連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)的賦值化指數(shù)積分變換逼近辨識(shí)

張 珩肖歆昕

(1.中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所,北京 100190;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)院,北京 100149)

1 引言

連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)(continuous time transfer function,CTTF)是線性連續(xù)定常系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一種表征形式,可定義為零初值條件下系統(tǒng)輸入變量與輸出變量各自時(shí)間函數(shù)的Laplace變換之比.因其物理意義明確、建模簡(jiǎn)捷、表達(dá)清晰和易于分析設(shè)計(jì)等獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),在電氣傳動(dòng)[1]、過(guò)程控制、動(dòng)力工程[2]、空天飛行等系統(tǒng)控制領(lǐng)域中得到了十分廣泛的運(yùn)用.長(zhǎng)期以來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者在關(guān)于CTTF辨識(shí)方面開展了大量研究[3-6].除早期的瞬態(tài)分析、相關(guān)性理論等非參數(shù)化方法[7-9]之外,針對(duì)CTTF或等價(jià)狀態(tài)空間模型參數(shù)的辨識(shí)大都通過(guò)時(shí)域或頻域進(jìn)行.時(shí)域方面主要有為避免變量求導(dǎo)而通過(guò)增維濾波變換的狀態(tài)變量濾波(state variable filtering,SVF)方法[4,10-12]、以時(shí)間卷積信息向量和正交分解為基礎(chǔ)的子空間方法[13-15],以及衍生的δ-算子模型[16]、隨機(jī)分布[17]、濾波子空間運(yùn)算[18-19]、矩配方法[20]和利用Laguerre濾波的w算子變換方法[21-22]等.辨識(shí)性能改進(jìn)的結(jié)果可參見廣義Poisson矩尋優(yōu)策略[23]、一致性子空間方法[24]、輔助變量方法[25-27],以及改進(jìn)估計(jì)[28]等.此外,在系統(tǒng)初值影響分析[9,29]、變周期采樣[30-32]、離散模型連續(xù)化反演及影響研究[33-34]、時(shí)間積分變量的離散化逼近[35-36]、不同保持器結(jié)構(gòu)下SVF的狀態(tài)空間變換[28,37]等方面,也有相應(yīng)的進(jìn)展.頻域方法的主要結(jié)果可參見文獻(xiàn)[38],如利用多頻激勵(lì)與最小二乘相結(jié)合的傳統(tǒng)型實(shí)驗(yàn)辨識(shí)方法[39-40],借助于閉環(huán)繼電控制自激產(chǎn)生振蕩,并以SVF規(guī)避導(dǎo)數(shù)變量和對(duì)零階保持器下時(shí)間響應(yīng)頻域積分加以近似化的頻域傳遞函數(shù)輸出誤差方法[41],純實(shí)極點(diǎn)情形的脈沖激勵(lì)辨識(shí)[42],向量適配策略的頻域辨識(shí)改進(jìn)[43],以及采樣控制情形下連續(xù)系統(tǒng)各類頻域近似化的比較研究[44]與濾波采樣的參數(shù)估偏分析[45]等.

盡管這些進(jìn)展令人矚目,但相對(duì)于離散系統(tǒng)的辨識(shí)成果而言,CTTF模型的參數(shù)估計(jì)仍有若干難題亟待解決.首先,子空間等時(shí)域方法為代表的結(jié)果因信息變量需通過(guò)全時(shí)程的連續(xù)化卷積所產(chǎn)生,既復(fù)雜又不易像離散模型那樣在線辨識(shí).其次,在Fourier意義下的頻域辨識(shí)中,利用時(shí)間采樣值的有限離散變換難以達(dá)到幅值與相位同時(shí)收斂的目的,且離散化頻域變換也僅能借助于單步中值化平均近似積分[41,44]進(jìn)行,無(wú)疑會(huì)失去更加豐富的高頻信息而產(chǎn)生誤差.即使對(duì)相對(duì)成熟的SVF方法來(lái)說(shuō),濾波動(dòng)力學(xué)變量在采樣情形下也需通過(guò)類似的離散化近似積分方可實(shí)現(xiàn).鑒于頻域收斂性的不足,有學(xué)者提出了通過(guò)含有“阻尼因子”的頻域變換加以緩解的對(duì)策[38,46],頗具啟發(fā)意義.第三,簡(jiǎn)單的通過(guò)離散模型辨識(shí)再進(jìn)行連續(xù)化變換的樸素想法并不易運(yùn)用,會(huì)因采樣周期過(guò)小造成反演病態(tài)[3,47],而過(guò)大又會(huì)因信息豐富性的缺失而導(dǎo)致離散估計(jì)本身就偏離真值.

結(jié)合上述分析,本文試圖單純運(yùn)用多個(gè)“阻尼因子”綜合解決離散變換的漸近性、參數(shù)估計(jì)可解性乃至計(jì)算復(fù)雜性問(wèn)題.通過(guò)將復(fù)域Laplace變換直接化簡(jiǎn)為實(shí)域指數(shù)積分變換,以采樣序列為基礎(chǔ)先行沿時(shí)間軸構(gòu)造不同賦值下系統(tǒng)變量的指數(shù)積分變換(exponential integral transformation,EIT)逼近,并沿指數(shù)因子變量方向?qū)崿F(xiàn)模型參數(shù)估計(jì)的二維化在線遞推計(jì)算,建立連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)參數(shù)的賦值化指數(shù)積分變換逼近(approximations of value-assigned exponential-integral-transformation,AVE)辨識(shí)方法.整個(gè)辨識(shí)過(guò)程無(wú)需時(shí)域卷積或頻域復(fù)數(shù)運(yùn)算.

本文中給出了相對(duì)復(fù)雜苛刻的仿真算例,結(jié)果清晰地顯現(xiàn)了它對(duì)開環(huán)或閉環(huán)系統(tǒng),最小相位或非最小相位,乃至剛性對(duì)象等良好的估計(jì)精度與寬泛的適應(yīng)性.

2 實(shí)域上的指數(shù)積分變換

傳遞函數(shù)在線性、連續(xù)時(shí)間和定常意義下由以Laplace因子s為自變量的兩個(gè)無(wú)約實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式構(gòu)成,即

式中:a0=1;ai+1,bi(i=0,1,···,n-1)為待辨識(shí)參數(shù);u(t)是以Ts為采樣周期的含零階保持器控制函數(shù),并滿足一致性有界激勵(lì)原則;y(t)為時(shí)域有界的系統(tǒng)響應(yīng).變量“#”的Laplace變換用“#?(s)”表示,且其在時(shí)刻t=kTs的采樣值及其有限時(shí)間Laplace變換分別用“#k”和“(s)”表示.

式(1)中Laplace算子s的實(shí)部和虛部分別為實(shí)域的指數(shù)因子σ與復(fù)頻率jω.顯然在u(t),y(t)有界情形下,應(yīng)滿足σ >0.但實(shí)際上一般都是令σ=0而直接關(guān)注系統(tǒng)的頻域特性G(jω)(即蛻化為Fourier變換情形).這在常規(guī)的分析和整定中并不相悖,但若要進(jìn)行未知參數(shù)辨識(shí),就不得不利用輸入與響應(yīng)的離散化采樣序列計(jì)算相應(yīng)的Fourier變換.然而即便對(duì)uk=1(kTs)的簡(jiǎn)單情形來(lái)說(shuō),因

其有限時(shí)間頻域逼近也無(wú)法收斂.為避免之,應(yīng)將s變量嚴(yán)格限定在σ >0的C+中,以保證(σ+jω)漸趨于.這正是“阻尼因子”的作用所在[38,46].受此啟發(fā),不妨直接將s的定義域完全蛻化至正實(shí)域中,從而將Laplace變換化簡(jiǎn)為由實(shí)變量s=σ決定的指數(shù)積分變換(EIT):

其中?σ ∈(0,∞).由此既保證了變換計(jì)算的漸近收斂性,又省略了繁瑣的復(fù)數(shù)運(yùn)算,并使得式(1)定義的復(fù)數(shù)域傳遞函數(shù)G(s)自然蛻化為實(shí)域內(nèi)連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)(continuous time transfer function in real-domain,CTTFR)形式:

經(jīng)此簡(jiǎn)化,G(σ)已成為由ai+1,bi,i=0,1,···,n-1和單一變量σ確定的簡(jiǎn)單實(shí)函數(shù),雖已無(wú)頻域特征顯現(xiàn),但模型參數(shù)卻仍完整蘊(yùn)含其中.鑒此,若能利用序列{uk,yk,k=0,1,2,···}構(gòu)造出σ在不同賦值下{u?(σ),y?(σ)}的有效逼近,即可將復(fù)數(shù)域內(nèi)傳遞函數(shù)的辨識(shí)問(wèn)題,精簡(jiǎn)地轉(zhuǎn)化為尋求對(duì)式(2b)中各參數(shù)的實(shí)域估計(jì).

3 兩類逼近

由定義式(2a)知,有界時(shí)間函數(shù)必存在對(duì)應(yīng)的EIT函數(shù).但因僅有輸入與響應(yīng)的采樣值已知,故需將該式廣義積分轉(zhuǎn)化為以時(shí)間序列為基礎(chǔ)的有限EIT逼近形式,且響應(yīng)函數(shù)有限EIT逼近中的連續(xù)時(shí)間積分項(xiàng)也需以離散化形式計(jì)算.

3.1 時(shí)間函數(shù)的有限EIT逼近及其收斂性

3.2 (σ)的采樣逼近

為規(guī)避式(3)中需有響應(yīng)函數(shù)在采樣間隔內(nèi)時(shí)域積分的困難,可根據(jù)采樣樣本的逐步積累性,采用少量有限個(gè)隨采樣時(shí)刻遞增而不斷更新的采樣數(shù)據(jù),通過(guò)構(gòu)造分段多項(xiàng)式函數(shù)形式加以擬合,用以改善時(shí)間連續(xù)化的逼近精度.

一般情形下,EIT逼近誤差主要由兩類因素疊加構(gòu)成.一類是時(shí)間連續(xù)化逼近過(guò)程中所固有的算法誤差,取決于具體的σ值、逼近參數(shù)(p,q)、被逼近函數(shù)形式、采樣密度和逼近時(shí)長(zhǎng)等要素,也取決于能否通過(guò)正交性方式加以改善等.由于式(4)為等距Lagrange多項(xiàng)式逼近,因此它在每個(gè)采樣周期內(nèi)都至少具有p-1階的代數(shù)精度.另一類誤差就是采樣過(guò)程中的測(cè)量噪聲對(duì)(σ)的影響.它所導(dǎo)致的隨機(jī)誤差方差為

意味著σ的恰當(dāng)選擇,能夠在一定程度上抑制噪聲對(duì)響應(yīng)函數(shù)EIT逼近值的影響.

圖1 不同(p,q)參數(shù)下的σp,q(Ts,η)曲線Fig.1 The curves ofσp,q(Ts,η)with different(p,q)

4 連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)的參數(shù)估計(jì)

按預(yù)設(shè)的衰減系數(shù)η和式(7),人為選定r個(gè)兩兩不相同的σ賦值σi,從而沿k向遞推獲得相應(yīng)的(σi),(σi)和φp,q,k(σi)等信息變量值,i=1,2,···,r.又因待辨識(shí)參數(shù)為2n個(gè),故為保證式(8)的可解性,需滿足r≥2n.以此為基礎(chǔ),繼而導(dǎo)出第k步時(shí)參數(shù)向量θ由逼近參數(shù)(p,q)確定并沿σ向?qū)崿F(xiàn)的直接或遞推辨識(shí)解

至此建立了基于周期采樣和指數(shù)因子賦值的信息變量與參數(shù)向量求解模型.利用了和(σ1,σ2,···,σr),由式(5)沿k向先行構(gòu)造φp,q,k(σi),進(jìn)而依據(jù)式(9a)直接求解,或按式(9b)沿σ向經(jīng)r次迭代實(shí)現(xiàn)CTTF模型參數(shù)的二維化在線遞推辨識(shí).這就是AVE辨識(shí)方法的核心.整個(gè)辨識(shí)過(guò)程無(wú)需時(shí)域卷積或頻域復(fù)數(shù)運(yùn)算,僅借助了指數(shù)因子的多重相異賦值與多重迭代,且這種賦值既保證了逼近的收斂性,又能在一定程度上兼顧達(dá)到類似于噪聲濾波的目的.與常規(guī)的線性離散差分模型參數(shù)辨識(shí)相比,每步估計(jì)僅多出r-1次計(jì)算.

5 算例與討論

考慮n=3的待辨識(shí)線性連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)模型為

相應(yīng)的開環(huán)極點(diǎn)為{-20,-0.2±j0.9798},零點(diǎn)根據(jù)最小相位與否為?0.1±j0.9950.選擇單位階躍型激勵(lì)rk=1,k≥0.開環(huán)控制律為uk=rk;為考察閉環(huán)情形下uk的階梯變化對(duì)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程的影響,設(shè)定微分項(xiàng)含一階濾波的PID反饋控制律如下:

與常規(guī)的算例相比,該模型有4個(gè)主要特點(diǎn):1)顯著的剛性特征.模型參數(shù)的剛性比達(dá)100之大,對(duì)參數(shù)辨識(shí)來(lái)說(shuō)是個(gè)不小的挑戰(zhàn);2)無(wú)論模型為最小相位或非最小相位屬性,或是開環(huán)或閉環(huán)運(yùn)行方式,其階躍響應(yīng)函數(shù)在零時(shí)刻附近都有很大躍升(如圖2所示),這是非常不利于以周期采樣序列實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)間連續(xù)化逼近的一種形式;3)盡管系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)連續(xù),但因模型的極零點(diǎn)數(shù)僅相差1,使得閉環(huán)時(shí)響應(yīng)函數(shù)由于uk的階梯變化而同步呈現(xiàn)階梯性改變(見圖2內(nèi)初始段放大圖),將導(dǎo)致因光滑性的降低而無(wú)益于有效逼近;4)模型中預(yù)置了非最小相位零點(diǎn),用以比較該情形下的辨識(shí)效果.

5.1 G(σ)估計(jì)與分析

令δGp,q,k(σ)=-1,為CTTFR函數(shù)的相對(duì)估計(jì)誤差,考察無(wú)噪聲時(shí)式(5)的算法精度.針對(duì)最小相位情形,不同采樣周期(Ts=0.1,0.05,0.025 s)和逼近參數(shù)(p,q)下,在不同時(shí)刻(t=kTs=15,30,45 s)得到的相對(duì)逼近誤差如圖3所示.圖中每個(gè)沿q向虛線將沿σ向的各誤差實(shí)線連接構(gòu)成的虛擬曲面所對(duì)應(yīng)的最大q值加1,即為該組(p,q)曲線的p值.經(jīng)對(duì)比分析,得到結(jié)論如下:

1) 在σ <0.4 s時(shí),圖中誤差分布受步序k的影響較大,而當(dāng)σ >0.5 s之后,k的作用不再明顯,3個(gè)時(shí)刻的曲線族趨于重合,但隨σ的繼續(xù)增大,誤差水平也由小逐漸增加.說(shuō)明σ賦值過(guò)小或過(guò)大都不利于逼近水平的改善.本例中σ=0.5～0.7較為適宜.

2) 各種逼近情形中,(p,1)和(p,p-1)參數(shù)對(duì)應(yīng)的誤差最小,(p,2)與(p,p-2)次之,以此類推,且p越大,(p,1)和(p,p-1)參數(shù)的逼近水平越好.但隨著p的持續(xù)增加(如p≥5),改善程度也逐漸趨緩.

3) 與開環(huán)情形相比,閉環(huán)時(shí)的逼近精度因響應(yīng)函數(shù)的階梯效應(yīng)會(huì)有所降低.

圖2 不同情形下算例模型的單位階躍響應(yīng)曲線Fig.2 The step responses of the example in different cases

圖3 不同Ts和(p,q)參數(shù)下最小相位CTTFR函數(shù)逼近的算法誤差Fig.3 The approximation errors of minimum-phase CTTFR under differentTs and(p,q)

4)σ=1.25 s時(shí)相對(duì)于Ts=0.1,0.05和0.025 s,開環(huán)相對(duì)誤差的絕對(duì)值上限分別為1.26%,0.22%和0.034%,幾乎按照前后采樣周期之比的平方顯著下降,且閉環(huán)下規(guī)律相似,分別為1.77%,0.43%和0.10%.說(shuō)明適當(dāng)降低采樣周期有利于實(shí)域連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)逼近精度的提高.

由于非最小相位情形下實(shí)域連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)逼近的誤差規(guī)律完全相近,在此從略.

5.2 模型參數(shù)辨識(shí)

設(shè)定p=6,8,10和1 ≤q≤p-1,r=6以及σi=σmin+10-5(i-1),i=1,2,···,r,運(yùn)用式(5)(9)進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì).σmin分別取為0.6和1.2,σw相對(duì)于開環(huán)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值分別取為0%,0.5%,1.0%,所得到的各工況下針對(duì)各模型參數(shù)的相對(duì)穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差結(jié)果整理見圖4所示.每條曲線終止時(shí)對(duì)應(yīng)的q值加1,即為該曲線對(duì)應(yīng)的p參數(shù).

圖4中的“δ#”表示對(duì)算例模型中各參數(shù)“#”的穩(wěn)態(tài)相對(duì)估計(jì)誤差,具體為每種工況下的10次Monte Carlo仿真結(jié)果的平均值.

注1無(wú)論模型是否為最小相位或(開環(huán)/閉環(huán))運(yùn)行方式如何,所有誤差曲線大都隨q呈凸或凹形變化,且與噪聲水平無(wú)關(guān),只是曲線的整體會(huì)隨著σw的不同略有偏移,且閉環(huán)時(shí)各誤差曲線之間的離散性有所變大.這主要是由于噪聲與閉環(huán)控制變量階梯效應(yīng)疊加作用的結(jié)果.

注2開環(huán)情形下,在不同的逼近參數(shù)中,以(p,1)或(p,p-1)對(duì)應(yīng)的參數(shù)辨識(shí)誤差為最小(或最大),以為最大(或最小).此外,(p,1),(p,p-1)對(duì)應(yīng)的誤差還會(huì)隨著p的增加而單調(diào)降低(或增加).閉環(huán)時(shí),除個(gè)別情形外,也有相似的規(guī)律.所以從統(tǒng)計(jì)意義上講,(p,1)和所對(duì)應(yīng)的結(jié)果基本上反映了參數(shù)辨識(shí)誤差的分布范圍.

注3開環(huán)時(shí)最小相位模型的辨識(shí)誤差在σmin=1.2 s-1時(shí)的離散性要好于0.6 s-1情形,表明開環(huán)條件下較大的σ賦值對(duì)噪聲抑制較有利些.但就閉環(huán)情形來(lái)說(shuō),σmin=0.6 s-1時(shí)的誤差分布都幾乎優(yōu)于1.2 s-1的水平,說(shuō)明σ的賦值要綜合兼顧噪聲抑制與算法能力權(quán)衡選擇.當(dāng)然,不同的σ效果還與具體響應(yīng)變化的形態(tài)有關(guān),本例中的非最小相位情形就是如此.

注4穩(wěn)態(tài)辨識(shí)誤差的絕對(duì)上限值按開環(huán)(閉環(huán))情形,在Ts=0.1 s時(shí)(以圖4各組圖中左右上下子圖順序)分別為20.06%(25.96%),18.83%(31.67%),20.61%(28.20%)和24.05%(29.49%).然而當(dāng)Ts減小到0.025 s時(shí),則迅速下降到2.08%(3.97%),1.21%(4.57%),1.09%(3.84%)和0.84%(3.63%).

總體來(lái)看,降低采樣周期對(duì)改善辨識(shí)精度的效果非常明顯,對(duì)于開環(huán)/閉環(huán)、正常參數(shù)/剛性參數(shù)和最小相位/非最小相位情形都是如此,也與G(σ)的估計(jì)結(jié)果相吻合.但考慮到數(shù)字控制器的處理能力及采樣測(cè)量水平的制約,顯然Ts不能無(wú)限度減小,而且降低到一定程度后的噪聲影響也會(huì)相對(duì)顯現(xiàn),難以進(jìn)一步有效改善精度,故需結(jié)合具體的硬件水平確定.此外,適當(dāng)?shù)摩屹x值和較大的(p,1)或(p,p-1)參數(shù)等,都有益于辨識(shí)精度的改善.

順便強(qiáng)調(diào),盡管本例選擇的是對(duì)以周期采樣為基礎(chǔ)的連續(xù)化逼近具有明顯損害性的苛刻模型,并且系統(tǒng)還具有顯著的剛性特征,但本文方法仍能得到很好的結(jié)果.所以,對(duì)于一般特性稍有利(如慣性響應(yīng)或極零點(diǎn)差超過(guò)1)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),預(yù)期會(huì)有更好的辨識(shí)效果.

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)將復(fù)域Laplace變換直接化簡(jiǎn)為實(shí)域上的指數(shù)積分變換,提出了連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)參數(shù)的多重賦值化指數(shù)積分變換逼近(AVE)辨識(shí)方法.其要義是利用周期采樣序列先行沿時(shí)間軸向遞推構(gòu)造不同賦值下系統(tǒng)變量的EIT逼近,進(jìn)而沿指數(shù)因子方向?qū)崿F(xiàn)模型參數(shù)的直接求解或有限遞推估計(jì).辨識(shí)過(guò)程中無(wú)需涉及時(shí)域卷積或頻域等復(fù)雜運(yùn)算.此外,文中還分析了有限EIT逼近的漸近收斂性和時(shí)間連續(xù)化逼近的代數(shù)精度,以及具有一定噪聲抑制能力的指數(shù)因子賦值條件.在一致激勵(lì)和有界響應(yīng)條件下,通過(guò)相對(duì)復(fù)雜和苛刻的仿真算例,充分驗(yàn)證了AVE方法對(duì)各種典型工況的有效性,清晰表明了該方法對(duì)于最小相位及非最小相位系統(tǒng),開環(huán)或閉環(huán)的系統(tǒng)運(yùn)行方式,乃至剛性參數(shù)情形,所具有的寬泛適應(yīng)性.

順便指出,由于文中的結(jié)果完全是在一般性實(shí)域下所得到,從這一角度上說(shuō),它對(duì)多變量情形下連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)矩陣參數(shù)估計(jì)的推廣沒有明顯的理論障礙.當(dāng)然,就系統(tǒng)變量賦值化指數(shù)積分變換的逼近而言,還可進(jìn)一步探究是否存在更高效的算法(如Gauss積分逼近,輔助變量消差等).此外,含時(shí)延情形下如何有效運(yùn)用AVE策略也有待研究.