2020年高考山東卷壓軸題的解法探究及推廣

文臺(tái)山市教師發(fā)展中心 陳勇攀

一、考題再現(xiàn)

本題以橢圓為背景在考查橢圓的性質(zhì)的基礎(chǔ)上探究一類(lèi)定點(diǎn)、定值問(wèn)題.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).第(2)問(wèn)考生可以通過(guò)特殊位置探路、觀察、分析，直觀感知定點(diǎn)Q的位置獲得解題思路，考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新能力.

二、解法探究

兩邊同時(shí)除以(x-2)2，并化簡(jiǎn)得

由韋達(dá)定理，得

此時(shí)點(diǎn)D是定點(diǎn)，故存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

(其中m+2k-1≠0，否則直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A).

把①式代入②式，得

三、問(wèn)題推廣

從上面的探究過(guò)程可知，本題的解題關(guān)鍵是在基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)下發(fā)現(xiàn)直線MN恒過(guò)定點(diǎn).故考題可以推廣為：

兩邊同時(shí)除以(x-x0)2，并化簡(jiǎn)得：

兩邊同時(shí)除以(x-x0)2，并化簡(jiǎn)得

進(jìn)一步探究可以發(fā)現(xiàn)雙曲線和拋物線中也有類(lèi)似的結(jié)論，有興趣的讀者不妨試試.