基于“數(shù)學理解層次”的教學路徑探索
——以《打電話》教學為例

莊旦丹

《數(shù)學課程標準》指出：“綜合與實踐”是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動。在于培養(yǎng)學生綜合運用有關(guān)知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提高解決現(xiàn)實問題能力。因此，教師在教學《打電話》一課時，切忌只關(guān)注“雙基”，更重要的是在綜合運用中，讓學生積累數(shù)學經(jīng)驗，滲透數(shù)學思想。

一、巧借東風，開拓全新路徑

曹培英教授根據(jù)SOLO分類評價法，將數(shù)學理解分為“前結(jié)構(gòu)水平”（不能恰當處理）、“單點結(jié)構(gòu)水平”（能提出與學習任務(wù)相關(guān)的一個方面知識）、“多點結(jié)構(gòu)水平”（能提出與學習任務(wù)有關(guān)的幾個獨立方面知識）、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”（能把相關(guān)數(shù)學知識整合成一個連貫的整體結(jié)構(gòu)）、“拓展抽象水平”（能把整體結(jié)構(gòu)概念化為一個更高的抽象水平）五個層次。這五個層次能很好地顯示學生的認知水平，從而指導教師針對性地進行教學設(shè)計，這為本課教學提供了全新的路徑。

1.SOLO理論，引領(lǐng)前測。

測試對象：某校501班35名同學。

測試方法：問卷+訪談。教師不讀題，不提示，學生寫完就上交。

測試內(nèi)容：教師接到一項緊急任務(wù)，需要盡快通知7位七彩小義工，如果采用打電話的方式，每分鐘通知1個人，怎樣通知最省時間？最少需要多長時間才能通知到每一個人？

測試要求：讀懂題意，獨立思考，先想一想，再寫一寫或畫一畫。

測試結(jié)果：33名同學用圖形、圖示、文字、符號等方式進行了解答，有2名同學無從下手。未給出答案或沒有考慮到同時打電話可以節(jié)省時間的人占28.6%；能考慮到接收到通知的學生可以同時打電話給其他同學占5.7%；能考慮到老師和學生可以同時打電話給其他同學，但仍有空閑占17.1%；能考慮到老師和學生可以同時打電話給其他同學，且沒有空閑占48.6%。

2.基于學情，精準施教。

課前調(diào)研，目的有二：一方面了解學生的真實想法和學習起點。在前測中發(fā)現(xiàn)，前兩個水平層次超過了30%，達到SOLO認知水平三即多點結(jié)構(gòu)層次的學生有17.1%，達到SOLO認知水平四即關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次的學生達到了48.6%，第五個水平層次的學生一個也沒有。可以看出學生在策略的選擇上還是有一定的想法和基礎(chǔ)，但在圖示表征上卻存在著或多或少的缺陷，如表達過于繁瑣、圖示中缺少時間標注、過程不夠清晰等情況，此外還沒有達到抽象模型概念化水平。這些都為本節(jié)課的教學提供了寶貴的教學資源，也讓筆者意識到，將圖示表征優(yōu)化，積累數(shù)學經(jīng)驗，這是學生所需求的，也是他們今后學習數(shù)學非常重要的一種方法，同時還要通過教學使學生朝著更高的抽象化水平發(fā)展。另一方面以前測為素材展示給學生，用以對比、分析，針對性更強，節(jié)省了寶貴的課堂教學時間，提高了課堂效率。

二、思維可視，推進系統(tǒng)生長

借助SOLO分類評價理論進行水平層次分析后，筆者以撬動深度學習的杠桿解——思維可視化教學策略為抓手，把原本不可見的思考結(jié)構(gòu)、思考路徑、思考方法展現(xiàn)出來，助力“數(shù)學理解層次”這一路徑系統(tǒng)生長。

1.建構(gòu)衍生，單一到多元。

要讓那些僅憑直覺、思考單一的學生從第一、二階段上升到多點結(jié)構(gòu)水平的第三階段，關(guān)鍵是通過思維可視，把抽象知識圖像化，把知識結(jié)構(gòu)直觀化，從而發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性。

（1）聚焦“共讀”，突出個性特征。

我們可以發(fā)現(xiàn)前測中最主要的其實只有三種方法，即“7分鐘方案”、“4分鐘方案”和“3分鐘方案”。前測中的這三種情況只是個體的想法，在課堂上教師應(yīng)該轉(zhuǎn)化為群體的“共讀”，讓學生明白原理，這樣才更有利于經(jīng)歷探索最優(yōu)化方案的過程。

【片斷1】解讀三種方案。

圖1

圖2

圖3

師：同學們課前已經(jīng)解決過了打電話這個問題，老師進行了整理和分類，大致有這么三種方案。你看得懂嗎？

生1：圖1，老師一個接一個打電話通知學生，通知7位學生共需要7分鐘。

生2：圖2，第1分鐘：老師通知學生一。第2分鐘：學生一通知學生二，老師通知學生三。第3分鐘，學生三通知學生四，老師通知學生五。第4分鐘：學生五通知學生六，老師通知學生七。4分鐘內(nèi)，7位學生都收到通知。

生3：圖3，老師在第1分鐘通知1個學生，第2分鐘老師又去通知一個學生，第1個學生通知又一個學生，第3分鐘老師再通知一個學生，剛才的2個學生也去通知（說的時候斷斷續(xù)續(xù)，不斷地配著手勢）……

生4：我被你弄暈了，到底誰打給誰啊？

生3：那我上來指一指，不指還真說不清楚（邊說邊走上講臺）。

（2）逐步完善，優(yōu)化表征方法。

從“共讀”方案這個環(huán)節(jié)筆者發(fā)現(xiàn)，前兩種方案學生解讀起來比較輕松，在3分鐘方案的解讀中遇到了一些困難。其實在前測中，有3分鐘畫得很完美的學生，但是非常少，更多的是像圖3這樣有待修正的表征。這正是學生的難點所在，也是本節(jié)課很好的切入口。

【片斷2】優(yōu)化“3分鐘方案”。

師：看來3分鐘的這種方案無論是觀察，還是表達都有些困難，請大家動動腦筋，看有什么方法可以讓大家一眼就看清楚，每一分鐘是打給誰的呢？

生1：我仿照圖1，在○內(nèi)寫上數(shù)字編號表示學生，這樣的圖別人易懂。

生2：我借鑒圖2，用一、二、三等數(shù)字表示學生，用1、2、3等數(shù)字表示第幾分鐘，便于表達。

師：這位同學把剛才前面兩種方案中編號的方法用到3分鐘方案，使表達更加方便，能夠舉一反三，真棒。我們再想一想，畫圖的時候除了編號，還有什么辦法能讓別人一眼就看清楚每一分鐘的變化？怎樣改進比較好？

生3：還可以把每一分鐘新收到通知的學生放在同一列對齊，這樣更加清楚。

師：太棒了，那么就請同學們發(fā)揮聰明才智，在練習紙上再畫一畫，使你的畫圖更加清楚、更加完美。

學生修改后選取典型作品展示，全班交流。

從學生后期的作品中筆者發(fā)現(xiàn)，正是因為有了前面不能方便地“觀察”、“表達”這種內(nèi)需，才能更好地激發(fā)學生去質(zhì)疑、去思考、去完善。讓畫圖從錯到對、從粗到細、從模糊到清晰，在不斷嘗試、反思、分析的過程中，優(yōu)化表征方法。在畫圖的過程中初步認識到每分鐘新通知的人數(shù)就是上一分鐘知道消息的總?cè)藬?shù)，為建立數(shù)學模型積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗。

2.關(guān)聯(lián)整合，散點到聯(lián)法。

從第三階段到第四階段，是一個較大的飛躍，關(guān)鍵是通過思維可視，把隱性知識顯性化，把解題規(guī)律模型化，通過關(guān)聯(lián)整合，從知識層深入到理解層。

（1）分層對比，提煉關(guān)鍵要素。

通過畫圖表征、說理，理解各種方案內(nèi)涵，剖析各種方案的設(shè)計原理，在對比中明晰最優(yōu)化方案。在這里，三種方案涉及到兩個層次，第一個層次：“7分鐘方案”只有教師在逐個通知，其他兩個方案都是教師和學生同時通知；第二個層次：3分鐘的方案不僅是同時通知，還不空閑。因此就需要將三種方案進行分層對比，在互譯的過程中進行進一步體驗，形成知識的結(jié)構(gòu)化。

【片斷3】對比三類方案，明白“最少”時間的關(guān)鍵。

師：很好，大家對原有的圖又有了新的改進，這樣可以使我們的思維更加清晰。那么對于這三種方案你有什么想說的？哪種比較費時，其他幾種呢？

（1）三類分兩類（提煉“同時”）。

師：為什么后兩種方案可以節(jié)省時間？

生：第一種只有老師在打，后兩種是師生共同參與。（板書：同時）

（2）4分變3分，少在哪里（提煉“不空閑”）。

師：后兩種方案老師和學生都同時打了，第三種方案為什么會少1分鐘呢？少在哪里呢？

生：圖2的方案，老師通知4位學生，其中3位學生各通知1位學生，還有學生二沒有發(fā)揮作用。

生：圖3的每一位先收到通知的學生都不空閑。圖1的學生都是空閑的，圖2在第3分鐘內(nèi)，學生二出現(xiàn)空閑狀態(tài)。

師：最優(yōu)的方案是，充分發(fā)揮每一位同學的作用，沒有人空閑。（板書：不空閑）

師：還有沒有比3分鐘更少的？為什么？

生：每位同學都發(fā)揮了作用，不閑著，所以3分鐘最省時。

師：2分鐘后收到信息的4個人都在打電話，所以3分鐘最省時。那第4分鐘又有多少人接到新的通知呢？為什么？第5分鐘呢？

生：第4分鐘8人接到新通知，前面已經(jīng)知道的8個人可以同時通知。

師：第9分鐘呢？

生：一下子算不過來啊。

（2）歸納推理，理解數(shù)學模型。

數(shù)學模型的真正建立必須依賴于學生自己的歸納，在教學中，筆者并沒有直接問學生發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，而是讓學生思考“第4分鐘新通知了多少人”，讓學生再次自覺運用“讓知道消息的人都去通知”這個問題的本質(zhì)去進行解釋。然后教師再讓學生思考：“9分鐘一共通知了多少人？學生從初悟規(guī)律的小竊喜，一下就被“卡住”了，這時適時出示表格，引導學生探究奧秘，自然而然地歸納出數(shù)學模型。

【片斷4】填寫表格，探索“打電話”的規(guī)律。

師：看來第9分鐘同學們遇到了些困難，那么就請同學們帶著這個問題填一填表格，看看能不能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘所在。

時間（分）123456789知道通知總?cè)藬?shù)248163264128256512知道通知總學生數(shù)137153163127255511

學生填寫表格（讓填完的一個學生板書）。

師：你是怎么想的？

生1：我發(fā)現(xiàn)知道通知總?cè)藬?shù)-1=知道通知總學生數(shù)。

生2：我還發(fā)現(xiàn)下一分鐘接到通知總?cè)藬?shù)是上一分鐘知道通知總?cè)藬?shù)的兩倍。

反饋時教師適時提問：第3分鐘的8人怎么來的？學生數(shù)呢？第6分鐘呢？

生3：第3分鐘的8人是第2分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)乘2，也就是2×2×2，也就是3個2相乘。

生4：第6分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)就是6個2相乘。

師：那你知道n分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)嗎？

生5：n個2相乘，我在課外書上看到過，就是2的n次方。

生6：知道通知學生的總數(shù)就是2的n次方－1。

3.深化突破，直觀到抽象。

從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的第四階段到拓展抽象的第五階段，關(guān)鍵是通過思維可視，把零散知識系統(tǒng)化，把核心知識發(fā)散化，從而讓思維的路徑更加清晰。

（1）活化資源，豐富表征載體。

利用表格表征，學生能較好地理解模型。但反過來，告知通知的人數(shù)求時間，逆向思考是有一定難度的?！按螂娫挕钡膮^(qū)間感受比較抽象，僅僅通過表格這種“文字表征”的圖示化是不夠的。利用數(shù)軸，豐富表征載體，將時間和學生數(shù)聯(lián)系起來，更加直觀。進度條的設(shè)置，也讓學生更好地感受到哪怕比每一分鐘人數(shù)的最大值多1，也應(yīng)該算在下一分鐘。

【片斷5】結(jié)合數(shù)軸，探索區(qū)間中“片”數(shù)量。

填一填：通知28個小義工，如果老師采用打電話的形式，每分鐘通知1人，至少需要（）分鐘才能通知到每一個人？如果通知64個小義工，需要（）分鐘呢？

生1：通知28個義工需要5分鐘，因為4分鐘的時候總共也就16個人知道通知。通知64個小義工需要6分鐘，表格里可以找到。

生2：第6分鐘可以通知第32人~63人，它是有范圍的。所以通知28個小義工是5分鐘，通知64個小義工不是6分鐘，6分鐘的64人還得把老師除掉。

師：64個小義工需要幾分鐘大家有點爭議，那我們請數(shù)軸來幫幫忙吧。

師：我們知道，老師知道信息后，第1分鐘通知了1個人，第2分鐘又新通知了2個人……看一看數(shù)軸（圖4），你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4

圖5

生3：我發(fā)現(xiàn)每分鐘新知道通知的人數(shù)在翻倍。

生4：同一分鐘的人數(shù)顏色相同，翻倍的正好是前一分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)。

師：老師的上面為什么標著0？第2分鐘總共有4人知道信息，為什么標3？

生5：因為老師去通知別人的，所以算學生數(shù)得把他除去。

師：第5分鐘呢？標31還是32？

師：下一次標在哪里？老師用進度條表示，哪里停由你們提醒老師。（圖5）

師：64個人是第幾分鐘？

生6：64個人應(yīng)該是第7分鐘。

（2）挖掘內(nèi)涵，彰顯思維價值。

在數(shù)軸的圖示表征中，學生已經(jīng)到達了一個興奮點。這時就要抓住契機，進一步挖掘“數(shù)軸表征”內(nèi)涵，通過猜想、推理、驗證，讓“倍增”潛移默化地植入學生心中，推動發(fā)展性理解。

【片斷6】數(shù)形結(jié)合，理解倍增。

（1）如果老師采用打電話的形式，每分鐘通知1人，30分鐘最多大約可以通知（）人？

①1000②100萬③10億

師：通知64個人需要7分鐘，猜一猜30分鐘可以通知幾個人？

生1：我覺得人數(shù)很多，可能會有1000人。

生2：下一分鐘新收到通知的人數(shù)應(yīng)該是之前的人數(shù)乘2，要乘好多個2。所以我覺得數(shù)很大，可能會是100萬。

師：連續(xù)不斷地乘2，30分鐘要乘幾次？（2的30次方）

圖6

師：這里有一張工具量表，讀一讀這個數(shù)字。230=1073741824（圖6）。

生3：天吶，居然可以通知10億多人，太難以想象了。

師：我國人口13．9億，幾分鐘能都通知到？在2的30次方和2的31次方之間，所以時間是31分鐘（圖7）。31分鐘通知到全中國人，你有什么感覺？

圖7

師：那70億人呢？（倍增）

小結(jié)：想想不可思議，實際上是真實規(guī)律。

在思維可視化策略的支持下，以形象直觀的圖示和動態(tài)的展示過程，形成特有的教學路徑，從而提高數(shù)學理解層次，促進學生深度學習，為數(shù)學學習積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗。這就是讓學生終身受益的教學路徑。