非線性變參數(shù)系統(tǒng)的混合H2/H∞控制

朱平芳,周燕茹,曾建平

(1.廈門大學(xué)自動(dòng)化系,福建廈門 361005;2.廈門理工學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,福建廈門 361024)

1 引言

在航空航天等領(lǐng)域,時(shí)變和非線性是被控對象普遍存在的動(dòng)力學(xué)特征[1-4].工程實(shí)踐中,多采用增益調(diào)度方案適應(yīng)系統(tǒng)的非線性和時(shí)變參數(shù)變化.該方法的不足之處是理論上存在較大保守性,且當(dāng)調(diào)度變量快速變化或難以捕捉對象的非線性特征時(shí),系統(tǒng)性能甚至穩(wěn)定性都可能難以保證[5].為此,借鑒于Prajna等人將多項(xiàng)式非線性系統(tǒng)視為狀態(tài)依賴的類線性系統(tǒng)建模思想[6-7],文獻(xiàn)[8]提出了一種非線性變參數(shù)(nonlinear parameter-varying,NPV)模型,研究了該類系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定及其在飛行器軌跡跟蹤中的應(yīng)用.文獻(xiàn)[9]定義了一種兼具有限時(shí)間穩(wěn)定和Lyapunov穩(wěn)定特征的混合穩(wěn)定性概念,研究了NPV系統(tǒng)的H∞混合穩(wěn)定控制問題.文獻(xiàn)[10]研究了NPV系統(tǒng)的吸引域及局部鎮(zhèn)定問題.NPV系統(tǒng)包含了類線性系統(tǒng)[6]和線性變參數(shù)(linear parameter-varying,LPV)系統(tǒng)[1]為其特例,能更完整刻畫被控對象的時(shí)變和非線性特性,為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)體的高能控制設(shè)計(jì)提供了新途徑.

本文考慮NPV系統(tǒng)的混合H2/H∞保性能控制問題,它使系統(tǒng)同時(shí)兼?zhèn)銱2性能和H∞性能.對于時(shí)不變系統(tǒng),孫運(yùn)全等人[11]研究了靜止無功發(fā)生器的混合H2/H∞保性能控制問題,給出了該問題相應(yīng)的可解性條件.混合H2/H∞保性能問題可以轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)的可行性問題[12-13],然而對于時(shí)變參數(shù)系統(tǒng),可解性LMI條件包含變參數(shù),是無限維的.此情形下,通常需要對變參數(shù)附加仿射型或者凸包型[14-16]等特殊結(jié)構(gòu)約束條件,將無限維LMI的約束轉(zhuǎn)化成有限維LMI的可行性問題.該處理方法忽略了系統(tǒng)的時(shí)變特性,存在一定的保守性.

本文采用多項(xiàng)式平方和(sum of squares,SOS)方法,直接求解NPV系統(tǒng)的混合H2/H∞保性能控制問題.在此基礎(chǔ)上,結(jié)合S-procedure方法,給出了閉環(huán)系統(tǒng)局部穩(wěn)定的混合H2/H∞保性能控制器設(shè)計(jì)方法.進(jìn)一步,考慮該系統(tǒng)存在不確定性的情形,給出了相應(yīng)魯棒混合H2/H∞保性能控制問題的可解性條件.本文直接求解狀態(tài)和參數(shù)依賴的LMI,避免了模型線性化和對時(shí)變參數(shù)附加仿射型或凸包型等特殊結(jié)構(gòu)條件帶來的保守性.

文中符號(hào)說明如下:Rn表示n維實(shí)向量的集合,Rn×m表示n×m維實(shí)矩陣的集合,R[x]表示向量x ∈Rn的所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)集合,I和0表示合適維數(shù)的單位矩陣和零矩陣,“?”表示對稱矩陣中的對稱塊,He(A)=AT+A,ΦSOS表示SOS多項(xiàng)式集合.

2 預(yù)備知識(shí)與問題描述

2.1 預(yù)備知識(shí)

其中?1={x ∈Rn|g0(x)≥0}.

引理3[20]設(shè)矩陣E和F,對任意滿足不等式?T(t)?(t)≤I的矩陣?(t)和任意的正常數(shù)ε,如下不等式成立:

2.2 問題描述

考慮一類多項(xiàng)式NPV系統(tǒng)

其中:x∈Rnp,u∈Rnu和w∈Rnw分別是系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和外部擾動(dòng);z∞∈Rnz∞和z2∈Rnz2為系統(tǒng)的被控輸出;θ(t)∈Rnθ為時(shí)變參數(shù)向量;A(x,θ(t)),Bi(x,θ(t)),Ci(x,θ(t))(i=1,2),D1j(x,θ(t))(j=1,2)和D22(x,θ(t))是關(guān)于狀態(tài)x和θ(t)的合適維數(shù)的多項(xiàng)式矩陣.

注1NPV系統(tǒng)作為一類非線性時(shí)變系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)矩陣不依賴狀態(tài)時(shí),它可以退化成LPV系統(tǒng)[1].當(dāng)系統(tǒng)矩陣只依賴狀態(tài)時(shí),它可以退化成類線性系統(tǒng)[6].因此,NPV系統(tǒng)可以看作是類線性系統(tǒng)和LPV系統(tǒng)的推廣,而后兩者都可視為NPV系統(tǒng)的特例.

針對系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)如下的狀態(tài)反饋控制器:

γ2為系統(tǒng)的一個(gè)性能上界;3)當(dāng)外界擾動(dòng)w ∈L2[0,∞),初始狀態(tài)x(0)=0時(shí),從w到z∞的L2--增益小于給定的正標(biāo)量γ∞.

3 混合H2/H∞保性能控制

4 魯棒混合H2/H∞保性能控制

考慮一類不確定NPV系統(tǒng),即模型(1)變?yōu)?/p>

其中:E(x,θ),F(x,θ),F1(x,θ)為已知的多項(xiàng)式矩陣,描述了不確定性進(jìn)入系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)信息.?(t)是滿足約束條件?T(t)?(t)≤I的時(shí)變未知矩陣.

系統(tǒng)(17)的狀態(tài)反饋魯棒混合H2/H∞保性能控制問題是指,求解形如式(2)的控制器,使得閉環(huán)系統(tǒng)對所有?(t)都滿足混合H2/H∞保性能控制問題的條件.

注意到,當(dāng)系統(tǒng)(17)中系統(tǒng)矩陣不依賴狀態(tài)時(shí),該系統(tǒng)退化成多項(xiàng)式不確定LPV系統(tǒng)

則相應(yīng)的不確定性滿足

類似地,當(dāng)系統(tǒng)(17)中系統(tǒng)矩陣只依賴狀態(tài)時(shí),其可退化成多項(xiàng)式不確定非線性時(shí)不變系統(tǒng)

注4推論1提供了一種求解多項(xiàng)式LPV系統(tǒng)的魯棒混合H2/H∞保性能控制問題的方法.現(xiàn)有方法通常需要對變參數(shù)格外附加凸包型或仿射型[14-16]等條件.推論1無需這些限制,直接將問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題.

推論2對于多項(xiàng)式非線性時(shí)不變系統(tǒng)(25),給定γ∞>0,正多項(xiàng)式ε1(ˉx),ε2(x),正實(shí)數(shù)ε3和ε4.若存在對稱多項(xiàng)式矩陣P(ˉx),多項(xiàng)式矩陣L(x),使得

5 仿真例子

例1考慮如下傾轉(zhuǎn)旋翼飛行器縱向模型[8,21]:

從圖1-4可以看出,H∞控制和混合H2/H∞保性能控制方法都能保證系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到平衡點(diǎn).

圖1 速度和攻角跟蹤軌跡Fig.1 Trajectories of the velocity and the angle of attack

圖2 俯仰角和俯仰角速率跟蹤軌跡Fig.2 Trajectories of the pitch angle and the pitch rate

然而,相比H∞控制,混合H2/H∞控制超調(diào)相對更小,有較好地跟蹤效果,具有更好的暫態(tài)性能.

圖3 高度和Fxt跟蹤軌跡Fig.3 Trajectories of the altitude andFxt

圖4 Fyt和Mz跟蹤軌跡Fig.4 Trajectories ofFyt andMz

2) LPV和NPV系統(tǒng)的混合H2/H∞保性能控制.

仿真中

通過定理2,求解相應(yīng)的可解性條件.作為對比,將傾轉(zhuǎn)旋翼飛行器縱向誤差系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化,得到LPV模型,在同等的仿真環(huán)境下,求解LPV系統(tǒng)的混合H2/H∞保性能控制問題.

為系統(tǒng)的初始狀態(tài),取

對于LPV模型,在同等的仿真環(huán)境和參數(shù)下,基于SOS技術(shù)得到的feasratio值為負(fù)數(shù),無法得到一個(gè)可行的控制器.

圖5 速度和攻角跟蹤軌跡Fig.5 Trajectories of the velocity and the angle of attack

圖6 俯仰角和俯仰角速率跟蹤軌跡Fig.6 Trajectories of the pitch angle and the pitch rate

圖7 高度和Fxt跟蹤軌跡Fig.7 Trajectories of the altitude andFxt

圖8 Fyt和Mz跟蹤軌跡Fig.8 Trajectories ofFyt andMz

從上圖5-8可以看出,本文提出的混合H2/H∞保性能控制器法能夠保證系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到平衡點(diǎn),且具有較好地跟蹤效果.

例2在文獻(xiàn)[9]NPV系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,考慮其不確定性模型:

從圖9可以看出,兩種方法都能保證系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到平衡點(diǎn).然而,相比H∞控制,魯棒混合H2/H∞保性能控制超調(diào)相對更小,具有更好的暫態(tài)性能.

2) LPV系統(tǒng)和NPV系統(tǒng)的魯棒混合H2/H∞保性能控制.

將仿真系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化,得到LPV模型,在同等的仿真環(huán)境下,應(yīng)用推論1求解對應(yīng)的SOS凸約束問題.初始狀態(tài)x0=[1-1]T,取

圖9 H∞和混合H2/H∞控制軌跡Fig.9 Trajectories of H∞and mixed H2/H∞control

從圖10可知,隨著時(shí)間的增長,不確定性和干擾對系統(tǒng)的影響逐漸消失,相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)都能收斂到平衡點(diǎn).然而,相比LPV系統(tǒng)的混合H2/H∞保性能控制,NPV系統(tǒng)的魯棒混合H2/H∞保性能控制收斂速度更快,超調(diào)也更小,具有更好的暫態(tài)性能.

圖10 LPV系統(tǒng)和NPV系統(tǒng)的混合H2/H∞控制軌跡Fig.10 Trajectories of the mixed H2/H∞control for LPV and NPV systems

6 結(jié)論

本文研究了一類多項(xiàng)式NPV系統(tǒng)的全局和局部混合H2/H∞保性能控制問題.結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論,給出了該類系統(tǒng)的混合H2/H∞保性能控制問題在多項(xiàng)式平方框架下的可解性條件,另外,進(jìn)一步考慮了該類系統(tǒng)存在不確定性情形,給出了相應(yīng)魯棒控制器的求解方法.本文的主要優(yōu)勢在于將LPV系統(tǒng)和類線性系統(tǒng)框架下的一些重要思想推廣到NPV系統(tǒng)中,通過SOS方法直接求解狀態(tài)和參數(shù)依賴的線性矩陣不等式可解性條件,較好地克服線性時(shí)變系統(tǒng)和類非線性系統(tǒng)控制理論中普遍存在的計(jì)算困難問題.