重歷探究：為學(xué)生走出思維定式迷宮導(dǎo)航

嚴(yán)玉花 吳國(guó)良

（上海尚陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校桐鄉(xiāng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江省桐鄉(xiāng)市烏鎮(zhèn)鎮(zhèn)民合小學(xué)）

思維定式是指由先前的活動(dòng)造成的一種對(duì)活動(dòng)的特殊心理準(zhǔn)備狀態(tài)或活動(dòng)的傾向性，是按照積累的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和已有的思維規(guī)律，在多次學(xué)習(xí)運(yùn)用中形成的一種比較穩(wěn)定的、定型化了的思維方式。在具體情境不發(fā)生改變的情況下，像這種思維模式是數(shù)學(xué)基本知識(shí)積累與常規(guī)解題經(jīng)驗(yàn)技能的綜合，應(yīng)該說(shuō)利于學(xué)生按照一定的程序和解題規(guī)律來(lái)思考問(wèn)題，從而使得學(xué)生能順利地解決同類(lèi)問(wèn)題。由此可見(jiàn)，定式確實(shí)能夠讓我們運(yùn)用已經(jīng)掌握的方法快速解決問(wèn)題，不可否認(rèn)思維定式在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中有積極的一面。但是，如果一個(gè)問(wèn)題因?yàn)槟骋粋€(gè)信息條件的變化而發(fā)生了本質(zhì)改變，而我們的學(xué)生未能敏銳地察覺(jué)，還是用老方法解決，那么他往往就會(huì)計(jì)算錯(cuò)誤或陷入困境，甚至還會(huì)妨礙他采用新的方法。所以，我們?cè)诿鎸?duì)新問(wèn)題時(shí)，要敢于嘗試打破思維定式，重歷探究，為學(xué)生走出思維定式迷宮導(dǎo)航。

我們不妨來(lái)看下面人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的一道練習(xí)題：圖中正方形OABC的面積是30cm2，請(qǐng)你計(jì)算圓面積。因?yàn)檫@個(gè)練習(xí)題在學(xué)習(xí)圓面積這節(jié)課之后，且又不能直接套用公式，故把該學(xué)習(xí)內(nèi)容稱(chēng)為“圓面積拓展練習(xí)”。我們的孩子碰到這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就會(huì)說(shuō)不會(huì)做，為什么呢？問(wèn)起原因，說(shuō)是題目中沒(méi)有告訴我們圓的半徑是多少，所以沒(méi)法計(jì)算這個(gè)圓的面積。作為老師，我就會(huì)耐心地告訴孩子們：圓的面積計(jì)算公式S=πr2，那么在這個(gè)組合圖形中，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)就是圓的半徑，所以邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)就相當(dāng)于r2，也就是這個(gè)正方形的面積，所以這里的30cm2可以直接拿過(guò)來(lái)計(jì)算，那么這個(gè)圓的面積其實(shí)就是30πcm2。孩子們聽(tīng)了之后紛紛表示，原來(lái)這么簡(jiǎn)單。但是過(guò)了一段時(shí)間后，又一次遇到這樣的題目，有些孩子居然又不會(huì)做了，問(wèn)了孩子們，他們又回答說(shuō)題目中沒(méi)有告訴我們這個(gè)圓的半徑，沒(méi)法計(jì)算圓面積。然后我只好再分析講解一遍，同學(xué)們表示這次真聽(tīng)懂了。我也很欣喜，心想孩子們終于明白了。俗話(huà)說(shuō)，事不過(guò)三，但真正到了期末復(fù)習(xí)檢測(cè)，這樣類(lèi)似的題目再一次出現(xiàn)在試卷中，好多學(xué)生竟然又不會(huì)做了。究其原因，還是因?yàn)轭}目中沒(méi)告訴我們半徑的值，無(wú)法解答。我聽(tīng)后真是哭笑不得。這種教與學(xué)矛盾反復(fù)出現(xiàn)的問(wèn)題，一般我們也都會(huì)認(rèn)為是學(xué)生上課聽(tīng)講不認(rèn)真，沒(méi)有好好復(fù)習(xí)鞏固，卻不知本質(zhì)原因是孩子們形成了一定的解題思維定式。

為什么這個(gè)思維定式會(huì)這么強(qiáng)悍？首先，學(xué)生在課堂上確實(shí)都經(jīng)歷了一個(gè)探究圓面積計(jì)算方法的過(guò)程（課堂上我們是把圓進(jìn)行剪拼轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形，然后把圓與剪拼成的長(zhǎng)方形進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出圓面積計(jì)算公式“圓面積=圓周長(zhǎng)的一半×半徑”，也就是S=πr×r），所以孩子們印象比較深刻；其次，圓面積的字母公式留給學(xué)生的印象就是：除了圓周率π就是r；再次孩子們平時(shí)針對(duì)圓面積計(jì)算的鞏固練習(xí)，一般都是告訴半徑（或者直徑），再計(jì)算圓面積，很少涉及此類(lèi)問(wèn)題。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程使得學(xué)生堅(jiān)信：不知道半徑，我們就無(wú)法求出圓面積。因此只要“環(huán)境”不變，他們就很快地想到解決問(wèn)題的辦法，但一旦“環(huán)境”變了，就無(wú)從下手了，上面說(shuō)到的這道題目就是這種情況。同時(shí)，為了這個(gè)內(nèi)容，教師會(huì)安排滿(mǎn)滿(mǎn)的一節(jié)課，四十分鐘又怎能和一兩分鐘相比，所以教師想通過(guò)簡(jiǎn)短的講解來(lái)打破思維定式，幾乎不可能。

那么到底該怎么辦？筆者認(rèn)為思維定式的形成，有時(shí)間保證，有過(guò)程保證，還有強(qiáng)化訓(xùn)練。所以思維定式的打破，至少也得花上一節(jié)課，并讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程（可分為“破和立”）和拓展練習(xí)。同時(shí)，在最初階段還要增加一個(gè)“復(fù)習(xí)鋪墊”的環(huán)節(jié)，以便把學(xué)生逼進(jìn)“死胡同”，下面是教學(xué)方法。

一、復(fù)習(xí)鋪墊，堅(jiān)定信心

復(fù)習(xí)鋪墊旨在增強(qiáng)學(xué)生對(duì)老方法的信心，因?yàn)檫@有利于學(xué)生在接下來(lái)的環(huán)節(jié)形成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。探究之前，我們可以先一起復(fù)習(xí)下圓周長(zhǎng)的計(jì)算方法和字母公式（C=πd，C=2πr），圓周長(zhǎng)的一半的計(jì)算方法和字母公式圓面積的推導(dǎo)方法和字母公式（S=πr2）。特別是求圓面積，應(yīng)該讓學(xué)生更清楚地知道其實(shí)是在求轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形面積（如圖），所以圓面積的計(jì)算公式應(yīng)該是“圓面積=圓周長(zhǎng)的一半×半徑（S=πr×r）”才更符合要求。

再接著，可安排三個(gè)練習(xí)，分別是已知半徑、直徑和周長(zhǎng)求圓面積的題目，比如告訴我們r(jià)=1cm，d=8cm，C=12.56cm，然后分別求這些圓的面積。有了這個(gè)過(guò)程，學(xué)生才會(huì)堅(jiān)信：求圓面積必須得知道半徑，這樣才會(huì)對(duì)接下來(lái)的探究更加期待。

二、感受局限，打破定式

要想打破思維定式，首先得讓學(xué)生感受到老方法的局限性。在這里，可通過(guò)下題來(lái)感受（說(shuō)明：把正方形面積改為20cm2，也是為了方便解題，因?yàn)橛械膶W(xué)生會(huì)把它當(dāng)作周長(zhǎng)來(lái)算，而20比10計(jì)算起來(lái)更方便）。筆者經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主嘗試計(jì)算時(shí)一般會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一種是把20cm2當(dāng)作正方形的周長(zhǎng)來(lái)算，20÷4=5（cm），3.14×52=78.5（cm2）；另一種情況則是找不出解題的突破口，索性無(wú)從下手（其實(shí)無(wú)從下手這種情況，反而是有價(jià)值的，因?yàn)閷W(xué)生感受到了不能簡(jiǎn)單地把20cm2當(dāng)作正方形的周長(zhǎng)來(lái)算）。在組織討論交流時(shí)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)圓的半徑不可能是5cm，如果是5cm，那么正方形面積就會(huì)變成25cm2了；至于無(wú)從下手，還有一個(gè)原因就是算不出半徑。至此，學(xué)生已開(kāi)始對(duì)老方法產(chǎn)生懷疑，那么思維定式也即將被打破。

三、嘗試調(diào)整，建立新法

對(duì)老方法的懷疑，還算不得對(duì)思維定式的徹底打破，只有建立起新方法，才算真正完成。但新方法的建立，一定要順著學(xué)生的思維走，不然就會(huì)很強(qiáng)勢(shì)。此時(shí)，教師可以提問(wèn)：同學(xué)們，要是讓你把正方形的面積改一個(gè)數(shù)字，你會(huì)改成多少呢？孩子們一般都會(huì)選擇完全平方數(shù)，比如4、9、16，理由是通過(guò)這些數(shù)可以知道圓的半徑。接著，以9cm2為例，讓學(xué)生求出圓面積。這時(shí)一般會(huì)出現(xiàn)下面兩種方法，一種是先分解9cm2，再求圓面積，9÷3=3（cm），3.14×32=28.26（cm2） ；另一種是直接運(yùn)用9cm2，3.14×9=28.26（cm2）。然后通過(guò)對(duì)比，學(xué)生會(huì)感受到先分解9cm2得出半徑再求圓面積完全是多此一舉，此時(shí)再來(lái)解決先前的難題，就不在話(huà)下了。然后教師追問(wèn)，假設(shè)正方形的面積是1cm2，圓面積是多少？2cm2呢？3cm2呢？……你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論就是：圓面積是正方形面積的π倍。最后是圓面積計(jì)算公式的重新歸納，如果按照老思路，就是S=πr×r，按照新思路就是S=πr2。

這么一來(lái)，學(xué)生的思路就寬了，既可以先求圓周長(zhǎng)的一半再求圓面積，也可以先算出正方形面積再算圓面積。如果要算一個(gè)半徑是2cm的圓的面積，就可能出現(xiàn)這兩種做法了。方法1：3.14×2×2=6.28×2=12.56（cm2），方法 2：3.14×22=3.14×4=12.56（cm2）。

四、延伸拓展，強(qiáng)化新知

此文例題已是拓展題，難道還可以再拓展？完全可以，下面三題便是在此基礎(chǔ)上拓展來(lái)的。通過(guò)此拓展題，不僅可鞏固新知，還可以化解難點(diǎn)，獲得更多的其他知識(shí)。

第1題設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察比較，計(jì)算得出圓的外切正方形的面積其實(shí)是以半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積的4倍；

第2題設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察比較，計(jì)算發(fā)現(xiàn)圓的內(nèi)接正方形面積其實(shí)是以半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積的2倍；

第3題設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)觀察比較與計(jì)算結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)只要已知圖中正方形的面積是多少，根據(jù)圓半徑與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，就可以輕松求出這樣處于不同位置的三種圓的面積。

這種教學(xué)方法到底好不好？筆者可以很肯定地說(shuō)：絕對(duì)好！因?yàn)樵诘诙?，筆者進(jìn)行了嘗試（不僅在自己學(xué)校上過(guò)課，也到其他學(xué)校教學(xué)展示過(guò)），還在后期做了幾次調(diào)查，發(fā)現(xiàn)不會(huì)做這類(lèi)題的學(xué)生幾乎沒(méi)有了，同行們都評(píng)價(jià)說(shuō)這是一節(jié)打破思維定式教學(xué)的好課例。

此外，還可以讓學(xué)生收獲到許多其他的知識(shí)。比如發(fā)現(xiàn)“先方后圓，也是計(jì)算圓面積的一條好路徑?！痹谶@節(jié)課之前 ，學(xué)生一直認(rèn)為要求圓面積，必須經(jīng)歷“圓→長(zhǎng)方形→圓面積”的過(guò)程，而現(xiàn)在卻可以從“以半徑為邊長(zhǎng)的正方形的面積”到“圓面積”。再比如可以輕松得出正方形與內(nèi)切圓之間的關(guān)系，如果以“半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積”為標(biāo)準(zhǔn)，那么一個(gè)是它的4倍，一個(gè)是它的π倍，兩者之間的關(guān)系就是4:π，而人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)教材第74頁(yè)上（如下）的方法卻是計(jì)算，計(jì)算過(guò)程也相當(dāng)麻煩。

在每個(gè)正方形中分別作一個(gè)最大的圓，并完成下表。

正方形的邊長(zhǎng) 1cm 2cm 3cm 4cm正方形的面積圓的面積面積之比

本文只是以“圓面積拓展練習(xí)”為例講述了如何打破思維定式的方法，事實(shí)上，每一種因思維定式而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，都可以這樣處理。比如簡(jiǎn)算125×64，學(xué)生往往會(huì)做成（125×8）×（125×8）； 簡(jiǎn) 算 87×102， 往 往 會(huì) 做 成87×100+2，如果想要學(xué)生徹底改正過(guò)來(lái)，那么就得讓他們重新經(jīng)歷探究過(guò)程。

思維定式是一把雙刃劍。因此，在教學(xué)中教師一定要重視解題的最初探索過(guò)程，引導(dǎo)孩子從探索過(guò)程中找到解決問(wèn)題的思路與方法。平時(shí)課堂中新知識(shí)探索的推導(dǎo)過(guò)程、解決新題型的過(guò)程等，教師都應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成，同時(shí)教師的教學(xué)方式也要逐步向探索、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)課堂教學(xué)轉(zhuǎn)換，讓原本思維定式的過(guò)程成為學(xué)生自我創(chuàng)新的過(guò)程。