一類受擾旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)的建模與跟蹤控制設(shè)計

李 健,李俊艷,吳昭景

(煙臺大學數(shù)學與信息科學學院,山東煙臺 264005)

1 引言

在實際工程中,多數(shù)機械系統(tǒng)可用歐拉-拉格朗日方程刻畫,例如基準系統(tǒng)[1]、機械臂[2]、球梁系統(tǒng)[3]、獨輪車機器人[4]等.為了實現(xiàn)不同的生產(chǎn)目標,改善系統(tǒng)運行性能,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,客觀上需要對歐拉-拉格朗日方程刻畫的受控系統(tǒng)施加控制.因而,對于歐拉-拉格朗日系統(tǒng)控制問題的研究具有重要的實際意義.另一方面,隨著生產(chǎn)過程復雜化,許多機械系統(tǒng)呈現(xiàn)出一些復雜的特性,例如存在時滯、狀態(tài)耦合、參數(shù)不確定性、狀態(tài)不可測和系統(tǒng)受外部擾動影響等.這些特性的存在導致傳統(tǒng)的控制設(shè)計方法無效,使得許多具有重要科學意義的控制問題尚未得到解決.因此,對歐拉-拉格朗日系統(tǒng)的控制研究具有重要理論意義.

過去30多年間,以機械臂擺動為背景的歐拉-拉格朗日系統(tǒng)控制受到了廣泛的關(guān)注[2,5-24].早期的成果主要研究(旋轉(zhuǎn))倒立擺系統(tǒng)的控制問題.例如,文獻[6-8]分別研究了旋轉(zhuǎn)倒立擺和平面倒立擺的鎮(zhèn)定控制問題,文獻[9]和文獻[10-13]分別研究了球面倒立擺和車載倒立擺系統(tǒng)的輸出跟蹤控制問題,文獻[14-15]則分別研究了一類倒立擺系統(tǒng)和鐘擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.在此基礎(chǔ)上,以機器人為背景的n級連桿控制問題得到了研究.文獻[16]和文獻[17-18]分別研究了確定型(不含有未知參數(shù)與擾動)機械臂的鎮(zhèn)定和跟蹤控制問題;文獻[19-20]研究了含有未知參數(shù)的n級連桿的機器臂自適應(yīng)跟蹤控制問題;文獻[2,5]和文獻[21-24]分別研究了含有隨機擾動與確定型擾動機械臂的跟蹤控制問題.注意到已有結(jié)果對系統(tǒng)不確定性都有較強的限制,例如系統(tǒng)模型精確已知(既不含有未知參數(shù),也不含有未知擾動)[16-18],或系統(tǒng)模型僅含有未知參數(shù)而不含有未知擾動[19-20],或雖然考慮了擾動,但是擾動需有已知的上界[2,5,21-24].當系統(tǒng)不確定性較為嚴重時,例如同時含有未知參數(shù)和擾動,并且擾動沒有已知的上界,現(xiàn)有文獻中的控制方法無效.為此,需要發(fā)展強不確定性的新的補償方法,并在此基礎(chǔ)上形成具有更強不確定性機械臂系統(tǒng)跟蹤控制設(shè)計與性能分析的新框架.

本文考慮了一類受擾旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)的建模與跟蹤控制問題.系統(tǒng)由擺桿與擺錘組成,擺桿在兩個力矩的驅(qū)動下分別繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)和擺動.系統(tǒng)在懸掛點處受擾動影響.控制目標是設(shè)計反饋控制(力矩)使旋轉(zhuǎn)單擺按照指定規(guī)律旋轉(zhuǎn)及擺動.為此,首先利用動靜法和相對運動原理給出在擾動影響下旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)的動力學模型.然后,根據(jù)實際工程需要,分別研究實際跟蹤和漸近跟蹤兩類跟蹤控制問題,給出跟蹤控制器的設(shè)計方案.在實際跟蹤控制設(shè)計中,通過選擇適當?shù)淖赃m應(yīng)律來克服系統(tǒng)不確定性,利用反推設(shè)計方法顯式設(shè)計自適應(yīng)實際跟蹤控制器,保證閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界且在某個時刻之后系統(tǒng)輸出到達并保持在給定的鄰域內(nèi).在漸近跟蹤控制設(shè)計中,通過擾動學習機制和切換補償機制來克服系統(tǒng)不確定性,并利用反推設(shè)計方法設(shè)計切換控制器,保證閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界且系統(tǒng)輸出漸近跟蹤到給定的參考信號.值得指出的是,本文所提方法允許系統(tǒng)同時含有未知參數(shù)和擾動,并且擾動不必有已知上界,因此極大地放寬了相關(guān)文獻對系統(tǒng)不確定性的限制.最后仿真實驗驗證所設(shè)計控制方案的有效性.

2 問題描述

2.1 系統(tǒng)動態(tài)模型建立

研究圖1所示一類旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)(擺桿的長度為?,擺錘的質(zhì)量為m(未知)).擺桿用光滑鉸鏈連結(jié)在鉛錘軸上,當無外力施加時,擺桿與鉛錘軸方向重合,此時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).當擺桿在O點受力矩u1的作用擺動時,擺角為φ,在力矩u2的作用下繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動時,轉(zhuǎn)角為?.懸掛點O處于震動環(huán)境中時,在圖1所示3個坐標軸方向上的擾動加速度分別為ξx,ξy和ξz.對上述系統(tǒng),考慮在受擾環(huán)境下,設(shè)計反饋控制(即力矩u1,u2)使系統(tǒng)按照指定的參考軌跡運動.

圖1 旋轉(zhuǎn)單擺Fig.1 Rotary pendulum

如下分兩步給出系統(tǒng)動態(tài)模型的推導過程.

2.1.1 確定情形下系統(tǒng)建模

確定情形下系統(tǒng)建模(即ξx≡0,ξy≡0和ξz≡0),選擇廣義坐標為q1=φ,q2=?,則系統(tǒng)的總動能和總勢能為(取xoy面為重力勢能的零勢能面)

由此,可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

利用文獻[25]的定理3.5.1,上述旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)可用如下拉格朗日方程來描述:

注意到當質(zhì)點轉(zhuǎn)動時,系統(tǒng)的虛功為δW=u1δq1+u2δq2(這意味著τ1=u1,τ2=u2),將式(1)代入上述方程可得圖1所示的旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)的動力學方程,即

2.1.2 受擾情形下系統(tǒng)建模

注1本節(jié)給出了空間中3個方向同時存在擾動時系統(tǒng)的建模方法. 實際工程中可能有僅在某個或某兩個方向上存在擾動而其他方向不存在擾動這種情況(例如). 此時,上述建模方法仍然適用,將得到比系統(tǒng)(4)更簡單的一類系統(tǒng).

如下給出歐拉-拉格朗日系統(tǒng)通常滿足的兩條重要性質(zhì)[5,26],它們可由系統(tǒng)(5)的矩陣M(q),C(q,v)的具體形式得以驗證.

2.2 控制目標刻畫

本文的控制目標是對系統(tǒng)(5)設(shè)計自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器u,保證系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界,同時系統(tǒng)的輸出信號q =(q1,q2)T跟蹤到給定的參考信號yr. 根據(jù)實際工業(yè)生產(chǎn)過程中對跟蹤性能的不同要求,分別研究實際跟蹤和漸近跟蹤兩類控制問題.

1) 實際跟蹤.

控制目標是設(shè)計自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都是有界的,且對于任意給定的ε>0,存在有限的時間η >0,有‖q-yr‖≤ε,?t>η,其中‖·‖表示列向量的歐幾里得范數(shù)及矩陣的誘導范數(shù).

2) 漸近跟蹤.

控制目標是設(shè)計自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器保證閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界并且

3 實際跟蹤控制

3.1 實際跟蹤控制設(shè)計

考慮有如下假設(shè)1和假設(shè)2給定的擾動和被跟蹤信號下的實際跟蹤控制設(shè)計問題:

假設(shè)1存在未知常數(shù)d1>0,使‖ξ‖

假設(shè)2對于給定的光滑被跟蹤信號yr,存在未知的常數(shù)d2>0,使得

首先引入狀態(tài)變換

然后,采用向量式的反推跟蹤控制策略,通過選取合適的Lyapunov函數(shù)推導出跟蹤控制器.

第1步定義準Lyapunov函數(shù)

3.2 穩(wěn)定性分析

引理1控制器(15)保證方程(8)定義的K(t)對任意初值K(0)≥1在[0,+∞)上是有界的.

證利用反證法證明此命題.假設(shè)K(t)在區(qū)間[0,+∞)上是無界的,則存在時刻t1>0,使得K(t)≥從而,式(16)給出

定理1考慮滿足假設(shè)1的歐拉-拉格朗日系統(tǒng)(5).對假設(shè)2給定的參考信號yr,所設(shè)計的自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器(8)(15)保證閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界且系統(tǒng)輸出q實際跟蹤到給定參考信號yr,即對任意給定的ε>0,存在某時刻η>0,有‖q-yr‖≤ε,?t>η.

證i) 自適應(yīng)律(8)表明˙K(t)≥0,因而K(t)在[0,+∞)是遞增的.注意到K(0)≥1,于是有K(t)≥1,t ∈[0,+∞),進而由方程(16)得

對上式兩邊在[0,t]積分可得

上式表明V2是有界的,從而z1,z2有界.又因為yr是有界的(見假設(shè)2),所以由式(6)(9)可以得出q,v有界.因此,閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界.

ii) 引理1顯示K(t)在[0,+∞)上有界,故由式(9)可知有界,從而有界(見式(7)).這表明了z1從而‖z1‖在[0,+∞)是一致連續(xù)的.因此,由式(8)可得(t)在[0,+∞)是一致連續(xù)的.注意到K(t)在[0,+∞)上有界并且

4 漸近跟蹤控制

4.1 基于切換的控制設(shè)計

給定二階連續(xù)可導的參考信號yr,考慮受如下假設(shè)描述的擾動下系統(tǒng)(5)的漸近跟蹤控制設(shè)計問題：

假設(shè)3存在未知常數(shù)μ?與未知正整數(shù)L使得‖ξ‖≤μ?,擾動ξ的周期(最小)T?可以被寫成T?=Lτ,其中τ為已知常數(shù).

為方便控制設(shè)計,將原系統(tǒng)(5)變?yōu)?/p>

其中α是待選擇的虛擬控制.利用式(17)對上式求導可得如下誤差系統(tǒng):

如下利用反推控制設(shè)計方法給出控制設(shè)計過程.

第1步定義準Lyapunov函數(shù)

需指出的是,由于擾動ξ?的周期與上界是未知的,學習律(22)中的參數(shù)μ和無法確定,自適應(yīng)學習控制器(22)(25)-(26)無法實施.為此,如下將設(shè)計切換機制對控制器參數(shù)μ和在線進行調(diào)節(jié),保證閉環(huán)系統(tǒng)期望的穩(wěn)定性.

4.2 切換機制

4.3 穩(wěn)定性分析

定理2考慮滿足假設(shè)3的系統(tǒng)(17),自適應(yīng)學習控制器(22)(25)-(26)在第4.2節(jié)給出的切換機制下保證閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界并且系統(tǒng)輸出q漸近跟蹤到給定參考信號yr,即

證首先證明切換僅發(fā)生有限次,然后證明如果只發(fā)生有限次切換,閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)都有界,并且系統(tǒng)輸出q漸近跟蹤到給定參考信號yr.

①切換僅發(fā)生有限次.

利用反證法.假設(shè)第4.2節(jié)給定的切換過程發(fā)生無限次,則必存在整數(shù)i?使得

由第2個等式可得,存在正整數(shù)k,使得(i?+1)=kL.

令ti?是第i?次切換發(fā)生的時刻,ti?+1是下一次切換發(fā)生的時刻.一方面,由切換邏輯可知

5 仿真算例

本節(jié)以擺錘質(zhì)量為0.3 kg,擺桿長度為0.2 m的旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)為例給出仿真實驗驗證所設(shè)計控制器的有效性.選擇初始狀態(tài)q(0)=(q1q2)T=(0.7 0.5)T,v(0)=(v1v2)T=(0.6 0.8)T.給定參考信號為yr=(yr1yr2)T=(2 sintcost)T.如下分別給出實際跟蹤和漸近跟蹤兩種控制算法的仿真實驗過程.

假設(shè)擾動為ξ=(sintsin(2t) cost)T.給定實際跟蹤精度參數(shù)ε=0.06.選擇設(shè)計參數(shù)a1=39,a2=20,自適應(yīng)律初始值K(0)=1.采用控制器(8)(15),通過仿真實驗可以得到仿真圖2-3.圖2顯示在0.08 s后跟蹤誤差收斂到給定的范圍內(nèi),圖3顯示了動態(tài)調(diào)節(jié)參數(shù)K是有界的并且最終收斂到某一常值.

圖2 實際跟蹤誤差曲線Fig.2 Trajectory of practical tracking error

圖3 實際跟蹤自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)Fig.3 Trajectory of practical tracking adaptive adjustment parameters

假設(shè)擾動為

因此,擾動上界μ?=1.8,周期為T?=9.3.假設(shè)L=31,則按照假設(shè)3有τ=0.3.選擇控制器參數(shù)c0=15,切換邏輯中的參數(shù)c1=10,c2=29,c3=19.87.采用控制器(22)(25)-(26),其中切換參數(shù)按照第4.2節(jié)給定的切換機制調(diào)節(jié),得到仿真圖4-6.圖4-6顯示了閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)行為.圖4表明跟蹤誤差漸近收斂到零,圖5-6表明切換參數(shù)?T和μ在有限次切換之后保持在不同的常值.

圖4 漸近跟蹤誤差曲線Fig.4 Trajectory of asymptotic tracking errory

圖5 切換調(diào)節(jié)參數(shù)?TFig.5 Trajectory of switching adjustment parameters ?T

圖6 切換調(diào)節(jié)參數(shù)μFig.6 Trajectory of switching adjustment parametersμ

6 結(jié)論

本論文研究了一類受擾情形下旋轉(zhuǎn)單擺的建模與跟蹤控制問題.首先利用動靜法和相對運動原理建立了旋轉(zhuǎn)單擺系統(tǒng)的動力學模型.然后將反推設(shè)計方法分別與自適應(yīng)動態(tài)補償技術(shù)和擾動學習、切換補償機制結(jié)合,分別給出了實際跟蹤與漸近跟蹤兩類控制問題的解決方案,顯式設(shè)計了實際跟蹤與漸近跟蹤器,保證了期望的跟蹤性能.需指出的是,本文所給出的控制設(shè)計方法要求系統(tǒng)全部狀態(tài)可量測.然而在實際工程中,受制于測量(傳感)設(shè)備的精度等局限性,系統(tǒng)狀態(tài)有時無法全部可量測,導致系統(tǒng)存在狀態(tài)未知性.因此,未來值得研究的一個比較有意義的問題是利用較少的測量信息實現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤等控制目標.為此,需要構(gòu)建狀態(tài)觀測器重構(gòu)系統(tǒng)不可測狀態(tài),這將使得相應(yīng)的控制問題更具有挑戰(zhàn)性.