欠驅(qū)動(dòng)航天器李雅普諾夫函數(shù)非線性姿態(tài)控制

夏德銀

(北京控制與電子技術(shù)研究所,北京 100038)

1 引言

欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)是一類(lèi)控制輸入個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度的控制系統(tǒng),它廣泛地存在于機(jī)器人、航空航天等各個(gè)領(lǐng)域,由于控制輸入個(gè)數(shù)的減小,較大地增加了系統(tǒng)的控制難度,因此它成為控制系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)之一.針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng),研究人員已經(jīng)提出了較多的控制方法,例如文獻(xiàn)[1]提出了基于能量的控制方法;文獻(xiàn)[2-3]分別設(shè)計(jì)了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償摩擦的奇異避免能量控制器以及基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償摩擦的奇異避免能量控制器等.

欠驅(qū)動(dòng)航天器是一類(lèi)具有強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合性的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng).針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)航天器的執(zhí)行機(jī)構(gòu)出現(xiàn)故障或者缺失的狀況,已經(jīng)出現(xiàn)了較多有價(jià)值的研究成果.文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了分段解耦的姿態(tài)控制器,每一步解耦的前提是前面分段的控制誤差要盡量地趨近于零;文獻(xiàn)[5]給出了零角動(dòng)量逆最優(yōu)的穩(wěn)定控制器,對(duì)輸入不確定性具有一定的魯棒性;文獻(xiàn)[6]提出了反步控制器,只是所應(yīng)用的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型未考慮失控軸的角速度,給出的反應(yīng)控制器存在奇異性,需要證明在奇異點(diǎn)姿態(tài)控制系統(tǒng)也是收斂的;文獻(xiàn)[7]給出了一種復(fù)雜的連續(xù)時(shí)變控制律,通過(guò)引入輔助變量和設(shè)計(jì)中間虛擬變量使得系統(tǒng)的參數(shù)趨于穩(wěn)定;文獻(xiàn)[8]給出了零角動(dòng)量逆最優(yōu)的穩(wěn)定控制器,對(duì)輸入不確定性具有一定的魯棒性;文獻(xiàn)[9]采用路徑規(guī)劃獲得開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制輸入和非線性預(yù)測(cè)控制方法(nonlinear model predictive control,NMPC)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的反饋控制,給出的NMPC方法計(jì)算量較大,需要進(jìn)一步提升系統(tǒng)的在線優(yōu)化實(shí)時(shí)性;文獻(xiàn)[10]將魯棒變?cè)鲆鍼ID控制轉(zhuǎn)化為雙線性矩陣不等式可行解的問(wèn)題,增大了計(jì)算量,增加了控制器求解的復(fù)雜度;文獻(xiàn)[11]根據(jù)Pontryagin極小值原理將系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題,采用Legendre-Gauss-Lobatto將兩點(diǎn)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)線性方程組求解.

綜上所述,研究結(jié)果表明欠驅(qū)動(dòng)軸角速度快速收斂是航天器姿態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定收斂的重要前提;具有奇異性的姿態(tài)系統(tǒng)控制器,需要證明在奇異點(diǎn)姿態(tài)控制系統(tǒng)也是穩(wěn)定收斂的;奇異避免的反步控制器,通過(guò)構(gòu)造結(jié)構(gòu)復(fù)雜的理想姿態(tài)角速度避免控制器出現(xiàn)奇異性.由此本文提出了一種李雅普諾夫函數(shù)的非線性連續(xù)控制器:

1) 基于欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的一體化模型,考慮失控軸的角速度,設(shè)計(jì)了李雅普諾夫函數(shù)的非線性控制器,利用三通道之間的強(qiáng)耦合性實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)軸角速度和欠驅(qū)動(dòng)軸角速度在較短的時(shí)間內(nèi)快速地收斂到穩(wěn)定狀態(tài).

2) 通過(guò)構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的變化控制律,推導(dǎo)得到了李雅普諾夫函數(shù)的非線性連續(xù)控制器.

3) 構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的變化控制律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,通過(guò)調(diào)節(jié)控制律的相關(guān)參數(shù),確?？刂破骶哂休^好的快速性和收斂性.

最終,為了檢驗(yàn)本文提出的李雅普諾夫函數(shù)非線性控制器(Lyapunov function nonlinear controller,LFNC)的性能,進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),另外選取了奇異避免的反步控制器進(jìn)行比較,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的控制器(singularity avoidance back-stepping controller,SABSC)具有較好的控制性能.

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 動(dòng)力學(xué)模型

本文使用的航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程[7]如下所示:

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2.3 一體化模型

3 控制器設(shè)計(jì)

在給出的驅(qū)動(dòng)軸控制力矩Tx和Tz耦合等式的基礎(chǔ)上,通過(guò)聯(lián)合解算兩個(gè)耦合等式,推導(dǎo)得到控制力矩Tx和Tz的函數(shù)表達(dá)式,完成李雅普諾夫函數(shù)非線性控制器的設(shè)計(jì).

3.1 Tx,Tz耦合等式設(shè)計(jì)

為了便于得到驅(qū)動(dòng)軸控制力矩Tx和Tz的耦合等式,本文以w1為變量,構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)如下所示:

3.2 Tx,Tz設(shè)計(jì)

注3由式(20)推導(dǎo)得到驅(qū)動(dòng)軸控制力矩Tx和Tz的函數(shù)表達(dá)式,即本文提出的李雅普諾夫函數(shù)非線性控制器,完成欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.

此外,根據(jù)式(8)和式(21)可得

4 仿真研究

為了檢驗(yàn)本文提出的李雅普諾夫函數(shù)非線性控制器(LFNC)的性能,另外選取了奇異避免的反步控制器(SABSC)進(jìn)行比較,將LFNC,SABSC 分別與欠驅(qū)動(dòng)航天控制器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型組成閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真分析.其中航天器硬件結(jié)構(gòu)參數(shù)在表1中給出.LFNC的主要控制參數(shù)在表2中列出.在LFNC的作用下,假定航天器的初始姿態(tài)角速度均為零,初始參數(shù)分別為(w1(0),w2(0),z(0))=(-0.8,0.2,0.8)rad,w1d=zd=0 rad,航天器姿態(tài)系統(tǒng)輸出的角速度曲線等在圖1中給出.

表1 航天器硬件結(jié)構(gòu)參數(shù)值Table 1 Hardware structure parameter values of spacecraft

表2 LFNC參數(shù)值Table 1 Parameters of LFNC

圖1 w1(0)=-0.8 rad時(shí)航天器姿態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的變化曲線Fig.1 Curves of parameters of spacecraft attitude system whenw1(0)=-0.8 rad

由圖1可知,與SABSC相比,在LFNC的作用下,欠驅(qū)動(dòng)航天器的參數(shù)w1,z,ωx,ωz在較短的時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),表明本文提出的控制器具有較好的快速性和收斂性,其中驅(qū)動(dòng)軸的姿態(tài)參數(shù)w1,z,ωx,ωz收斂到零,欠驅(qū)動(dòng)軸的姿態(tài)參數(shù)w2,ωy在三通道之間耦合控制力的作用下分別收斂到某個(gè)常值狀態(tài).

5 結(jié)論

本文主要研究了欠驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問(wèn)題,根據(jù)航天器姿態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和利用(w,z)參數(shù)表述的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,變化得到一體化模型,本文提出了李雅普諾夫函數(shù)非線性控制器LFNC,當(dāng)Ty失效時(shí),用于完成航天器姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.由數(shù)值仿真的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,w1,w2,z,ωx,ωy,ωz都在較短的時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)定狀態(tài),表明本文給出的LFNC具有較好的快速性和收斂性.