旋轉(zhuǎn)位似“似”成雙 定點(diǎn)定形“軌”一致

郭源源

摘 ? ?要：軌跡法是解決最值問題的重要方法.圖形在繞定點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)加位似變換時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡形狀呈現(xiàn)一致性.這種旋轉(zhuǎn)位似確定軌跡的方法，通過原理介紹和結(jié)論證明，揭示旋轉(zhuǎn)位似變換中的性質(zhì)和規(guī)律，并以“轉(zhuǎn)移位置”“內(nèi)嵌面積”“最值線段”三個(gè)方面的應(yīng)用，讓學(xué)生在問題分析中學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變換的視角看問題，感悟到“定點(diǎn)加定形，軌跡形一致”的圖形認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)位似;定點(diǎn)定形;軌跡

初中幾何中，由圖形運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的最值問題歷來是學(xué)生解題的難點(diǎn)，究其原因是圖形一直在變化，學(xué)生無法捕捉到運(yùn)動(dòng)變化背后“不變”的元素，難以分析出最值時(shí)的位置，也就無法從具體圖形上分析求解.動(dòng)態(tài)問題解題的關(guān)鍵在于動(dòng)中尋找定的量，再由這些定量探尋出動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡，從而根據(jù)軌跡分析出最值位置，即“由動(dòng)尋定，由定定軌，由軌求最” [1].因初中知識(shí)的局限性，初中的動(dòng)點(diǎn)軌跡以圓和直線軌跡為主，而確定軌跡的方法通常有兩種：其一，由“定點(diǎn)對(duì)定長(zhǎng)”，依據(jù)圓定義確定軌跡，或者由“定弦對(duì)定角”依據(jù)圓周角定理確定圓軌跡;其二，旋轉(zhuǎn)位似變換，因繞定點(diǎn)變換過程中，圖形形狀始終不變，故可由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，確定其他動(dòng)點(diǎn)的軌跡，即“定點(diǎn)定形軌一致”.相比之下，后者的原理更加隱蔽靈活.本文就以旋轉(zhuǎn)位似變換為例，介紹這類變換所蘊(yùn)含的性質(zhì)及在解題中的運(yùn)用，與大家交流分享.

一、旋轉(zhuǎn)位似變換介紹

旋轉(zhuǎn)位似變換是指一個(gè)圖形繞一定點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)變換的同時(shí)，也作位似變換;它是旋轉(zhuǎn)變換和位似變換的復(fù)合變換，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心和位似中心相重合.

【結(jié)論】若一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)位似變換，則圖形上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)形狀一致性，且任意兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)之比等于它們到旋轉(zhuǎn)位似中心的距離之比.其中：

（1）若一個(gè)點(diǎn)的軌跡是直線，則另一點(diǎn)軌跡也一定是直線，且兩直線夾角與這兩點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)位似中心組成的夾角相等或互補(bǔ)，即如圖1，點(diǎn)B的軌跡l和點(diǎn)C的軌跡l′的夾角與∠BAC相等或互補(bǔ);

（2） 若一個(gè)點(diǎn)的軌跡是圓，則另一點(diǎn)軌跡也一定是圓，且兩圓心和旋轉(zhuǎn)位似中心組成的夾角與這兩點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)位似中心組成的夾角相等，兩圓心到旋轉(zhuǎn)位似中心的距離之比等于這兩點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)位似中心的距離之比，即如圖2，∠OAO′=∠BAC， [OAO′A]=[BABC].

【證明】

（1） 如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在直線l上運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)和位似的性質(zhì)可得：△ABC △AB′C′， 進(jìn)一步可證△BAB′△CAC′，得[BB′CC′]=[ABAC]和∠ACC′=∠ABB′，再由四邊形內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角易證∠α=∠BAC為一定值，故C點(diǎn)在與∠α=∠BAC的直線l′上運(yùn)動(dòng).

（2） 如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作點(diǎn)O′使△BAC△OAO′，進(jìn)一步可證△ABO△ACO′，得[OBO′C]=[ABAC]=k.由k和OB為定值，可推出O′C始終也為定值，故點(diǎn)C在以O(shè)′為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)，且⊙O和⊙O′的半徑之比等于k.

【評(píng)注】這種圖形運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)和位似，因?yàn)樾D(zhuǎn)中心和位似中心重合，過程中具備“定點(diǎn)加定形”，所以始終存在兩對(duì)相似三角形，即“雙相似”.由雙相似致使角的等量關(guān)系和邊的比例關(guān)系一直存在，所以AB以一種關(guān)系在變化，AC就以同樣的關(guān)系在變化，即軌跡形狀呈現(xiàn)一致性.所有軌跡中，直線和圓的軌跡最為常見，其他軌跡證法亦是同理.

二、旋轉(zhuǎn)位似變換應(yīng)用

（一）?！靶巍辈蛔?，調(diào)整圖形位置

例1 ? 如圖3，平面上有任意三條不等距的平行線，使用尺規(guī)做出一個(gè)等邊三角形，要求三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行線上.

【分析】借助特殊到一般的思想，等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)都位于三條平行線上若作不出，那思考兩個(gè)頂點(diǎn)呢？?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)位于兩條平行線上的等邊三角形很容易做出且有無數(shù)種，如△ABC.接下來就是在保證等邊的前提下轉(zhuǎn)移圖形位置，利用旋轉(zhuǎn)位似變換由點(diǎn)B在直線l3上的運(yùn)動(dòng)，可確定點(diǎn)C的直線軌跡，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到l2上時(shí)就是等邊三角形的目標(biāo)位置.

【作法】限于篇幅，只寫作法思路，如圖3.

1.在l1和l2上任取兩點(diǎn)A和B，作等邊三角形ABC.

2.作射線CE，使得∠ACE=∠ABD，交l2于點(diǎn)C′.

3.連接AC′，以AC′為邊作等邊三角形AB′C′.

△AB′C′即為所求.

【評(píng)注】因等邊三角形的旋轉(zhuǎn)位似，所以有△ABB′△ACC′，故第3步確定點(diǎn)B′的做法還可以是在l3截取BB′=CC′或者是作射線AB′，使得∠C′AB′=∠CAB，交l3于點(diǎn)B′.此題的等邊三角形還可以變式為等腰直角三角形或其他特殊三角形，作法思路都是先構(gòu)造再調(diào)整，即借助旋轉(zhuǎn)位似變換，在保證形狀不變的前提下，調(diào)整圖形位置.

變式1 ? 如圖4，∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，使用尺規(guī)作等腰直角三角形PCD，要求點(diǎn)C、D分別在射線OB、OA上，∠PCD=90°.

【分析】易構(gòu)造出等腰直角三角形PC′D′，借助旋轉(zhuǎn)位似變換，當(dāng)點(diǎn)C′在射線C′O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D′也一定在射線D′E上運(yùn)動(dòng)，且∠PD′E=∠PC′O=90°.這樣D′E與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的位置，點(diǎn)D確定則點(diǎn)C隨之確定.

【作法】

1.作等腰直角三角形PC′D′，如圖4.