧將兩滑塊反向彈開后，一個(gè)滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)，通過測出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移與豎直位移，用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出該滑塊被彈簧彈開后的速度大??；另一滑塊在水平桌面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，通過測量滑塊在桌面上滑動(dòng)的距離，用動(dòng)能定理或勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出該滑塊被彈簧彈開后的速度大小。本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是經(jīng)典實(shí)驗(yàn)的遷移與拓展，可測出兩滑塊被彈開后速度的具體值。