滲透多思少算理念培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

柳建顯 關(guān)劍鋒

【摘 要】本文以一道解析幾何題解法探究為例，論述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法，提出讓學(xué)生掌握流程步驟以塑造優(yōu)異品格，讓學(xué)生領(lǐng)悟合理選擇參數(shù)以走向正確方向，培養(yǎng)幾何分析意識(shí)，優(yōu)化解題過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】解析幾何 數(shù)學(xué)運(yùn)算 核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）02B-0144-04

坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，此方法的核心思想是利用解析幾何圖形中的彼此關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線或曲線方程中的有關(guān)系數(shù)等變量來(lái)處理。由于高考命題越發(fā)關(guān)注解題方向的選擇及計(jì)算方法的合理性。因此，除了坐標(biāo)法，多思少算理念在簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程中成為一種趨勢(shì)。在教學(xué)中，教師如何引導(dǎo)學(xué)生選擇合理的解題方向、怎樣運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄒ院?jiǎn)化運(yùn)算、如何貫徹多思少算的理念，是不可忽視的問(wèn)題。下面以一道解析幾何題解法探究為例，與讀者交流。

一、試題再現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo) xoy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn) A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱，P 是動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 。

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程;

（Ⅱ）設(shè)直線 AP 和 BP 分別與直線 x=3 交于點(diǎn) M，N，問(wèn)是否存在點(diǎn) P 使得 △PAB 與 △PMN 的面積相等？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

二、解法探究

分析易得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 x2+3y2=4（x≠±1），過(guò)程在此省略。下面我們重點(diǎn)關(guān)注第二問(wèn)不同思考方向引出的不同的解答過(guò)程。

[評(píng)注]因?yàn)槭乔簏c(diǎn)，所以直接從點(diǎn)入手，這是學(xué)生容易想到的。通過(guò)對(duì)面積相等這一設(shè)定，假設(shè) P 坐標(biāo) P（x0，y0），利用條件對(duì)圖形中的幾何特征進(jìn)行分析，構(gòu)造面積相等的方程，從而求解。難點(diǎn)在于構(gòu)建 M，N 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和求解過(guò)程，以及 ?MN 長(zhǎng)度的化簡(jiǎn)。此法設(shè)且求 M，N 坐標(biāo)，設(shè)而不求 MN 長(zhǎng)度。其中用到的方程思想、參數(shù)設(shè)點(diǎn)法都是解析幾何的常規(guī)方法，整個(gè)過(guò)程適合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等素養(yǎng)。

[評(píng)注]從線入手，引進(jìn)斜率 k，則參數(shù)唯一且目標(biāo)明確。通過(guò)轉(zhuǎn)化讓相關(guān)點(diǎn)都與斜率有關(guān)，運(yùn)用韋達(dá)定理求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。設(shè)且求相關(guān)點(diǎn) M，N 坐標(biāo)，整體代換，運(yùn)用方程思想等讓問(wèn)題得以解決。從解題過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，選擇斜率作為參數(shù)時(shí)難點(diǎn)也非常突出，在有限的時(shí)間里，這對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了很高的要求，并且在化簡(jiǎn)時(shí)也極易出錯(cuò)。參數(shù)設(shè)線法，這種常規(guī)設(shè)法在此解法里也得到了很好的體現(xiàn)。

[評(píng)注]也從點(diǎn)入手，利用三角面積公式求解。初看 ，，， 都不易求，但把乘積轉(zhuǎn)換為比例后，利用三角形相似，化定積為定比。此解法妙不可言，突出了用幾何法解決幾何問(wèn)題能簡(jiǎn)化運(yùn)算、優(yōu)化解題思路的特點(diǎn)。利用相似比化定積為定比充分體現(xiàn)多思少算的理念，利用相似三角形來(lái)處理解析幾何中涉及線段長(zhǎng)度類問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的好方法。

〖解法 4〗延長(zhǎng)直線 AB，交直線 x=3 于點(diǎn) S（xS，yS），設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（x0，y0）。若存在點(diǎn) P，使得 ，則 P 必在直線 AB 的右上方。

[評(píng)注]仍從點(diǎn)入手，利用補(bǔ)形思想，結(jié)合圖形的對(duì)稱性，利用面積關(guān)系挖掘題目中隱藏的幾何條件—— 中點(diǎn)的信息，通過(guò)中點(diǎn)構(gòu)建幾何圖形的中位線并利用其性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。解法 4 通過(guò)平面幾何知識(shí)將復(fù)雜的圓錐曲線問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單、有條理地推理，計(jì)算量很小，體現(xiàn)數(shù)學(xué)化繁為簡(jiǎn)的真諦。平面幾何知識(shí)的分析處理手段，很好地體現(xiàn)多思少算的理念，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和多思少算理念的很好素材。

三、教學(xué)反思

解析幾何作為培養(yǎng)運(yùn)算能力的沃土，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的最佳載體，在高考中起著重要的選拔功能作用?；诒绢}的解法探究，對(duì)解析幾何的運(yùn)算教學(xué)，筆者有以下幾點(diǎn)思考。

（一）讓學(xué)生掌握流程步驟，塑造優(yōu)異品格

坐標(biāo)法是解析幾何的基本思想，數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、設(shè)而要求、整體代入、整體運(yùn)算、韋達(dá)定理、面積公式、長(zhǎng)度公式、點(diǎn)到線的距離公式都是我們常見(jiàn)的基本方法和基本公式，設(shè)點(diǎn)、設(shè)線是解析幾何中兩種重要的設(shè)參方法。這些常見(jiàn)方法、思想在解法 1 和解法 2 得到了很好的體現(xiàn)。教學(xué)中我們應(yīng)該腳踏實(shí)地地貫徹典例中處理解析幾何問(wèn)題的基本流程：

要解決什么問(wèn)題（求點(diǎn) P 的坐標(biāo)）—— 問(wèn)題對(duì)象的幾何特征（面積相等）—— 用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系（相關(guān)點(diǎn)、線）—— 運(yùn)算解決問(wèn)題（長(zhǎng)度、距離等）—— 分析運(yùn)算結(jié)果的幾何含義（坐標(biāo)、長(zhǎng)度、面積等）—— 解決幾何問(wèn)題（坐標(biāo)）。

而這個(gè)過(guò)程性教學(xué)恰恰是我們常規(guī)教學(xué)的核心。我們要反復(fù)強(qiáng)化這一流程，讓學(xué)生熟能生巧，掌握基本模式，讓他們知道基本思想、明白基本方法、基本流程。解法 1 和解法 2 都應(yīng)讓學(xué)生理解掌握。

教育的根本任務(wù)是育人。數(shù)學(xué)為磨煉學(xué)生的意志和提高耐挫力提供了絕好的平臺(tái)，意志品質(zhì)水平的高低與數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)劣有著極為密切的內(nèi)在聯(lián)系?！凹埳系脕?lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，解法 1 和解法 2 運(yùn)算量相對(duì)較大，這樣運(yùn)算較大的常規(guī)思路方法，在平時(shí)教學(xué)中不能省略，而應(yīng)勇敢地帶領(lǐng)學(xué)生突破運(yùn)算瓶頸。解法 1 求 M 和 N 坐標(biāo)，求 MN 長(zhǎng)度;解法 2 讓學(xué)生努力化簡(jiǎn)得到方程 ，當(dāng)他們用坐標(biāo)思想最終解出點(diǎn) P 的坐標(biāo)時(shí)，這一艱難且驚心動(dòng)魄的過(guò)程對(duì)他們內(nèi)心的震撼是可想而知的。要讓學(xué)生在解法 1 和解法 2 中體驗(yàn)挫折和失敗的過(guò)程中，形成百折不撓的良好心理素質(zhì)。這對(duì)磨煉學(xué)生的毅力，塑造堅(jiān)忍不拔的品格，提升學(xué)生的自信，無(wú)疑有著不可估量的作用。這既是高考的要求又是今后人生發(fā)展的需要。也只有這樣才能真正實(shí)現(xiàn)和完成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)和立德樹(shù)人的根本任務(wù)。

（二）讓學(xué)生領(lǐng)悟合理選擇參數(shù)，走向正確方向

設(shè)點(diǎn)、設(shè)線是解析幾何中兩種重要的設(shè)參方法。正常情況下，設(shè)線時(shí)不超兩個(gè)未知數(shù)。當(dāng)所設(shè)直線能夠方便地表達(dá)出“問(wèn)題所需量”時(shí)，“設(shè)線”具有變量少、運(yùn)算思路簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)。而設(shè)點(diǎn)相對(duì)而言變量較多，變量間的關(guān)系較復(fù)雜，但思維量的提升能使運(yùn)算量降低。特別是當(dāng)直線無(wú)法方便地將“問(wèn)題所需量”與之聯(lián)系起來(lái)時(shí)，設(shè)點(diǎn)往往是較優(yōu)方案。案例中設(shè)點(diǎn)、設(shè)線都可以用，我們可以梳理一下思路，如下表所示：

信息 推理 聯(lián)想

P是動(dòng)點(diǎn)，直線 AP 和 AB 分別與直線 x=3 交于點(diǎn) M，N P 是在曲線上的主動(dòng)點(diǎn)，M，N 是線線相交的從動(dòng)點(diǎn) 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)

點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AP與BP的斜率之積等于，與直線x=3交于點(diǎn) M，N 直線 AP 斜率 k 確定，則直線BP 斜率確定，其他相關(guān)量也可用 k 表示 設(shè)直線 AP斜率 k

合理設(shè)參是培養(yǎng)學(xué)生目標(biāo)意識(shí)的重要方法，解法 1 和解法 2 生動(dòng)地體現(xiàn)這兩種設(shè)參的運(yùn)算能力要求，是設(shè)參方法的好案例。在平時(shí)的教學(xué)中要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生使用這種常見(jiàn)的設(shè)參方法，但是用設(shè)點(diǎn)法或設(shè)線法求解時(shí)，注意“主”與“輔”的關(guān)系，要始終圍繞目標(biāo)和解題計(jì)劃展開(kāi)求解，抓住問(wèn)題的主要矛盾，抓住矛盾的主要方面。

我們應(yīng)該意識(shí)到解析幾何問(wèn)題中參數(shù)的選擇是策略性知識(shí)。策略性知識(shí)是指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)情境中對(duì)任務(wù)的認(rèn)識(shí)、對(duì)學(xué)習(xí)方法的選擇和對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的調(diào)控，它是由學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)調(diào)控和元認(rèn)知等要素構(gòu)成的監(jiān)控系統(tǒng)。這種知識(shí)僅靠學(xué)是無(wú)法獲取的，它需要在分析中比較，在評(píng)價(jià)中優(yōu)化，在創(chuàng)造中創(chuàng)新。在平時(shí)的教學(xué)中，我們可多進(jìn)行一些探究式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行參數(shù)選擇分析。比如，點(diǎn)線相關(guān)分析、路徑預(yù)判分析。多一些理性的思考，少一些運(yùn)算。這樣既可以訓(xùn)練思維的發(fā)散性，又可以訓(xùn)練思維的收斂性，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）培養(yǎng)幾何分析意識(shí)，優(yōu)化解題過(guò)程

解析幾何是一門用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的科學(xué)，但我們不應(yīng)忽視解析幾何問(wèn)題的本質(zhì)仍是幾何問(wèn)題，離不開(kāi)對(duì)幾何要素分析。解法 3 將乘積轉(zhuǎn)換為比例后，利用三角形相似，化定積為定比。解法 4 利用補(bǔ)形思想，結(jié)合圖形的對(duì)稱性，挖掘題目中隱藏的幾何條件—— 中點(diǎn)的信息，構(gòu)建幾何圖形的中位線，并利用其性質(zhì)解決問(wèn)題。這兩種方法運(yùn)算量少，妙不可言。借助平面幾何的性質(zhì)降低了坐標(biāo)法的運(yùn)算量，也許并不是所有問(wèn)題都有這么巧，都可以用，但平時(shí)的教學(xué)中這種意識(shí)培養(yǎng)并不可少。這種幾何意識(shí)的分析是培養(yǎng)“多思少算”，優(yōu)化解題的好策略。當(dāng)然，解法 1 和解法 2 中的整體代換、設(shè)而不求的運(yùn)算思想具有很好的作用，也應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)。

幾何分析在解題中起到重要作用，它有利于滲透數(shù)形結(jié)合的思想，使問(wèn)題獲得巧解、妙解，有時(shí)常會(huì)取得事半功倍的效果。因此在教學(xué)過(guò)程中穿插平面幾何的知識(shí)必不可少，比如，（1）與平行線相關(guān)的幾何性質(zhì)：①三角形中位線性質(zhì);②梯形中位線性質(zhì);③平行線分線段成比例定理;④直線的對(duì)稱性。（2）與三角形相關(guān)的幾何性：①等腰三角形性質(zhì);②直角三角形性質(zhì);③角平分線性質(zhì)定理;④相似三角形相關(guān)性質(zhì)。（3）與圓相關(guān)的幾何性質(zhì)：①直徑的性質(zhì);②垂徑定理的應(yīng)用;③切線長(zhǎng)定理、切割線定理、相交弦定理。我們要有這種意識(shí)，“幾何證明選講”的內(nèi)容不是不考了，而是考得更加隱蔽了，更加靈活了，更加有深度了。在解析幾何中，合理利用幾何法解題，不僅思路簡(jiǎn)捷、運(yùn)算量小、證題明快，而且富有規(guī)律，這對(duì)開(kāi)拓視野、啟迪思維、提高解題能力大有裨益。

要培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突破運(yùn)算瓶頸不是一朝一夕就能完成的。我們要長(zhǎng)期引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行深入研究，幫助和指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)感悟其中的算理，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷分析、探究、解決問(wèn)題的過(guò)程，并在這一過(guò)程中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、拓展思維。只有這樣才能快速找到運(yùn)算的方法進(jìn)行正確迅速地運(yùn)算，從而真正達(dá)到“想得多算得快、算得少”的境界。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]葉 欣.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解析幾何復(fù)習(xí)課[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（15）

【基金項(xiàng)目】廣西教育科學(xué)“十三五”資助項(xiàng)目（2019B177）;桂林教育科學(xué)“十三五”資助項(xiàng)目（2018A-04）。

【作者簡(jiǎn)介】柳建顯（1981— ），男，漢族，浙江文成人，碩士，桂林市桂林中學(xué)教師，一級(jí)教師，研究方向：高中教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）