一種基于Kaczmarz算法的大規(guī)模MIMO信號檢測方法

蔣 曄,孫文勝

(杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-input Multiple-output, MIMO)技術中，一般是在基站側檢測上行信道中不同小區(qū)不同用戶之間的信號，按檢測方式可分為線性檢測和非線性檢測。常用傳統(tǒng)線性檢測方法有迫零(Zero Forcing，ZF)檢測、最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)檢測和最大比傳輸(Maximum Ratio Transmission，MRT)檢測。非線性檢測則是遍歷所有發(fā)射信號域中的信號，實現(xiàn)復雜度非常高，難于實現(xiàn)。由于存在信道硬化現(xiàn)象，即使是簡單的線性算法檢測也能接近最優(yōu)接收機的性能，同時其檢測復雜度為多項式級別，比非線性算法的指數(shù)級別的復雜度低很多。所以，近幾年的大規(guī)模MIMO檢測算法研究基本集中在線性算法上。

基于MMSE的簡化復雜度的檢測方法分為級數(shù)展開法和迭代法?；诩墧?shù)展開的諾曼級數(shù)展開法(Norman Series Expansion，NE)是采用級數(shù)序列的前幾項和近似矩陣求逆，級數(shù)展開次數(shù)的高低決定了其近似程度。迭代法又可分為求解方程組解的迭代法和直接求逆的迭代法。第一類迭代法有雅克比迭代(Jacobi, JC)、高斯迭代(Gauss-Seidel，GS)、(對稱)連續(xù)超松弛算法(Successive Over-Relaxation，SOR)[1]，第二類迭代法是基于Cholesky分解和Sherman-Morrison公式的CSM檢測算法[2]，首先使用Cholesky分解信道矩陣，然后使用Sherman-Morrison公式迭代計算信道信息。申濱等[3]把Kaczmarz算法引入大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，并且引入收斂因子，改變Kaczmarz算法的內部迭代順序，加快了收斂速度。丁春輝等[4]利用增廣矩陣避免了Gram矩陣的計算，減少了Kaczmarz算法的計算量。但是迭代次數(shù)增多時，該算法的復雜度反而會急劇增長。本文提出一種改進的Kaczmarz算法——半遞推Kaczmarz(Partial Recursive Kaczmarz, PR-Kaczmarz)算法，以遞推關系代替部分迭代部分，在保持性能基本不變的同時，降低復雜度。

1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

1.1 傳輸模型

為了簡化分析過程，使用用戶設備為單天線的單小區(qū)大規(guī)模MIMO上行鏈路系統(tǒng)模型。假設用戶數(shù)量為Mt個，基站天線數(shù)量為Mr根，其中Mr?Mt。上行信道HC(t)為Mr×Mt維，服從循環(huán)對稱復高斯噪聲(Circularly Symmetric Complex Zero-mean White Gaussian Noise, CSCG)分布的時變信道矩陣[5]。假定基站檢測信號的時間小于相干時間間隔，那么時變信道函數(shù)HC(t)可簡記為時間無關信道HC。離散均勻分布的Mt維實基帶信號向量為bR={b1,b2,…,bMt}，其中的元素bk∈+，+為正整數(shù)域。發(fā)送信號sC為經(jīng)過多進制正交幅度調制(Multiple Quadrature Amplitude Modulation，MQAM)后再次經(jīng)過功率歸一化的發(fā)射信號，M階調制的調制符號集為ΩM。為使得總發(fā)射功率為單位值，功率歸一化因子記為FM：

(1)

調制過程可記為ΩMmap(·)操作符。整個上行傳輸系統(tǒng)可表示為：

sC=ΩMmap(bR)×FM

(2)

yC=HCsC+nC

(3)

式(2)中的sC=(s1,s2,…,sMt)Η，右上角的Η代表共軛轉置。發(fā)射信號sC中元素的sk代表第k位用戶的發(fā)射信號。nC為服從CSCG的獨立Mr×1維加性白噪聲，nC～CN(0,σ2IMr)。式(3)中yC為基站處的接收信號。

1.2 檢測模型

上行信道基站側的常用線性檢測為MMSE檢測，可表示為：

(4)

(5)

2 Kaczmarz檢測算法

Kaczmarz算法是一種求解大型線性方程組最小范數(shù)解的迭代算法。將式(4)代入式(5)，經(jīng)過變形得到：

(6)

(7)

(8)

圖1 t=4，k=2時，Kaczmarz算法幾何逼近原理

3 PR-Kaczmarz檢測算法

3.1 初始值的選取

迭代法的初始值選取影響算法的收斂速度，初始值與解析解越是接近，其收斂速度越快。一般選取零向量作為迭代初始值，但是在MIMO系統(tǒng)中就不適用。考慮到發(fā)射天線增多時體現(xiàn)的信道硬化特性，且濾波矩陣W為共軛對稱、對角占優(yōu)。所以濾波矩陣可取W≈MrIMt。初始解為：

(9)

3.2 算法描述

圖2 PR-Kaczmarz算法流程圖

Kaczmar算法被證明收斂，然而由于其收斂速度比GS算法和SOR算法慢，且復雜度高，所以得不到應用[7]。為此，本文用部分遞推代替迭代，提出改進的PR-Kaczmarz算法。PR-Kaczmarz算法把迭代次數(shù)N分成兩部分：前半部分采用與Kaczmarz算法相同的策略。確保第N次是迭代的前提下，后半部分算法采用交替迭代與遞推的方式。需要說明的是，PR-Kaczmarz算法的N>4，否則算法就退化為普通Kaczmarz算法。算法的總迭代次數(shù)為N。定義3個新的存儲結構。第一個存儲結構為內循環(huán)結果序列表，記為R。R記錄后半部分算法迭代或遞推的結果值rk。第二個存儲結構為R中相鄰結果值的差值表，記為S，S記錄迭代或遞推的方向向量sk。最后一個存儲結構為S中相鄰元素的比值表，記為A。A記錄方向向量sk改變趨勢ak。ak一定程度上描述Kaczmar算法前后兩次外迭代的方向相關性。提出半迭代思想，即強相關性的ak之間可以相互替代。實驗中發(fā)現(xiàn)，基于范數(shù)排序的Kaczmar算法的后半部分迭代過程呈現(xiàn)出強相關性。PR-Kaczmarz算法的具體流程如圖2所示。

3.3 復雜度分析

表1 計算復雜度對比

3.4 仿真結果和分析

為了驗證PR-Kaczmarz算法的檢測性能，使用MATLAB進行仿真實驗。實驗中采用隨機瑞利衰落信道，天線配置分別為128×32和128×16配置下的調制方式分別為32QAM調制和64QAM。信噪比區(qū)間為-5～20 dB。每用戶發(fā)送的信號數(shù)量為5 000個。t表示算法的迭代次數(shù)，n表示諾曼級數(shù)的展開次數(shù)。實驗中PR-Kaczmarz算法的對比算法為展開次數(shù)為5次的Neumann級數(shù)檢測算法、標準MMSE檢測算法、迭代5次的梯度下降法、迭代5次的超松弛迭代法、迭代5～8次的Kaczmarz算法和迭代5～8次的PR-Kaczmarz算法。天線配置分別為128×32時，大規(guī)模MIMO上行信道系統(tǒng)中各類算法的誤比特率(Bit Error Rate, BER)曲線如圖3所示。整體上看，各算法的誤比特率隨著信噪比增加一致降低。同迭代次數(shù)下，Kaczmarz算法和PR-Kaczmarz算法的BER基本一致。同迭代次數(shù)的Kaczmarz算法和PR-Kaczmarz算法的BER性能遠差于梯度下降法和超松弛迭代法，這說明基于MMSE算法的Kaczmarz算法性能有限。圖4給出了128×16天線配置下的各算法BER曲線圖。圖4中，5次迭代的Kaczmarz算法和PR-Kaczmarz算法BER曲線差距明顯。其余迭代次數(shù)下，兩者的BER曲線接近。這說明低迭代次數(shù)下PR-Kaczmarz算法的優(yōu)勢不明顯，迭代次數(shù)超過5次時，PR-Kaczmarz算法的低復雜的優(yōu)勢能夠得到體現(xiàn)。對比兩圖，圖3的BER性能遠差于圖4。這是因為Kaczmarz算法的幾何逼近原理導致發(fā)射用戶Nt越大，算法的收斂速度越慢。

結合表1、圖3和圖4的性能曲線分析，可知PR-Kaczmarz算法在維持BER性能的同時，最多能降低17%的復乘計算量，在一定程度上降低算法的復雜度，從而減少基站端的硬件開銷。表1中數(shù)據(jù)表明，同樣的計算量下，PR-Kaczmarz算法至少比Kaczmarz算法多進行一次迭代或者遞推。為了進一步說明PR-Kaczmarz算法的優(yōu)勢，將同計算量不同迭代次數(shù)的PR-Kaczmarz算法和Kaczmarz算法對比。從圖3可知，誤碼率為10-2時，8次迭代PR-Kaczmarz算法相比于7次迭代Kaczmarz算法有著15 dB左右的增益。圖4中，誤碼率為10-4時，7次迭代的PR-Kaczmarz算法相比于6次迭代的Kaczmarz算法有著3 dB左右的增益。

圖3 128×32系統(tǒng)BER曲線

圖4 128×16系統(tǒng)BER曲線

4 結束語

針對大規(guī)模上行鏈路中Kaczmarz檢測算法復雜度高的問題，本文依據(jù)算法逼近原理，提出一種PR-Kaczmarz算法。算法利用Kaczmarz算法的幾何特性，采取將部分迭代過程替換成遞推的方法，有效解決了Kaczmarz算法復雜度高的問題。本文算法的簡化思想也可應用到大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)中的預編碼中，具有一定參考價值。后續(xù)研究中，可引入因子來控制遞推的步長，以改進BER性能；或者引入信道編碼，使用軟判決代替硬判決以提升誤碼率性能。