學(xué)會(huì)基于教材的延伸性思考

文 黃秀旺（特級(jí)教師）

教材是老師和同學(xué)們進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的材料，是教學(xué)的主要媒介。蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“對(duì)稱圖形——圓”給出了一些重要定理，而對(duì)于數(shù)學(xué)問題的探究來說，我們?nèi)绻麑?duì)定理做一些延伸性的思考，會(huì)得到更有價(jià)值的結(jié)論，有助于提升解決問題的能力。

一、教材對(duì)常用的結(jié)論做出了延伸性的結(jié)論

基本定理：教材第45頁“圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等”，第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

追問：圓周角的度數(shù)與它所對(duì)弧的度數(shù)之間的關(guān)系如何？

因?yàn)閳A心角的度數(shù)與它所對(duì)弧的度數(shù)相等，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，所以圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半。

例1（2019·江蘇鹽城）如圖1，點(diǎn)A、B、C、D、E在⊙O上，且為50°，則∠E+∠C=________°。

【解析】∠E與∠C均為圓周角，它們所對(duì)的弧分別是，由于為50°，所 以與的 度 數(shù) 之 和 為360°-50°，即310°，根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半”得到∠E+∠C=155°。

例2如圖2，是半圓，O為AB的中點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)在上，且AD∥OC，連接BC、BD。若為62°，則∠ABD為（ ）。

A.28 B.29

C.30 D.31

【解析】根據(jù)題意，AB是直徑，∠ADB=90°，又AD∥OC，所以O(shè)C⊥DB，根據(jù)垂徑定理，，因?yàn)闉?2°，所以也為62°?？梢缘玫綖?6°，根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半”得到∠ABD=28°。

二、教材“練習(xí)”對(duì)定理做出延伸性的思考

教材第60頁的練習(xí)3：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠C=130°。求∠BOD的度數(shù)。

追問1：一般地，∠C與∠BOD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

根據(jù)教材第59頁“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”，第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”可以得到∠C+∠A=180°，∠A=∠BOD，所以∠C+∠BOD=180°。

例3（2018·江蘇蘇州）如圖4，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是上的點(diǎn)，若∠BOC=40°，則∠D的度數(shù)為（ ）。

A.100° B.110°

C.120° D.130°

【解析】根據(jù)互補(bǔ)得出∠AOC=180°-4

0°=140°，由延伸性思考可知∠AOC+∠D=180°，所以∠D=110°。

教材第60頁的練習(xí)2：如圖5，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠CBE是它的一個(gè)外角。若∠D=100°，求∠CBE的度數(shù)。

追問2：一般地，∠CBE與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【解析】根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”得到∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠CBE=180°，所以∠CBE=∠D，即外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

例4（2019·貴州銅仁）如圖6，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A=100°，則∠DCE的度數(shù)為________。

【解析】根據(jù)延伸性思考得到外角等于它的內(nèi)對(duì)角，所以∠DCE=∠A=100°。

三、基于解題經(jīng)驗(yàn)對(duì)定理做出延伸性的思考

基本定理：教材第47頁“垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧”，第55頁“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”。

如圖7，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P。

追問：如圖7，除了∠COB，還有哪個(gè)角與∠BOD相等？

【解析】根據(jù)已知條件，利用垂徑定理可以知道，再根據(jù)“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”，可以得到∠CAD=∠BOD。此結(jié)論的應(yīng)用也較為廣泛。

例5（2013·江蘇南京）如圖8，AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AB是⊙O的弦。過點(diǎn)B作BC∥AD，交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作CD∥AB，交AD于點(diǎn)D。連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠BCP=∠ACD。

試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。

【解析】如圖9，連接OC，由以上延伸性思考可知∠POC=∠BAC。由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，所以∠POC=∠BCP。而由切線AD的性質(zhì)及BC∥AD可知∠OMC=90°，所 以∠POC+∠MCO=90°，從 而∠BCP+∠MCO=90°，易判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系。

當(dāng)然，圓這一章還有一些定理也可以做出延伸性思考，這就要求同學(xué)們善于把握知識(shí)之間的聯(lián)系，從聯(lián)系中獲得新知；也要善于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，從解題經(jīng)驗(yàn)中獲得新知。許多中考試題源于教材，在教材的例習(xí)題基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展延伸，如果我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，主動(dòng)思考，一定會(huì)提升解決復(fù)雜問題的能力。