奇異Lur’e網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)牽制聚類同步控制

湯 澤 軒德利 王 艷 紀(jì)志成

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇無錫 214122;2.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)教育部工程研究中心,江蘇無錫 214122)

1 引言

近20年來,復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)已成為生態(tài)科學(xué)、工程學(xué)和社會(huì)學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域廣泛關(guān)注和研究的熱點(diǎn)[1-3].現(xiàn)實(shí)世界和人類社會(huì)中存在大量與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),如通信網(wǎng)、社交網(wǎng)和互聯(lián)網(wǎng)等.網(wǎng)絡(luò)上傳播、擴(kuò)散和同步等動(dòng)力學(xué)行為是復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)研究的基本問題,尤其是同步這一集群行為更是受到了廣泛關(guān)注.在文獻(xiàn)[4-6]中,許多重要的同步現(xiàn)象和模型已經(jīng)得到了深入的研究,如全局同步[4]、相同步[5]和聚類同步[6]等.

一般來說,聚類同步是指每一聚類中的任意動(dòng)態(tài)節(jié)點(diǎn)相互同步而不同聚類之間沒有要求.在現(xiàn)有大多數(shù)聚類同步工作[7]中,考慮的都是具有非奇異節(jié)點(diǎn)的一般網(wǎng)絡(luò)的聚類同步問題,即所有節(jié)點(diǎn)的局部動(dòng)力學(xué)行為都是相同的.顯然,假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)都是具有相同的動(dòng)力學(xué)行為很不現(xiàn)實(shí),例如在新陳代謝、神經(jīng)或者社交網(wǎng)絡(luò)中,不同聚類中任意一對(duì)節(jié)點(diǎn)按照其功能劃分是不相同的.

事實(shí)上,大部分復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是無法通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)自身參數(shù)實(shí)現(xiàn)同步,因此設(shè)計(jì)合適的控制器就變得至關(guān)重要.現(xiàn)如今已經(jīng)出現(xiàn)了許多有效的控制策略[3,8-9],如牽制控制[3]、脈沖控制[8]和自適應(yīng)控制[9]等.由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有規(guī)模巨大這一特點(diǎn),從而為每一個(gè)節(jié)點(diǎn)施加控制器在現(xiàn)實(shí)中變得異常困難.而牽制控制作為一種僅控制一小部分節(jié)點(diǎn)的控制方式,受到廣泛關(guān)注.另一方面,為了實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步,針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制器一般需要非常大的控制器強(qiáng)度,這樣不僅增加了控制成本同時(shí)造成了資源浪費(fèi).因此樊等人[10]提出了一種自適應(yīng)牽制控制方法來實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步.

眾所周知,Lur’e 系統(tǒng)是一類典型的非線性系統(tǒng),而由Lur’e系統(tǒng)耦合而成復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步與控制問題已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)[11-13].文獻(xiàn)[11]中,鄭等人采用牽制控制策略研究了一類具有耦合時(shí)滯Lur’e動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題;文獻(xiàn)[13]中,豐等人研究了一類非線性耦合Lur’e復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題.但上述文獻(xiàn)都沒有考慮Lur’e系統(tǒng)之間還可能存在導(dǎo)數(shù)耦合的形式.對(duì)于一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)而言,狀態(tài)向量是用來表示當(dāng)前系統(tǒng)的空間位置,而狀態(tài)導(dǎo)數(shù)向量則可以被看作是不同系統(tǒng)之間的信息交換速率.所以針對(duì)導(dǎo)數(shù)型耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),當(dāng)前系統(tǒng)的變化率是由當(dāng)前系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)和與之相鄰系統(tǒng)的變化率共同決定的.

本文在假定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有3種耦合形式(非線性耦合、時(shí)滯耦合、導(dǎo)數(shù)型耦合)的條件下,研究了由奇異和非奇異Lur’e系統(tǒng)耦合而成的有向復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)聚類同步問題.通過引入自適應(yīng)牽制控制策略,本文設(shè)計(jì)了一類只控制聚類中與其他聚類直接相連的一小部分Lur’e系統(tǒng)的負(fù)反饋控制器.基于Lyapunov穩(wěn)定性定理,有效利用扇形條件和非線性函數(shù)類概念等方法,給出該復(fù)雜Lur’e網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)全局聚類同步的判定條件.

符號(hào):AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置;Rm表示m維Euclid空間;Rm×m表示m×m實(shí)矩陣集合;Im為m維單位矩陣;B ?C表示矩陣B和C的Kronecker積.對(duì)于所有非零x有xTAx>0(≥0),則實(shí)對(duì)稱矩陣L是正定(半正定)矩陣表示為A>0(≥0);符號(hào)‖·‖表示矩陣或向量的Euclid范數(shù);diag{·}表示對(duì)角矩陣;如無明確說明,矩陣均假設(shè)符合代數(shù)運(yùn)算的要求.

2 準(zhǔn)備工作

假設(shè)考慮的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)含有M個(gè)節(jié)點(diǎn),并劃分為g個(gè)聚類.定義函數(shù)μi=j,它表示節(jié)點(diǎn)i屬于第j個(gè)聚類.讓Uj表示第j個(gè)聚類中所有節(jié)點(diǎn)的集合,表示第j個(gè)聚類中直接與其他聚類相連接節(jié)點(diǎn)的集合.

考慮以下由非奇異Lur’e系統(tǒng)耦合而成的具有非線性、時(shí)滯和導(dǎo)數(shù)型耦合網(wǎng)絡(luò)模型:

3 非奇異Lur’e網(wǎng)絡(luò)的聚類同步

注2由于非線性耦合函數(shù)lk(·)是屬于可接受類函數(shù)(NCF),利用投影方法可將其分解為線性部分ξa和振蕩部分xk(a)=lk(a)-ξa.

4 奇異Lur’e網(wǎng)絡(luò)的聚類同步

本節(jié)主要考慮由奇異Lur’e系統(tǒng)經(jīng)非線性、時(shí)滯和導(dǎo)數(shù)方式耦合而成的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3)的聚類同步問題.

針對(duì)已定義的誤差向量ei(t)=yi(t)-sμi(t)且各聚類的同步目標(biāo)sμi(t)滿足

則被控誤差Lur’e網(wǎng)絡(luò)(18)是全局穩(wěn)定的,即在牽制反饋控制器(6)和控制強(qiáng)度自適應(yīng)法則(10)作用下,奇異Lur’e動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3)與Lur’e系統(tǒng)(17)可實(shí)現(xiàn)聚類同步,其中:

同時(shí),本文可以得到y(tǒng)i(t)→sμi(t),?i(t)→?i(t →∞),其中i=1,2,···,M.由Lyapunov穩(wěn)定性定理和定義1知被控奇異Lur’e動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3)在自適應(yīng)牽制反饋控制器(6)和控制強(qiáng)度自適應(yīng)法則(10)作用下可實(shí)現(xiàn)聚類同步. 證畢.

5 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文所提出聚類同步判定方法和控制器設(shè)計(jì)方案的有效性,在此仿真中采用奇異蔡氏振蕩電路[17]耦合的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行說明.

作為經(jīng)典非線性Lur’e系統(tǒng)的代表,考慮如下蔡氏電路:

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)牽制反饋控制器有效性,選取由6個(gè)蔡氏電路組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),并將其分為兩個(gè)聚類U1={1,2,3}和U2={4,5,6}(如圖1所示),其中屬于聚類U1的Lur’e 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為如式(24)所示,而屬于聚類U2的所有Lur’e系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為則服從式(25).

圖1 Lur’e網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of Lur’e network

取非線性耦合函數(shù)

表示兩個(gè)聚類之間的誤差,其中:i ∈U1,j+3∈U2.圖2表示聚類U1和聚類U2的同步誤差隨著時(shí)間t的演化曲線,當(dāng)t →∞時(shí)Ej(t)→0,即兩個(gè)聚類達(dá)到同步.從圖2和圖3可以看出,同一聚類同步誤差趨近于0而不同聚類間的誤差曲線則發(fā)生不規(guī)則的振蕩.最后,根據(jù)自適應(yīng)更新定律(10),圖4給出自適應(yīng)控制強(qiáng)度隨時(shí)間演化曲線,其中控制矩陣P=diag{0,2.085,0,2.361,0,0}.從上面的分析可知此數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)很好的說明了所得結(jié)論的有效性.

圖2 每個(gè)聚類的同步誤差Ej(t)Fig.2 Synchronous errorEj(t)in each cluster

圖3 兩個(gè)聚類之間同步誤差E12(t)Fig.3 Synchronization errorE12(t)between two clusters

圖4 自適應(yīng)控制強(qiáng)度?i(t)演化曲線Fig.4 Adaptive control strength?i(t)evolution curves

6 結(jié)論

本文分別研究了由奇異和非奇異Lur’e系統(tǒng)經(jīng)多種耦合方式耦合而成的時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的聚類同步問題.首先設(shè)計(jì)了一類負(fù)反饋牽制控制器,只控制當(dāng)前聚類中與其他聚類有直接相連Lur’e系統(tǒng),并利用自適應(yīng)控制策略得到合適的負(fù)反饋控制強(qiáng)度.接著利用扇形條件、非線性函數(shù)類概念以及Lyapunov穩(wěn)定性定理等方法,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,得到了Lur’e動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)聚類同步的判定條件.最后,對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)聚類同步問題進(jìn)行了數(shù)值仿真,驗(yàn)證了聚類同步判定條件和控制器設(shè)計(jì)方案的有效性.