凡欲明一法，必設(shè)一題

何月豐

“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗(yàn)，凡欲明一法，必設(shè)一題。”這句話出自我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝之筆。我第一次讀到是在單墫教授所著的《解題研究》一書(shū)中，當(dāng)時(shí)甚為驚訝。只是那本書(shū)中僅引用這句話，以此佐證題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，對(duì)于這句話的具體釋義則并未給出。

我?guī)е稽c(diǎn)認(rèn)識(shí)，又夾雜著“不甚理解”的遺憾，請(qǐng)教了我縣教科所、中學(xué)語(yǔ)文特級(jí)教師朱益群老師，朱老師給出了如下釋義：“學(xué)算術(shù)，題目依據(jù)規(guī)律（方法）而命制，規(guī)律（方法）又對(duì)題目做出驗(yàn)證，凡是想要理解一種規(guī)律（方法），必定對(duì)應(yīng)地創(chuàng)設(shè)一個(gè)題目?！?/p>

讀罷，心里既興奮又踏實(shí)。興奮的是這句話所表達(dá)的意思如我所愿，踏實(shí)的是我的想法得到了更好印證。

這讓我聯(lián)想到了我所從事的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。為了讓學(xué)生理解小數(shù)乘法的算理和算法，為了讓學(xué)生理解圖形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式，為了讓學(xué)生理解公因數(shù)、最大公因數(shù)的概念，我們都要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一道道相關(guān)的題目。猛然間發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題不正是“必設(shè)一題”的最好證明嗎？楊輝的觀點(diǎn)我們一直沿用至今，足見(jiàn)其價(jià)值。

至此，讓我又想起了《這才是好讀的數(shù)學(xué)史》中的一段話：

4000年前的埃及數(shù)學(xué)已經(jīng)是相當(dāng)發(fā)達(dá)的知識(shí)體系，其內(nèi)容與我們今天所學(xué)習(xí)的計(jì)算和幾何的內(nèi)容非常相似，我們今天的中小學(xué)都還在應(yīng)用。它被記錄下來(lái)，并通過(guò)問(wèn)題的方式進(jìn)行教學(xué)，這些問(wèn)題的例子都是可以模仿的。

“通過(guò)問(wèn)題的方式進(jìn)行教學(xué)”不正是“凡欲明一法，必設(shè)一題”的體現(xiàn)嗎？這無(wú)疑進(jìn)一步證實(shí)了題是教學(xué)數(shù)學(xué)的最佳載體，“凡欲明一法，必設(shè)一題”是數(shù)學(xué)教學(xué)的最佳方式，且這種方式已經(jīng)延續(xù)了幾千年。所以可以得出這樣一個(gè)結(jié)論“凡欲明一法，必設(shè)一題”貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的歷史中。

現(xiàn)在，我們必須思考另一個(gè)問(wèn)題：題由誰(shuí)設(shè)？

就現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，讓學(xué)生獲得知識(shí)的題基本已經(jīng)由教材編寫者設(shè)計(jì)好了。教材上的題從功能上講，可以分為例題和習(xí)題這樣兩大類。例題一般使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解知識(shí)，習(xí)題一般使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握更加深刻和深化。

可以這樣說(shuō)，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材上的題已經(jīng)比較完備了，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一是例題的知識(shí)體系已經(jīng)很完備，基本將學(xué)生生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必需的基礎(chǔ)知識(shí)涉及到了；第二是例題后的習(xí)題跟進(jìn)比較完備，作為必要的補(bǔ)充和深化，體現(xiàn)出了逐步提升的層次結(jié)構(gòu)，能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。

那么，這是不是說(shuō)我們現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，只要按照教材上編排好的這些題，依次按部就班教學(xué)即可？從教學(xué)實(shí)際來(lái)看，不是這么簡(jiǎn)單。也就是說(shuō)，即使教材編寫者設(shè)計(jì)的題已經(jīng)比較完備，但教師依舊要根據(jù)教學(xué)實(shí)際需要設(shè)計(jì)題目。這種設(shè)計(jì)，主要體現(xiàn)在對(duì)習(xí)題的改編和創(chuàng)編上。

習(xí)題改編，相信很多教師不會(huì)感到陌生，因?yàn)檫@在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種比較常見(jiàn)的行為，此處不再贅述。

下面，重點(diǎn)談一下習(xí)題創(chuàng)編。從“凡欲明一法，必設(shè)一題”可知，每一道數(shù)學(xué)題的創(chuàng)設(shè)，都是有明確目的的，這一點(diǎn)，教材上的每一道題都可證明。所以，教師要?jiǎng)?chuàng)編一道習(xí)題，自然也要有明確的目的，這不僅體現(xiàn)了教師對(duì)教材的深度理解，還常常體現(xiàn)著教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的深度把握。下面這個(gè)例子可以較好地說(shuō)明此觀點(diǎn)。

【習(xí)題創(chuàng)編說(shuō)明】

平行與垂直是平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系。雖然是在一個(gè)課時(shí)中教學(xué)的，但一般是作為兩個(gè)獨(dú)立的內(nèi)容對(duì)待的，即平行和垂直各自作為一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。概念建立后的習(xí)題教學(xué)，也往往以靜態(tài)呈現(xiàn)的方式獨(dú)立看待平行和垂直。這樣的習(xí)題，對(duì)于學(xué)生更好地理解和掌握平行與垂直的概念固然有很好的促進(jìn)作用，是需要的。但是，這樣的習(xí)題對(duì)于理解平行與垂直之間的關(guān)系——尤其是兩者之間的運(yùn)動(dòng)變化關(guān)系，始終沒(méi)有顧及?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，我萌生了要?jiǎng)?chuàng)編一道體現(xiàn)兩者關(guān)系的習(xí)題，意圖引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的視角來(lái)看待平行與垂直，更好地理解平行與垂直是平面上兩條直線在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中某一時(shí)刻的定格，是兩條直線之間的某一特殊位置關(guān)系的表征。

【習(xí)題教學(xué)描述】

教學(xué)時(shí)，幾何畫(huà)板上直接出示下圖頁(yè)面。學(xué)生觀察頁(yè)面上的兩條直線，判斷這兩條線之間的位置關(guān)系——相交。

在確認(rèn)是相交之后，教師提出第一個(gè)任務(wù)：“如果現(xiàn)在想讓這兩條直線互相垂直，你有辦法嗎？”此時(shí)學(xué)生都能想到：只要把有點(diǎn)“斜”的那一條直線再稍微旋轉(zhuǎn)一下即可（說(shuō)明：課件邊上的按鈕是用英文字母代替的，以防給學(xué)生暗示）。按照學(xué)生的方式，教師將有點(diǎn)“斜”的那條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并請(qǐng)學(xué)生觀察，提醒教師停止的時(shí)間。這個(gè)時(shí)間點(diǎn)是很難控制的，所以課件上還準(zhǔn)備了逆時(shí)針的按鈕。經(jīng)過(guò)多次調(diào)整，在大家都認(rèn)為是垂直的時(shí)候，出示度數(shù)驗(yàn)證，如果還不垂直，可通過(guò)“垂直”按鈕準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)垂直。（如下圖）

在上述過(guò)程中，來(lái)回多次調(diào)整看似多余，其實(shí)是關(guān)鍵，因?yàn)檎沁@個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生深刻體會(huì)到了垂直是兩條直線在運(yùn)動(dòng)變化中某一特殊時(shí)刻的瞬間定格。

完成上述教學(xué)之后，教師提出第二個(gè)任務(wù)：“如果這條直線繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，會(huì)發(fā)生什么情況？”這里不著急請(qǐng)學(xué)生回答，讓學(xué)生先想象一下。學(xué)生根據(jù)想象，會(huì)發(fā)現(xiàn)繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條直線就會(huì)重合。根據(jù)學(xué)生的想法，教師課件演示，繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到重合。

上述教學(xué)實(shí)現(xiàn)了從相交到重合的運(yùn)動(dòng)變化。同樣，學(xué)生在這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中就體會(huì)到，重合也無(wú)非是兩條直線在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的一個(gè)瞬間定格而已。

完成上述教學(xué)之后，教師提出第三個(gè)任務(wù)：“如果現(xiàn)在想使這兩條直線平行，你有辦法嗎？”學(xué)生自然會(huì)想到：只要把其中一條直線向下或者向上平移即可。運(yùn)用學(xué)生的方法，課件演示向下平移。為了更好地展現(xiàn)“平行”，可借助方格紙進(jìn)一步幫助證明。一次平移之后，繼續(xù)思考：還能不能繼續(xù)移動(dòng)？這就是“平行2”按鈕的作用了。

從這道習(xí)題的設(shè)計(jì)和教學(xué)可以看出，此題一方面在進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)于平行與垂直的理解，另一方面——也是本題創(chuàng)編的核心目標(biāo)——引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的視角看待垂直、重合與平行的關(guān)系，加深對(duì)平行與垂直的理解。

所以，題由誰(shuí)設(shè)？就我們現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，題主要是由教材編寫者設(shè)計(jì)。但這不是全部，題，也需要作為教學(xué)執(zhí)行者的教師自己來(lái)設(shè)計(jì)。

教材編寫者設(shè)計(jì)的題，是基于數(shù)學(xué)知識(shí)體系的邏輯結(jié)構(gòu)和教學(xué)的一般原理考慮的，具有很強(qiáng)的普適性。教師自己設(shè)計(jì)的題，是基于自己教學(xué)的具體實(shí)際需要和對(duì)數(shù)學(xué)的自我理解而考慮的，具有很強(qiáng)的個(gè)人色彩。當(dāng)然，兩者的目的一定是一致的，都是為了學(xué)生能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

綜上所述，作為一線數(shù)學(xué)教師，不僅要努力做好“習(xí)題執(zhí)行者”這個(gè)基礎(chǔ)角色，也要努力成為“習(xí)題設(shè)計(jì)者”這個(gè)“高光”角色。特別值得一提的是，教師創(chuàng)編習(xí)題的過(guò)程，也能有效促進(jìn)自我的專業(yè)成長(zhǎng)。

“凡欲明一法，必設(shè)一題”，于學(xué)生，于教師，同樣重要。