讓錯誤“美麗”起來

劉瑞

【摘要】初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，就是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的過程，但是在學(xué)生解題過程中，總是出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，針對學(xué)生常見的幾個錯誤類型，解題中經(jīng)常遇到的解題障礙，筆者簡單從培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力、邏輯思維能力和解題技巧，實施策略談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);解題技巧;思維能力;實施策略

【中圖分類號】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）30-145-03

美國心理學(xué)家桑代克說過：“學(xué)習(xí)的過程，是一種漸進(jìn)的嘗試錯誤的過程?！庇绣e誤的課堂才是真實的課堂，沒有錯誤就沒有真正意義上的學(xué)習(xí)。學(xué)生的錯誤是寶貴的再生課程資源，教師要充分利用好學(xué)生的錯誤，經(jīng)營好學(xué)生的錯誤，讓錯誤“美麗”起來。在初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，往往會暴露出這樣或那樣的錯誤，這都是正?，F(xiàn)象，關(guān)鍵在于教師如何巧借錯題資源，引導(dǎo)學(xué)生有效反思自己的錯誤思維路徑，找到解決問題的方式方法，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的解題技巧和準(zhǔn)確率。筆者針對學(xué)生解題過程中經(jīng)常出現(xiàn)的問題并對此進(jìn)行分析，就如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技巧談些自己的體會。

一、活用定義定理，準(zhǔn)確找到切入點，提高解題技巧

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，而解題的關(guān)鍵在于快速準(zhǔn)確地找到解題的切入點，一旦切入點找準(zhǔn)了，試題可能會迎刃而解。尋找切入點的方法很多，其中，從數(shù)學(xué)定義、定理、公式、輔助線出發(fā)找尋解題切入點是常用而有效的方法。其實，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，牢固掌握并靈活運用概念、定義、定理是非常重要的，這對解答一些靈活性試題非常關(guān)鍵和有效，否則，就會出現(xiàn)解題的困惑甚至錯誤。

如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，且點D是BC的中點.試判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由。

這是2019-2020八年級第一學(xué)期期末考試的一道試題，是一道典型的證明全等的試題，難度并不算大。但我在監(jiān)考中發(fā)現(xiàn)，做錯的學(xué)生非常多。問題集中表現(xiàn)為兩類，一是部分學(xué)生對課本上的基本定義、全等判定掌握不牢、思維定勢較為嚴(yán)重，不能靈活運用所學(xué)定理。在此題中，從所給已知條件中，是不能夠直接證明AD⊥BC或AB=AC的。由于學(xué)生缺乏對三角形全等判定定理的變通能力，于是就沒有了正確的解題思路，不得不跟著感覺走，就認(rèn)為圖中兩個三角形是全等的，也不再考慮三角形全等的判定原理運用是否正確，直接按已知條件寫出解題過程，憑僥幸解題，希望老師能夠給分。二是不能準(zhǔn)確找到解題的切入點，導(dǎo)致解題出現(xiàn)障礙。在此題中，所給的條件就是“邊邊角”，但如果根據(jù)課本，利用“邊邊角”來判定，這個判定不存在，直接寫也是不對的。

怎么辦？還有什么條件我沒考慮到？題目中除了一條公共邊之外，就是線段中點，還有一個就是角平分線，這個時候如果學(xué)生對角平分線的性質(zhì)熟知能詳?shù)脑挘麄儜?yīng)該能夠想到根據(jù)角平分線性質(zhì)往角的兩邊做垂線，從而增加了一組條件，也就是增加了圖2中的DE=DF和∠DFB=∠DEC=90°這兩個條件，這樣他們就能證明ΔAFD≌ΔAED或者Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），從而根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，AD⊥BC.

其實，在學(xué)習(xí)全等判定的時候，我們對于幾種全等判定的方法都是經(jīng)過探究、練習(xí)、證明了的，在練習(xí)和講解的過程中，也反復(fù)強調(diào)一般三角形沒有“邊邊角”這一證明方法，學(xué)生也記住了幾種全等的判定方法。但是，當(dāng)遇到了不能直接用這些方法證明全等時，可以考慮轉(zhuǎn)化成其他證明全等的方法。然而，當(dāng)成績出來并進(jìn)行統(tǒng)計時，我們發(fā)現(xiàn)該題的得分率非常低，為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？原因在于學(xué)生不能夠從直接證明轉(zhuǎn)化為間接證明。對于本道試題，命題人的目的是想讓學(xué)生適切地尋找判定方法去證明三角形全等，正確地選擇解題方法和技巧。再者，在解答這道題目時，根據(jù)條件不能直接證明兩個三角形全等，應(yīng)考慮借助輔助線或是二次全等的方法來解題。解題過程如下：

證明：如圖，

作DF⊥AB，DE⊥AC，

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∠BFD=∠CED=90°，

∵D是BC的中點，

∴BD=CD，

在Rt△BDF和Rt△CDE中，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∴根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，AD⊥BC.

做任何事都需要變通，教學(xué)也不例外所以。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在堅守著變通，在變通中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中精彩，善于從不同角度去分析、思考問題，靈活運用數(shù)學(xué)定義、定理，另辟蹊徑尋找解題的切入點，而不能死搬硬套，不求變通。否則，學(xué)習(xí)就會走入機械僵化的死胡同。

二、精準(zhǔn)審題，強化融合，發(fā)展思維，提高解題技巧

核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)特別強調(diào)數(shù)學(xué)知識的整合、勾連，做到活化知識，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力、邏輯思維能力和解題技巧。提高學(xué)生解題技巧解題都是從審題開始的，審題的質(zhì)量直接關(guān)系到解題的成功率。初中數(shù)學(xué)所涉及到的知識點非常多，學(xué)生想要在較短的時間里快速準(zhǔn)確解決問題，一是要求學(xué)生對所學(xué)知識要熟知、熟練;二是要求學(xué)生認(rèn)真審題，明確試題指向和意圖，思考解題所用知識和思路;三是要求學(xué)生能把相關(guān)知識進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)、融合;四是要求學(xué)生逐漸從感性思維轉(zhuǎn)為理性思維，提升自己的思維力。

當(dāng)學(xué)生解題時，首先要認(rèn)真研讀試題內(nèi)容和設(shè)問，對題目中的條件、結(jié)論和問題進(jìn)行分析、歸納，弄清楚題目的條件和結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，分析這些聯(lián)系與哪個或那些數(shù)學(xué)原理相匹配，從而鎖定解題所用到的定理，這樣就能較快地確定解題方法和解題思路。

如，2020年徐州市中考數(shù)學(xué)試題的第18小題：在△ ABC 中，若AB=6，∠ACB=45°，則△ABC的面積的最大值為;;;;。這是試卷上最后一道填空題，這道題的得分率也是很低的，原因是什么？經(jīng)過了解學(xué)生得知，其原因是一部分學(xué)生沒讀懂題目，出現(xiàn)了思維“空白”現(xiàn)象，不知道如何下手，根本沒想到三角形和圓結(jié)合，也就沒有了解題方法。

在此道試題中，AB邊等于6是定值，我們作CM⊥AB，找到CM的最大值，此題就可以迎刃而解。根據(jù)三角形全等的知識，從試題所給的兩個條件，說明ΔABC是不唯一的，怎么找不固定三角形的高，最好的方法結(jié)合圓的知識，也就是知識的嫁接、融合。AB的長度一定，在構(gòu)造的圓中作為定弦，它所對的圓周角度數(shù)是固定的，三角形ABC會隨著點C的運動發(fā)生變化，C到AB的距離也就是三角形ABC的高也在不斷變化，但是在高的變化中，我們能夠確定高的最大值，從而也就找到了面積最大值的求法。

解題步驟如下：

解：作三角形ABC的外接圓⊙0，過0作CM⊥AB，

∴AM=BM（垂徑定理），

∴AC=BC

∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°

∴OM=AM= ;AB=3

∴AO=3? 2

∴CM=OC+OM=3? 2 +3

∴SΔABC= ;×6×（3? 2 +3）=9? 2? +9

思維是數(shù)學(xué)的生命和核心，數(shù)學(xué)教學(xué)是鍛煉學(xué)生思維能力的體操，“為學(xué)生思維發(fā)展而教”是數(shù)學(xué)教師為師之本、教學(xué)之道。在解題時，培養(yǎng)學(xué)生的思維力就要讓思維貫穿于解題的全過程，即貫穿于審題、思考、解題的整個過程。所以，我們在以后教學(xué)生解題時，要做到以下幾點：（1）分析所給已知條件。要明確題目中的已知條件，思考、發(fā)現(xiàn)隱含條件，把復(fù)雜的目標(biāo)轉(zhuǎn)化成簡單的目標(biāo)，把抽象的目標(biāo)轉(zhuǎn)化成具體的目標(biāo)。（2）確定解題思路。在弄清楚試題已知條件的基礎(chǔ)上，要準(zhǔn)確厘定解題思路，做到思路清晰，推理準(zhǔn)確，步驟完整，無懈可擊，從而提高解題的成功率。（3）注重知識的融合。數(shù)學(xué)知識的碎片化是制約學(xué)生解題出現(xiàn)障礙的主要因素。一道題目中的條件和結(jié)論之間存在著必然的聯(lián)系，這些聯(lián)系就是解題之關(guān)鍵。用哪些相關(guān)聯(lián)的知識去解決問題是教師在教學(xué)中必須關(guān)注的重要課題。在此題中，三角形知識與圓的知識進(jìn)行整合，是解題的關(guān)鍵。三角形能夠確定一個圓，那三角形和圓有著不可分割的聯(lián)系，這就需要學(xué)生心中有個知識聯(lián)系的思維框架。由于學(xué)生沒有想到三角形和圓的完美結(jié)合，就造成這道題沒有解出正確答案。所以，培養(yǎng)和發(fā)學(xué)生思維的廣泛性和深刻性、思維的靈活性和整合性、思維的邏輯性和創(chuàng)造性，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。

三、巧用圖形運動，發(fā)展學(xué)生想象力，提高解決技巧

圖形的運動在初中階段應(yīng)用非常廣泛，圖形運動類試題也越來越受到命題者的青睞。圖形運動類試題是以圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形變換為解題思路的題目，這類試題把圖形的性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系融合在變化的、相互依存的狀態(tài)之中，設(shè)置問題，考查學(xué)生的想象力、思維力。有不少學(xué)生在解答此類試題時往往會不知所措，望而生畏。其實，只要掌握了做此類試題的技巧，就不會不知從何下手或者出現(xiàn)錯誤。

如，在九年級復(fù)習(xí)軸對稱圖形時，為檢驗學(xué)生對所學(xué)知識的掌握情況，我出了一道利用對稱（也就是翻折）求面積的題目：如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=4，兩腰AC、BC與半圓相切于點D、E，求圖中陰影部分的面積。

析解：這個題目直接解決是有難度的，也是容易出現(xiàn)錯誤的試題。在此題中，將整個圖形沿AB所在的直線為對稱軸翻折，得到如圖4所示的正方形AGBC，根據(jù)對稱性就能把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，不少學(xué)生要么沒有任何思路，要么出現(xiàn)各種錯誤。其原因是缺乏解圖形運動類試題的思路和技巧。此題主要就是利用了圖形的運動，通過兩個三角形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，說明ACBG是軸對稱圖形（正方形），從而解決該題。在教學(xué)過程中，不少數(shù)學(xué)題目中充滿著對稱，利用對稱性是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效方法，也就是利用圖形的翻折，找到解決問題的辦法。但許多具體數(shù)學(xué)問題往往不具有對稱的形式，因此，需要構(gòu)造對稱的圖形來解決問題。

如圖可知：

解：S陰 = ;（S正方形-S⊙O）

在RtΔABC中，

AB2=2BC2=42=16

∴BC2=8

∴⊙O的半徑r= ;BC=;×2? 2 =? 2

∴S陰 =? （8-2π）=2-

再如，利用對稱求最值。動點問題結(jié)合圖形的運動對于初中的學(xué)生是比較困難的，比如我們常見的“小牛喝水”問題，講了好多遍，每次遇到還是有一大部分學(xué)生不能正確解答，做這類題，我們一定要教會學(xué)生在“動中找靜”，使隱蔽的條件明朗化，使分散的條件集中化，然后根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，簡化解題過程。

如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，且（下轉(zhuǎn)第149頁）（上接第146頁）點D為BC的中點，點P為AC上一個動點，求PB+PD的最小值。

析解這道題，PBD三個點，p是個動點，不好確定它的位置，但是，利用對稱性，我們能確定B的對稱點，B'D的長度就是PB+PD的最小值。 將△ABC以AC為對稱軸翻折得△ACB'，連結(jié)B'D交AC于點P，連結(jié)PB'，PB.

解：根據(jù)正方形的性質(zhì)PB=PB'

∴PB+PD=PB'+PD=B'D

在RtΔPCB'中

B'D=? CD2+CB2;=? 1+22? =? 5

即PB+PD的最小值為? 5

簡單說來，學(xué)生要正確解答圖形運動類問題時，必須具有扎實的基礎(chǔ)知識和靈活的解題能力，并且能夠綜合運用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、方程思想等。在解題過程中，不被“動”所迷惑，從特殊情況入手，變中找不變，動中求靜，以靜制動，把動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的問題來解決，找到了“動”與“靜”的聯(lián)系，也就確定了解決問題的突破口。

總之，學(xué)生在解題時出現(xiàn)的各種錯誤是不可浪費的教育教學(xué)資源，利用錯誤拓展師生共同成長的空間，使教學(xué)在“出現(xiàn)錯誤——分析錯誤——經(jīng)營錯誤——解決錯誤——再生錯誤”的過程中更加有效、更加精彩，這是新課程改革背景下教師促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的必由之路。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無論是老師的教學(xué)過程還是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，必須要對基本概念深入透徹地理解，深層次地掌握數(shù)學(xué)公式、相關(guān)定理，對數(shù)學(xué)問題能多角度的思考，多向度的思維，善于歸納、總結(jié)做題的得失原因以及方法技巧，不斷積累知識、經(jīng)驗，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會逐漸有靈感，解題會逐漸有靈性，從而使學(xué)生增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感、成就感，同時學(xué)生的思維也會越來越敏捷，從而也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

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