鋼筋混凝土梁抗剪承載力的FASTM顯式計算方法

趙盈江，毛科強，張恒偉，陳 旦

(1.云南建投博昕工程建設中心試驗有限公司，云南 昆明 650206；2.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074)

鋼筋混凝土(RC)梁的抗剪承載力研究開始于19世紀末，一百多年來國內(nèi)外研究人員進行了數(shù)以千計的混凝土構(gòu)件剪切試驗，并提出了多種剪切失效機理及計算模型。目前，RC梁的抗剪承載力理論主要包括修正壓力場理論、擾動壓力場理論、固定傾角軟化桁架理論(FASTM)和變角桁架理論(RASTM)等。修正壓力場理論和擾動壓力場理論認為混凝土構(gòu)件的抗剪承載力由混凝土貢獻和鋼筋貢獻兩部分組成，它們將鋼筋混凝土看做是一種新的正交異性材料，通過聯(lián)立平面剪切問題中平衡方程、協(xié)調(diào)方程和物理方程，引入斜裂縫間混凝土的拉伸硬化，并通過考察裂縫處的應力局部平衡來限制混凝土中拉應力。固定傾角軟化桁架理論和變角桁架理論也是將鋼筋混凝土看做一種材料，與壓力場理論不同之處在于：一是取消了裂縫處局部平衡的檢查；二是將鋼筋看做為“混凝土包裹的鋼筋”，不再使用裸筋的應力-應變關系，而是使用混凝土包裹下鋼筋的應力-應變關系。潘鉆峰等[1]結(jié)合209片鋼筋混凝土矩形梁的剪切試驗數(shù)據(jù)庫提出了基于MCFT的抗剪承載力顯式計算方法，但計算結(jié)果高估了RC梁的抗剪承載力，偏不安全。季韜等[2]在固定傾角軟化桁架模型的基礎上提出了隨動傾角軟化桁架模型，計算結(jié)果與試驗值更加吻合，求解過程更為繁瑣，不利于工程推廣應用。魏巍巍等[3]建立了臨界裂縫傾角與配箍率、箍筋屈服強度、縱筋應變、截面有效高度等參數(shù)之間的經(jīng)驗關系模型，但是僅適用于HPB235和HRB335鋼筋。張南等[4]在試驗的基礎上，考慮混凝土斜壓桿的軟化效應，推導了桁架模型承載力公式，計算結(jié)果與試驗值符合較好。Rahal[5]通過簡化修正壓力場理論得到SMCS方法，用于平面內(nèi)剪切和法向應力聯(lián)合作用下的膜單元失效模式的設計、計算和識別，簡化結(jié)果與試驗值吻合較好。王景全等[6]考慮尺寸效應、通過極限平衡法，得到有腹筋和無腹筋鋼筋混凝土梁抗剪承載力統(tǒng)一計算公式，該公式形式簡單，物理意義明確。

盡管修正壓力場理論的可靠性和準確性已經(jīng)得到驗證，但不能準確計算高配箍率或低配箍率條件下構(gòu)件的抗剪承載力，裂縫處局部平衡檢查時算法收斂條件苛刻，裂縫剪切應力檢驗很難有效執(zhí)行，而固定角軟化桁架模型雖然取消了裂縫處局部平衡的檢查，但材料復雜的本構(gòu)關系導致算法迭代過程更為復雜，不便于工程推廣應用。本文基于FASTM理論，利用245片鋼筋混凝土梁的試驗數(shù)據(jù)，引入具有顯著統(tǒng)計意義的回歸關系，提出RC梁抗剪承載力的顯式計算方法。

1 FASTM模型簡介

1985年Thomas將鋼筋混凝土的平衡條件、應變協(xié)調(diào)條件和材料應力應變關系結(jié)合起來建立的FASTM理論認為受剪構(gòu)件的受力變形行為由13個主導方程控制，包括3個靜力平衡方程(式(1)～(3))、7個變形協(xié)調(diào)方程 (式(4)～(10))、3個鋼筋和混凝土應力-應變本構(gòu)方程(式(11)～(13))。這13個主導方程包含15個變量，其中包含8個與力的作用相關的變量σl,σt,τl t,fl,ft,σ1,σ2,τ21，6個與變形相關的變量εl,εt,γl t,ε1,ε2,γ21，1個獨立變量ζ[1]。

σl=σ2cos2α+σ1sin2α+τ21sin2α+ρlfl

(1)

σt=σ2sin2α+σ1cos2α-τ21sin2α+ρtft

(2)

τl t=(σ1-σ2)sinαcosα+τ21cos2α

(3)

εl=ε2cos2α+ε1sin2α+0.5γ21sin2α

(4)

εt=ε2sin2α+ε1cos2α-0.5γ21sin2α

(5)

γl t/2=(ε1-ε2)sinαcosα+0.5γ21cos2α

(6)

γ21=-0.85ε1(1-η)

(7)

γ21=(εl-εt)csc2α+(ε1-ε2)cot2α

(8)

τ21=τ21m[1-(1-γ21/γ210)6]

(9)

τ21=[ρlfl-ρtft-(σ2-σ1)cot2α]/(2sin2α)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：σl，σt，τl t分別為l-t坐標系(外荷載坐標系)中鋼筋混凝土單元的平均正應力和剪應力；σ1，σ2，τ21分別為2-1坐標系(主應力坐標系)中混凝土單元的平均正應力和剪應力；α為l-t標系和2-1坐標系的夾角，定義為固定角，取45°；fl，ft分別為l和t方向的平均鋼筋應力；ρl，ρt分別為l和t方向的鋼筋配筋率；fly，fty分別為l和t方向的鋼筋屈服強度(裸鋼)；εl，εt，γl t分別為l-t坐標系中鋼筋混凝土單元的平均正應變和剪應變；ε1，ε2，γ21分別為2-1坐標系中混凝土單元的平均正應變和剪應變；η為鋼筋混凝土單元雙向配筋不均勻系數(shù)；ζ為受壓混凝土軟化系數(shù)；f′c為混凝土圓柱體抗壓強度；ε0為混凝土單軸受壓時峰值應力對應的應變，一般取-0.002；fcr為混凝土開裂應力；εcr為混凝土開裂應變，一般取0.00008；Ec，Es分別為混凝土彈性模量和鋼筋彈性模量；fy，fn分別為鋼筋的屈服強度(裸鋼)和埋置在混凝土中的鋼筋屈服強度；εy，εn分別為鋼筋的屈服應變(裸鋼)和埋置在混凝土中的鋼筋屈服應變；τ21m，γ210分別為混凝土開裂時的最大剪應力和最大剪應變。其中式(7)和式(9)通過大量試驗研究回歸分析得到。

由于未知數(shù)個數(shù)多于主導控制方程個數(shù)，應用時需要假定某一變量，然后通過迭代方式完成方程求解，具體步驟可參考文獻[1]。得到τl t-γl t曲線后，在忽略受壓區(qū)混凝土對構(gòu)件抗剪承載力貢獻的情況下，矩形截面梁抗剪承載力V可表示為：

V=bh0τl t_max

(14)

式中：b為矩形截面寬度；h0為截面有效高度；τl t_max為τl t-γl t曲線中τl t的最大值。

2 矩形截面梁抗剪承載力試驗

研究鋼筋混凝土梁抗剪承載力的理論計算模型必須有樣本容量較大的試驗梁數(shù)據(jù)庫作為支撐。本文通過收集公開發(fā)表的期刊論文上的試驗數(shù)據(jù)[7～16]，得到245片集中荷載作用下有腹筋鋼筋混凝土矩形截面簡支梁的抗剪承載力試驗結(jié)果。245片矩形截面試驗梁截面寬度b=80～457 mm；有效高度h0=140～1925 mm；剪跨比λ=1.0～5.0；混凝土棱柱體抗壓強度f′c=13.76～116.56 MPa；縱筋配筋率ρz=0.36%～ 6.96%；箍筋配筋率ρk=0.057%～1.810%；縱筋屈服強度fzy=302～1068 MPa；箍筋屈服強度fky=215～820 MPa。

使用FATSTM抗剪承載力“兩階段”迭代計算方法計算得到245片梁的抗剪承載力，為方便計算結(jié)果的討論，以RC梁的抗剪承載力試驗結(jié)果Vtest為參照對計算結(jié)果Vcal進行無量綱歸一化處理(Vcal/Vtest)，結(jié)果如圖1所示。另外，為了定量評價FASTM迭代算法的正確性，圖1還給出了基于GB 50010-2010《混凝土設計規(guī)范》的計算結(jié)果(VGB/Vtest)以及基于JTG D62-2004《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規(guī)范》的計算結(jié)果(VJTG/Vtest)作為對比。從圖1中不難發(fā)現(xiàn)：(1)從均值上看，F(xiàn)ASTM模型計算結(jié)果與試驗值之比為1.03，而規(guī)范GB 50010-2010和JTG D62-2004承載力計算值僅為試驗值的80%和72%，這證明了FASTM模型迭代算法能較好地預測矩形截面梁的抗剪承載力；(2)從離散性上看，三種方法計算得到的245片RC矩形梁的歸一化抗剪承載力的變異系數(shù)均超過0.15。

圖1 245片鋼筋混凝土梁抗剪承載力試驗值和計算值

3 基于FASTM的RC梁抗剪承載力顯式計算方法

FASTM模型雖然能較為準確地預測RC梁的抗剪承載力，但材料本構(gòu)關系是分段函數(shù)，計算過程也需要復雜的迭代運算，不便于工程推廣。為簡化分析過程，擬通過分析FASTM迭代計算過程中某些中間變量的統(tǒng)計關系，引入具有顯著統(tǒng)計意義的關系作為附加控制方程，聯(lián)立平衡方程、協(xié)調(diào)方程、本構(gòu)方程實現(xiàn)抗剪承載力的顯式計算。

3.1 RC梁抗剪極限狀態(tài)下縱筋、箍筋、混凝土的受力狀態(tài)

為考察矩形截面RC梁達到抗剪極限狀態(tài)時縱筋、箍筋、混凝土的受力行為，圖2給出了達到抗剪承載力極限狀態(tài)時245片試驗梁的四項無量綱指標：(1)箍筋應變εk與箍筋屈服應變εnk之比εk/εnk；(2)縱筋應變εz與縱筋屈服應變εnz之比εz/εnz；(3)混凝土拉應變ε1與開裂應變εcr之比ε1/εcr；(4)混凝土壓應變ε2與考慮軟化系數(shù)的峰值應力所對應的應變ζε0之比ε2/ζε0。

從圖2可以發(fā)現(xiàn)：RC矩形梁達到抗剪極限狀態(tài)時，245片試驗梁的箍筋均發(fā)生屈服，而絕大多數(shù)梁的縱筋未屈服，表明本文遴選的245片試驗梁的破壞形態(tài)絕大多數(shù)是典型的剪切破壞，這可能也是FASTM理論的抗剪承載力計算值與試驗值吻合較好的原因，當梁體發(fā)生斜拉破壞或斜壓破壞時，梁體破壞模式與FASTM理論的假設相差較多，F(xiàn)ASTM理論的預測結(jié)果可能會失真；混凝土主拉應變均超過開裂應變，而絕大多數(shù)梁體混凝土主壓應變則超過峰值應力對應的應變，需考慮混凝土的軟化效應。

圖2 RC梁抗剪承載力極限狀態(tài)下鋼筋和混凝土受力特征

為從統(tǒng)計學角度考察4組變量的特征，利用單邊 t 檢驗方法分析 4 組變量是否顯著小于 1 或者顯著大于1，檢驗水準α取0.05時結(jié)果如表1所示，從中可以發(fā)現(xiàn)：(1)箍筋應變εk與箍筋屈服應變εnk之比εk/εnk、混凝土拉應變ε1與開裂應變εcr之比ε1/εcr、混凝土壓應變ε2與考慮軟化系數(shù)的峰值應力所對應的應變ζε0之比ε2/ζε0這3組變量各自的檢驗統(tǒng)計量值均顯著大于自由度為244的t分布0.005分位數(shù)t0.005(244)，表明該三個變量在統(tǒng)計意義上顯著大于1；(2)縱筋拉應變εz與縱筋屈服應變εnz之比εz/εnz的檢驗統(tǒng)計量值小于自由度為244的t分布0.005分位數(shù)t0.005(244)，表明εz/εnz在統(tǒng)計意義上顯著小于1。

表1 抗剪承載力極限狀態(tài)下鋼筋、混凝土力學特性的t檢驗結(jié)果

因此，從統(tǒng)計學角度可以定量且合理地將箍筋、縱筋和混凝土主拉應變和壓應變分段表達的本構(gòu)關系簡化為單一函數(shù)，這為本文的顯式計算方法分析提供了便利。

3.2 RC梁抗剪極限狀態(tài)下附加控制方程

為尋找RC梁抗剪承載力極限狀態(tài)時箍筋應變εk、縱筋應變εz、混凝土主拉應變ε1、混凝土主壓應變ε2、混凝土剪應變γ21之間的統(tǒng)計關系，利用非參數(shù)皮爾遜相關性檢驗方法分析上述5組變量之間的相關性，結(jié)果如表 2所示。

表2 抗剪承載力極限狀態(tài)下鋼筋、混凝土力學特性的相關性檢驗結(jié)果

從中可以發(fā)現(xiàn)：在抗剪極限狀態(tài)下，245片樣本試驗梁的箍筋應變εk與混凝土拉應變ε1、混凝土剪應變γ21之間存在極為顯著的相關關系(皮爾遜相關系數(shù)超過0.90，顯著性水平P值小于0.01)；縱筋應變εz與箍筋應變εk、混凝土主拉應變ε1之間也存在顯著的相關關系(皮爾遜相關系數(shù)超過0.80，顯著性水平P值小于0.01)；其他變量之間相關性并不顯著。

圖3給出了245片試驗梁的混凝土剪應變與箍筋拉應變之比β1=γ21/εk、箍筋拉應變與混凝土拉應變之比β2=εk/ε1的計算值，從中可以看出盡管245片試驗梁的混凝土強度、縱筋和箍筋的配筋率、跨徑不盡相同，但達到抗剪極限狀態(tài)時β1和β2的離散性并不大。β1的均值為-0.72，變異系數(shù)僅-0.05；β2的均值為0.78，變異系數(shù)僅0.06。而文獻[7]通過試驗得到β1和β2的均值分別為-0.71和0.75，與本文的統(tǒng)計結(jié)果較為接近，兩組如此顯著的回歸關系將為FASTM模型的顯式計算提供可能。

圖3 245組試驗梁的β1和β2

3.3 FASTM顯式計算方法

通過統(tǒng)計分析245片鋼筋混凝土矩形梁在抗剪承載力極限狀態(tài)條件下縱筋、箍筋和混凝土的力學行為，發(fā)現(xiàn)245片梁在抗剪承載力極限狀態(tài)下梁內(nèi)箍筋均發(fā)生屈服且混凝土主拉應變均超過其開裂應變，絕大部分梁體的縱筋未屈服且混凝土主壓應變也超過峰值應力對應的應變，據(jù)此當僅關心鋼筋混凝土梁體抗剪承載力時，可作出以下4種假定，實現(xiàn)對箍筋、縱筋和混凝土應力的本構(gòu)關系的簡化。

(1)結(jié)合式(7)，假定鋼筋混凝土梁達到抗剪承載力極限狀態(tài)時，混凝土平均拉應力-應變曲線為開裂應變后的曲線：

σ1=fcr(εcr/ε1)0.4

(15)

(2)結(jié)合式(8)，假定鋼筋混凝土梁達到抗剪承載力極限狀態(tài)時，混凝土平均壓應力-應變曲線為達到峰值應力后的曲線：

(16)

(3)結(jié)合式(10)，假定鋼筋混凝土梁達到抗剪承載力極限狀態(tài)時，箍筋應力-應變曲線為屈服后的曲線：

(17)

(4)結(jié)合式(10)，假定鋼筋混凝土梁達到抗剪承載力極限狀態(tài)時，縱筋應力-應變曲線為屈服前的曲線：

fz=Esεz

(18)

另外，鑒于245片試驗梁在達到抗剪承載力極限狀態(tài)時，混凝土剪應變與箍筋拉應變、箍筋拉應變與混凝土拉應變均有極為顯著的相關關系，且β1和β2的變異系數(shù)較小，因此可以考慮將式(18)(19)作為附加控制方程引入FASTM算法內(nèi)。

γ21=β1εk=-0.72εk

(19)

εk=β2ε1=0.78ε1

(20)

將式(15)～ (20)帶入平衡方程，即可建立僅含混凝土拉應變εl的平衡方程，利用數(shù)值算法求解得到εl后，帶入平衡方程，即可方便地得到開裂混凝土最大剪應力τl t max。

(21)

求得最大剪應力τl t max后，帶入式(13)即可求得RC梁抗剪承載力極限值V：

(22)

4 基于FASTM顯式計算方法的RC梁承載力預測

4.1 計算結(jié)果分析

利用式(22)計算245片試驗梁的抗剪承載力，為方便計算結(jié)果的討論，以RC梁的抗剪承載力試驗結(jié)果Vtest為參照對計算結(jié)果Vcal進行無量綱歸一化處理(Vcal/Vtest)，結(jié)果如圖4所示。

圖4 顯式算法的正確性驗證

從圖4可以看出：基于FASTM顯式計算方法得到的RC梁抗剪承載力與試驗值吻合良好，但略大于迭代計算結(jié)果，這表明RC梁抗剪極限狀態(tài)下，對鋼筋和混凝土本構(gòu)方程的簡化處理以及附加方程的引入并未顯著增加計算結(jié)果的離散性和計算誤差，顯式算法計算結(jié)果偏大的原因可能是由于顯式算法對材料本構(gòu)關系的簡化處理造成的(特別是抗剪承載力極限狀態(tài)下混凝土主壓應變均超過其峰值應變的假定)，因為圖2b中不難發(fā)現(xiàn)抗剪承載力極限狀態(tài)下245片試驗梁的混凝土主壓應變有不少仍低于其峰值應力對應的壓應變。

4.2 剪跨比的影響

FASTM理論是基于危險截面上微元體的應力平衡條件推導的，無法考慮剪跨比λ對混凝土梁體抗剪承載力的影響，因此FASTM理論預測值可能與試驗值有很大的偏差，從圖4中也不難發(fā)現(xiàn)確實有部分梁體的Vcal/Vtest小于0.5或大于1.5。嚴格來說，F(xiàn)ASTM的假定決定了其僅能相對準確地預測破壞模式為剪壓破壞的鋼筋混凝土梁體的抗剪承載力，由于剪跨比是影響鋼筋混凝土剪切破壞模式的主要因素，因此有必要從剪跨比方面討論FASTM模型的適用性，為此將245片試驗梁按照如表3所示的8組剪跨比范圍進行分類，分別計算每個剪跨比區(qū)間內(nèi)梁體抗剪承載力的FASTM預測結(jié)果。

表3 不同剪跨比下FASTM模型計算結(jié)果

從表3可以發(fā)現(xiàn)：(1)從均值上看，F(xiàn)ASTM的理論預測結(jié)果確實會受剪跨比影響，當剪跨比較小時，F(xiàn)ASTM理論預測結(jié)果偏小，而當剪跨比超過3.0后理論預測結(jié)果又明顯偏大；當1.5<λ≤3.0時，梁體破壞形式為典型的剪壓破壞，F(xiàn)ASTM顯式算法和迭代算法計算結(jié)果誤差在10%以內(nèi)，且與試驗值的誤差也在±18%以內(nèi)；(2)從離散性上看，剪跨比對FASTM理論預測值的變異系數(shù)影響不大。

5 結(jié) 論

本文基于FASTM理論，通過分析245片試驗梁抗剪承載力極限狀態(tài)時鋼筋和混凝土受力行為的統(tǒng)計特征，引入具有顯著統(tǒng)計意義的回歸關系，提出了基于FASTM理論的RC梁抗剪承載力顯式算法，并得到以下結(jié)論：

(1)抗剪承載力極限狀態(tài)下245片試驗梁箍筋均發(fā)生屈服，混凝土主拉應變均超過開裂應變，混凝土主壓應變均大于峰值應力對應的應變，雖然有少許試驗梁的縱筋應變大于其屈服應變，但在統(tǒng)計意義上縱筋應變顯著小于其屈服應變，且混凝土剪應變與箍筋拉應變、箍筋拉應變與混凝土拉應變之間均有極為顯著的相關關系；

(2)對抗剪承載力極限狀態(tài)下鋼筋和混凝土本構(gòu)關系進行適當簡化，并引入2個附加控制方程后即可實現(xiàn)對鋼筋混凝土梁抗剪承載力的FASTM顯式計算，且顯式計算結(jié)果與試驗值吻合較好；

(3)FASTM的抗剪承載力理論預測結(jié)果確實會受剪跨比影響，當剪跨比較小時，F(xiàn)ASTM理論預測結(jié)果偏小，而當剪跨比超過3.0后理論預測結(jié)果又明顯偏大；當1.5<λ≤3.0時，梁體破壞形式為典型的剪壓破壞，F(xiàn)ASTM顯式算法能較為準確地計算梁體的抗剪承載力。