賦權(quán)已實現(xiàn)波動率模型的改進(jìn)及實證研究

劉美娟，孫秋霞，王向榮，馮佳偉

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

波動率在金融資產(chǎn)風(fēng)險度量、投資組合管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。波動率大致分為三類：基于低頻數(shù)據(jù)的時變波動率、期權(quán)隱含波動率以及基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)類波動率。在高頻數(shù)據(jù)領(lǐng)域，Andersen等[1-2]做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，采用非參數(shù)方法，提出 “已實現(xiàn)”波動率。由于已實現(xiàn)波動率能夠反映更多價格信息，對市場波動率的刻畫更為準(zhǔn)確，引起廣大金融學(xué)者的關(guān)注并得到相當(dāng)數(shù)量的相關(guān)研究成果[3-5]。高頻數(shù)據(jù)波動率的“已實現(xiàn)”測算方法屬于非參數(shù)估計法，不需要假定服從某個分布，擁有比低頻數(shù)據(jù)更多的交易信息，計算簡便，但其結(jié)果會受到市場微觀結(jié)構(gòu)的限制。龔旭等[6]在HAR-RV模型的基礎(chǔ)上，運用EMD等方法將模型中的已實現(xiàn)波動率分解為高頻已實現(xiàn)波動率、低頻已實現(xiàn)波動率和趨勢已實現(xiàn)波動率，并加入跳躍波動率成分。陳國進(jìn)等[7]通過提取正跳躍與負(fù)跳躍，研究連續(xù)運動部分的存在是否會“稀釋”股價跳躍對波動率所產(chǎn)生的影響。孫潔[8]考察了考慮跳躍和隔夜波動的中國股票市場波動率建模與預(yù)測問題，用“已實現(xiàn)”波動率度量上證綜指和深證成指在交易時間內(nèi)的波動率。肖敏等[9]和瞿慧等[10]分別就廣義動態(tài)因子模型構(gòu)建的個股隔夜波動率以及引入隔夜信息的已實現(xiàn)波動率進(jìn)行了討論。柳向東等[11]通過已實現(xiàn)波動率和已實現(xiàn)雙冪次變差對資產(chǎn)價格的連續(xù)性波動和跳躍波動進(jìn)行建模，得到進(jìn)行波動率短期預(yù)測的HAR-lnRV模型及HAR-JV-CV模型。孫秋霞等[12]從計算方法、穩(wěn)健性、有效性、日歷效應(yīng)等角度，比較十種高頻數(shù)據(jù)“已實現(xiàn)”類波動率估計量，給出了針對不同市場結(jié)構(gòu)選取相適應(yīng)的高頻波動率估計量的建議。本研究比較分析異質(zhì)自回歸HAR-RV模型以及三類經(jīng)典的波動率HAR測算模型：HAR-RV-CJ模型、LHAR-RV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ模型。基于文獻(xiàn)[12],結(jié)合異質(zhì)市場理論、隔夜波動率的影響以及投資者交易行為的不對稱性，提出賦權(quán)已實現(xiàn)波動率的LHAR-WRV-CJ-M模型，并對其性能開展實證研究。

1 波動率預(yù)測模型的演化綜述及改進(jìn)

1.1 HAR-RV模型

基于有效市場理論，Müller等[13]修正了理性人假設(shè)，提出異質(zhì)市場理論；張磊[14]在此基礎(chǔ)上對股市交易者的異質(zhì)性行為進(jìn)行分析。而Corsi[15]根據(jù)異質(zhì)市場理論中投資者交易頻率的不同，提出HAR-RV模型并建立回歸關(guān)系：

(1)

其中εt表示隨機擾動項。該模型是關(guān)于已實現(xiàn)波動率的異質(zhì)市場自回歸模型，參數(shù)估計簡便。

1.2 HAR-RV-CJ模型

目前，我國金融市場個人投資者占比約為80%。個人投資者受專業(yè)能力所限，易受市場情緒影響，進(jìn)而產(chǎn)生非理性交易行為，使金融市場資產(chǎn)價格極易發(fā)生急劇波動。鑒于國內(nèi)金融市場現(xiàn)狀，樣本區(qū)間內(nèi)發(fā)生跳躍時已實現(xiàn)差波動率RV不再是積分波動率的一致估計量，需選取對于跳躍穩(wěn)健的波動率估計量。故采用帶有跳躍的非連續(xù)過程刻畫波動率和分解波動率，使連續(xù)因素與跳躍因素分離是研究該金融市場的必須手段。

通過將可穩(wěn)健性波動分離出連續(xù)和跳躍波動，Andersen 等[16]對HAR-RV模型進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建HAR-RV-CJ模型：

RVt,t+h=α0+αdCt+αwCt-5,t+αmCt-22,t+βdJt+βwJt-5,t+βmJt-22,t+εt,t+h。

(2)

由于時間序列數(shù)據(jù)通常不服從正態(tài)分布，用對數(shù)已實現(xiàn)波動率和對數(shù)已實現(xiàn)波動率的跳躍成分來構(gòu)建模型，更能提升預(yù)測模型的精度，波動率預(yù)測的長記憶性表現(xiàn)更好。故文獻(xiàn)[17]提出了對數(shù)形式的非線性模型：

log(RVt,t+h)=α0+αdlog(Ct)+αwlog(Ct-5,t+αmlog(Ct-22,t)+βdlog(Jt+1)+βwlog(Jt-5,t+1)+βmlog(Jt-22,t+1)+εt,t+h，

(3)

1.3 LHAR-RV-CJ模型

考慮好消息(正收益)和壞消息(負(fù)收益)對波動率的影響，Corsi等[18]構(gòu)建了LHAR-CJ模型,研究不同交易周期的負(fù)收益對波動率的影響。研究發(fā)現(xiàn)：負(fù)收益同波動率的自相關(guān)性質(zhì)相似，對波動率的預(yù)測具有長記憶性，并且正、負(fù)收益對波動率帶來的沖擊大小不同?？紤]到負(fù)收益具有杠桿效應(yīng)，故在異質(zhì)市場自回歸模型HAR-RV-CJ中加入負(fù)收益率變量，提高對波動率的預(yù)測效果。構(gòu)造對數(shù)形式的帶有負(fù)收益變量的LHAR-RV-CJ模型：

(4)

1.4 LHAR-WRV-CJ模型

雖然HAR-RV-CJ模型分離了已實現(xiàn)波動率RV中的連續(xù)和跳躍成分，但郭名媛等[3]在已實現(xiàn)波動率RV的基礎(chǔ)上消除日歷效應(yīng)，提出賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV，其有效性優(yōu)于已實現(xiàn)波動率RV。劉飛飛[19]采用賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV與已實現(xiàn)雙冪次變差RBV之差作為跳躍方差的一致估計量，提出LHAR-WRV-CJ模型，該模型在預(yù)測效果上同時優(yōu)于(2)式與(4)式所描述的HAR-WRV-CJ模型與LHAR-RV-CJ模型。通過對賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV分離跳躍和連續(xù)成分，最終得到對數(shù)形式的LHAR-WRV-CJ模型：

(5)

關(guān)于連續(xù)性波動的選擇上，用賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV替換了原先的已實現(xiàn)波動率RV，模型的有效性得到了提升；跳躍性波動方面也因為消除了日歷效應(yīng)的影響，起到了減少跳躍方差誤差的作用。

1.5 改進(jìn)的LHAR-WRV-CJ-M模型

HAR-RV模型僅考慮投資者的交易行為，忽視了其他異質(zhì)市場結(jié)構(gòu)因素，如投資者心理素質(zhì)、風(fēng)險偏好和認(rèn)知水平等，因而模型在預(yù)測市場方面存在缺陷。張小斐[20]在HAR模型基礎(chǔ)上加入心理因素和交易機制，建立HAR-L-M模型，證明該模型比ARFIMA和HAR-RV模型的預(yù)測效果更好。

鑒于市場交易機制下股市非24 h連續(xù)交易，因而波動率應(yīng)分為交易時間波動率與隔夜波動率。交易時間波動率即為已實現(xiàn)波動率RV。閉市期間，市場信息不斷產(chǎn)生，隔日開盤價格則會體現(xiàn)相應(yīng)信息，故需要考慮隔夜波動率。同時，由于GARCH類模型樣本外預(yù)測能力效果較好，因而本研究選擇GARCH模型衡量隔夜波動率，將其加入LHAR-WRV-CJ模型，形成LHAR-WRV-CJ-M模型。該模型對數(shù)形式：

(6)

2 波動率預(yù)測模型的比較研究

比較分析HAR-RV-CJ模型、LHAR-RV-CJ模型、LHAR-WRV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ-M模型。采集2014.05.05—2017.03.03期間上證指數(shù)5 min數(shù)據(jù)，進(jìn)行滾動時間窗口樣本外預(yù)測。原樣本數(shù)據(jù)為692天，計算收益率和月波動率剔除22天，樣本長度變?yōu)?70天，將前470天作為訓(xùn)練集，后200天作為驗證集。對上述四種HAR類模型的性能運用三種損失函數(shù)(MAE、MSE、R2LOG)和具有bootstrap特性的高級預(yù)測能力SPA法進(jìn)行效果評價。

2.1 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征

下面通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析連續(xù)性波動與離散性跳躍波動對已實現(xiàn)波動率和賦權(quán)已實現(xiàn)波動率的影響。

表1對比表2可得：對數(shù)賦權(quán)已實現(xiàn)波動率logWRV的標(biāo)準(zhǔn)差小于對數(shù)已實現(xiàn)波動率logRV的標(biāo)準(zhǔn)差，前者有效性明顯優(yōu)于后者。表1中對數(shù)離散跳躍方差log(JRV+1)的偏度和峰度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于表格中另外三種波動率，通過跳躍顯著性檢驗的離散方差，能夠刻畫跳躍性波動及市場的極端異常情況，所以有非常高的峰值。670個交易日樣本中，有34.03%發(fā)生顯著跳躍。對于已實現(xiàn)波動率而言，連續(xù)性波動CRV的均值占已實現(xiàn)波動率RV均值的比例為88.73%，離散跳躍波動JRV的均值約占已實現(xiàn)波動率RV均值的比例為25.65%；對于賦權(quán)已實現(xiàn)波動率而言，連續(xù)性波動CWRV的均值占賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV均值的比例為89.24%，離散跳躍波動JWRV的均值約占賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV均值的比例為21.63%。通過對已實現(xiàn)波動率和賦權(quán)已實現(xiàn)波動率的離散跳躍成分分離，可以看出離散波動成分對波動率的影響較小，由此表明對波動率的預(yù)測主要由連續(xù)波動決定。

表1 已實現(xiàn)波動率與連續(xù)跳躍方差的統(tǒng)計特征Tab.1 Statistical characteristics of realized volatility and continuous jump variance

表2 賦權(quán)已實現(xiàn)波動率與連續(xù)跳躍方差的統(tǒng)計特征Tab.2 Statistical characteristics of realized volatility and continuous jump variance

2.2 波動率預(yù)測模型參數(shù)估計

為得到穩(wěn)健的回歸結(jié)果，采用Newey-West方法，選取h=1，5和22天數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，分別表示對未來1天、1周和1月的波動率進(jìn)行估計。表3～6分別給出了對數(shù)HAR-RV-CJ模型、對數(shù)LHAR-RV-CJ模型、對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ-M模型的回歸結(jié)果。

由表3所列參數(shù)估計結(jié)果可知，對數(shù)日、周、月已實現(xiàn)波動率連續(xù)成分系數(shù)基本都顯著，短期連續(xù)成分對不同周期上證綜指波動率的估計結(jié)果在1%水平下顯著，短期連續(xù)成分能夠明顯影響未來不同周期的波動率。而模型跳躍成分系數(shù)的顯著性則不明顯，對未來不同周期波動率的影響不大。回歸結(jié)果表明：對數(shù)HAR-RV-CJ模型，能夠刻畫市場中的不同交易者行為的異質(zhì)成分。

表3 對數(shù)HAR-RV-CJ模型回歸結(jié)果Tab.3 Regression results of log HAR-RV-CJ model

由表4可知,對數(shù)LHAR-RV-CJ模型中的對數(shù)日、周、月已實現(xiàn)波動率的連續(xù)成分顯著不為0，標(biāo)準(zhǔn)化后負(fù)收益系數(shù)顯著性程度非常高。數(shù)據(jù)表明：我國市場中散戶眾多，不對稱效較為顯著，負(fù)收益率對波動率的影響大于正收益率對波動率的影響；對數(shù)LHAR-RV-CJ模型的不同周期的擬合優(yōu)度R2均高于對數(shù)HAR-RV-CJ模型，擬合效果非常好，對數(shù)LHAR-RV-CJ模型優(yōu)于對數(shù)HAR-RV-CJ模型。

表4 對數(shù)LHAR-RV-CJ模型回歸結(jié)果Tab.4 Regression results of log LHAR-RV-CJ model

表5結(jié)果顯示：模型對未來一天已實現(xiàn)波動率的連續(xù)成分系數(shù)均非常顯著，不同交易行為的疊加能夠成功刻畫市場的波動，中長期相對算起而言，對數(shù)周和月已實現(xiàn)波動率對波動的影響程度較高；短期日負(fù)收益率和中期的周負(fù)收益率杠桿效應(yīng)明顯，長期的月負(fù)收益率系數(shù)則不顯著，這一現(xiàn)象表明市場的悲觀情緒在中長期后逐步減弱。由模型的R2可以看出，對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型的擬合效果均優(yōu)于對數(shù)LHAR-RV-CJ模型和對數(shù)HAR-RV-CJ模型。

表5 對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型回歸結(jié)果Tab.5 Regression results of log LHAR-WRV-CJ model

表6中參數(shù)結(jié)果顯示：從市場多個維度進(jìn)行刻畫的模型樣本內(nèi)擬合效果高于對數(shù)HAR-RV-CJ模型、對數(shù)LHAR-RV-CJ模型以及對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型這三種模型，表明在對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型基礎(chǔ)上加入隔夜波動率因素后，模型性能得到了提升，能夠從市場交易機制方面增加對波動率刻畫的精度。與上述三種對數(shù)HAR模型相同的是，對于不同周期波動率的預(yù)測起主要影響的是連續(xù)成分，跳躍成分的效果并不顯著。

表6 改進(jìn)的對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型回歸結(jié)果Tab.6 Regression results of modified log LHAR-WRV-CJ-M model

3 波動率模型預(yù)測效果的比較

3.1 樣本外預(yù)測效果圖

圖1～4分別對應(yīng)對數(shù)HAR-RV-CJ模型、對數(shù)LHAR-RV-CJ模型、對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型以及對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型的滾動預(yù)測200天的預(yù)測值和真實值(LogRV和LogWRV)的對比結(jié)果。由圖示可以看出，考慮投資者不對稱心理因素和負(fù)收益的杠桿效應(yīng)的對數(shù)LHAR-RV-CJ模型的預(yù)測效果好于對數(shù)HAR-RV-CJ模型；采用賦權(quán)已實現(xiàn)波動率進(jìn)行模型修正的對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型的預(yù)測效果優(yōu)于對數(shù)LHAR-RV-CJ模型，預(yù)測精度最佳。基于市場交易機制和投資者心理因素的帶有隔夜波動率和負(fù)收益率的對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型，對市場的解釋最好。

圖1 對數(shù)HAR-RV-CJ預(yù)測值v.s.對數(shù)已實現(xiàn)波動率Fig.1 log HAR-RV-CJ model predictions v.s.logRV

圖2 對數(shù)LHAR-RV-CJ預(yù)測值v.s.對數(shù)已實現(xiàn)波動率Fig.2 log LHAR-RV-CJ model prediction v.s.logRV

圖3 對數(shù)LHAR-WRV-CJ預(yù)測值v.s.對數(shù)WRVFig.3 predicted-value of logLWC model v.s.logWRV

圖4 對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型預(yù)測值v.s.對數(shù)WRVFig.4 predicted-value of logLWCM model v.s.logWRV

3.2 樣本外預(yù)測評價分析

下面采用損失函數(shù)法和SPA檢驗法評價模型預(yù)測精度。

使用損失函數(shù)法計算出的數(shù)值越小，模型預(yù)測效果越好。表7數(shù)據(jù)表明，改進(jìn)的對數(shù) LHAR-WRV-CJ-M模型在三種損失函數(shù)下測算數(shù)值均最小，預(yù)測效果最好。

表7 三種損失函數(shù)評價結(jié)果Tab.7 Evaluation results of loss function

而SPA檢驗的值越大，基準(zhǔn)模型的預(yù)測越好。設(shè)定B=10 000次重復(fù)取樣，以對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型為基準(zhǔn)模型,在MAE、MSE、R2LOG損失函數(shù)下均有最大的p值。雖然對數(shù)LHAR-WRV-CJ模型與對數(shù)LHAR-RV-CJ模型在三種損失函數(shù)下預(yù)測效果優(yōu)于經(jīng)典的對數(shù)HAR-RV-CJ模型，但與對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型相比，其SPA檢驗的p值不高，故預(yù)測的準(zhǔn)確性效果低于對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型。

表8 SPA檢驗評價結(jié)果Tab.8 SPA test results

4 結(jié)論

通過分析三類HAR-RV模型，在LHAR-WRV-CJ模型基礎(chǔ)上構(gòu)建了加入隔夜波動率和負(fù)收益率的對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型。利用跳躍統(tǒng)計量對樣本期間內(nèi)的跳躍次數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗，將已實現(xiàn)波動率和賦權(quán)已實現(xiàn)波動率分為連續(xù)波動和跳躍波動，比較已實現(xiàn)波動率RV、賦權(quán)已實現(xiàn)波動率WRV的統(tǒng)計特征。實證研究發(fā)現(xiàn)：①連續(xù)性波動占已實現(xiàn)波動率的主體部分，連續(xù)性波動相對跳躍性波動其影響更大；②波動率預(yù)測模型的短期系數(shù)較為顯著，中長期對波動率的影響并不明顯；③通過使用三種損失函數(shù)進(jìn)行SPA檢驗，檢驗結(jié)果表明:對數(shù)LHAR-WRV-CJ-M模型的預(yù)測精度優(yōu)于已有的HAR-RV-CJ模型、LHAR-RV-CJ模型和LHAR-WRV-CJ模型。