Hardy型算子的一些端點估計

楊會會，高貴連

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

1 一維Hardy型算子的端點估計

定理1設(shè)f為R+上的非負可測函數(shù)，其中α∈R，β>-1且η>-1。

證明(1)由Fubini定理知

(2)利用Fubini定理知，若α>-η-1，則

當(dāng)β=η=0時，定理1驗證了文獻[9]中的相應(yīng)結(jié)果對指標(biāo)的要求是必要的。事實上由定理1證明可得更一般結(jié)論：設(shè)α∈R，β>-1與η>-1，則

2 n維Hardy型算子的端點估計

將第1節(jié)的結(jié)果推廣到高維情形，得到如下結(jié)果。

證明(1)利用球面坐標(biāo)變換可得

根據(jù)Fubini定理知

(2)利用球面坐標(biāo)變換得

利用Fubini定理知，當(dāng)α>-η-n時,

類似于第1節(jié)，也可以得到n維Hardy型算子在加冪權(quán)的Lebesgue空間上的有界的充要條件。

3 結(jié)束語

本文在文獻[9]的基礎(chǔ)上推廣了一維及高維情形的Hardy型算子的一些端點估計，并證明這些端點估計對某些指標(biāo)的限制是必要的。將本文的結(jié)果推廣到一些其他形式的分數(shù)次Hardy型算子與多線性Hardy型算子上是下一步研究的重點。