鋼桁腹式混凝土組合箱梁的撓度計(jì)算

楊霞林, 張 巖, 冀 偉

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

鋼桁腹式混凝土組合箱梁是一種新型鋼-混組合結(jié)構(gòu)(如圖1所示)，其混凝土翼板與鋼桁腹桿通過節(jié)點(diǎn)構(gòu)造連接形成共同受力體系.組合箱梁的節(jié)點(diǎn)為桁架節(jié)間的分界點(diǎn)，結(jié)構(gòu)受力時(shí)，上、下混凝土弦桿中的軸力在此產(chǎn)生突變，從而導(dǎo)致三角形鋼桁腹桿拉力與壓力交替，同時(shí)在節(jié)點(diǎn)處形成豎向剪力[1].鋼桁腹式混凝土組合箱梁由于采用了通透的腹桿構(gòu)造，與傳統(tǒng)混凝土箱梁相比，其增大梁高的同時(shí)幾乎不增加主梁自重，因而可獲得較大截面剛度并減少預(yù)應(yīng)力筋數(shù)量[2].鋼桁腹式混凝土組合箱梁作為一種極具發(fā)展?jié)摿Φ臉蛄航Y(jié)構(gòu)，已有專家學(xué)者對(duì)其展開了研究.國外學(xué)者對(duì)鋼桁腹式混凝土組合箱梁的研究主要集中在節(jié)點(diǎn)構(gòu)造[3-5]與全橋承載能力[6]兩方面；國內(nèi)學(xué)者對(duì)鋼桁腹式混凝土組合箱梁的研究主要針對(duì)其新型節(jié)點(diǎn)構(gòu)造[1-7]、抗彎抗剪性能、鋼桁腹桿內(nèi)力以及剪力滯效應(yīng)[2]等內(nèi)容.

對(duì)于鋼桁腹式混凝土組合箱梁而言，其懸臂板端部的縱向應(yīng)力小于其頂板中部的縱向應(yīng)力，這是由于組合箱梁的懸臂板在自由端不受任何約束，而頂板中部受到了約束造成的.這種約束差異使得組合箱梁在基于變分法原理的剪力滯效應(yīng)分析中，需對(duì)箱梁懸臂板的縱向位移函數(shù)進(jìn)行修正[8].鋼桁腹式混凝土組合箱梁在承受豎向荷載作用時(shí)，其鋼桁腹桿承擔(dān)了絕大部分剪力，產(chǎn)生剪切變形，其混凝土翼板的縱向應(yīng)力沿橫橋向不均勻分布，產(chǎn)生剪力滯效應(yīng)[2];而組合箱梁的剪力滯效應(yīng)及鋼桁腹桿的剪切變形降低了組合箱梁的剛度，從而引起較大的變形.本文基于變分法原理，對(duì)組合箱梁的懸臂板縱向位移函數(shù)進(jìn)行修正.綜合考慮鋼桁腹式混凝土組合箱梁的剪力滯效應(yīng)和其鋼桁腹桿的剪切變形對(duì)組合箱梁撓度變形的影響，通過相應(yīng)理論推導(dǎo)和計(jì)算得到組合箱梁的撓度計(jì)算值，所得撓度計(jì)算值與有限元值進(jìn)行對(duì)比分析，判斷對(duì)組合箱梁懸臂板縱向位移函數(shù)進(jìn)行修正能否提高鋼桁腹式混凝土組合箱梁的撓度計(jì)算精度，然后分別分析高跨比和腹桿水平傾角對(duì)組合箱梁的剪力滯效應(yīng)和鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度的影響.

1 基于變分法原理的鋼桁腹式混凝土組合箱梁的撓度計(jì)算解析法

1.1 鋼桁腹式混凝土組合箱梁的等效梁

鋼桁腹式混凝土組合箱梁的鋼桁腹桿沿縱橋方向是不連續(xù)的，直接考慮鋼桁腹桿的剪切變形具有一定難度，故本文按照剪切變形相等的條件將鋼桁腹桿換算為具有等效厚度的換算鋼腹板[9]，其換算厚度為

(1)

式中：Es為鋼材彈性模量；Gs為鋼材剪切模量；h為單根鋼桁腹桿的豎向投影長度；b為單根鋼桁腹桿的水平投影長度；d為單根鋼桁腹桿的軸向長度；Ad為鋼桁腹桿的截面積.

鋼桁腹式混凝土組合箱梁的鋼桁腹桿經(jīng)過等效換算后，其橫截面尺寸如圖2所示.圖中：bf為組合箱梁的懸臂板寬度;2b為組合箱梁的頂、底板寬度;Zu為組合箱梁上翼板上緣距其形心軸距離;Zb為組合箱梁下翼板下緣距其形心軸距離;tu1為頂板厚度;tu2為懸臂板厚度;tb為底板厚度.

1.2 鋼桁腹式混凝土組合箱梁的翼板縱向位移函數(shù)

在任意的豎向荷載作用下，鋼桁腹式混凝土組合箱梁的翼板任意位置處的縱向位移由3部分組成：

1) 由截面傾角引起的縱向位移u1(x,z)[10]

(2)

式中：hi為組合箱梁的豎向坐標(biāo)，對(duì)上翼板取-Zu，下翼板取Zb；w(x)為組合箱梁的豎向撓度；α(x)為組合箱梁截面的剪切轉(zhuǎn)角，α(x)=w′(x)-φ(x)=Q(x)/(GsAs)，其中，φ(x)為箱梁截面由彎矩引起的彎曲轉(zhuǎn)角，Q(x)為箱梁截面剪力，As為鋼桁腹桿的換算鋼腹板的有效剪切面積.

2) 由彎矩產(chǎn)生的箱梁剪力滯效應(yīng)引起的縱向位移u2(x,y,z)

文獻(xiàn)[11]從理論上證明了鋼腹板組合箱梁翼板縱向位移函數(shù)沿橫向按二次拋物線分布.參考文獻(xiàn)[8]對(duì)箱梁懸臂板位移函數(shù)的修正方法，由彎矩產(chǎn)生的箱梁剪力滯效應(yīng)引起的縱向位移如下：

u2(x,y,z)=ωζ(y,z)u(x)

(3)

ωζ(y,z)=

(4)

式中：ωζ(y,z)為剪力滯翹曲位移函數(shù)；u(x)為剪切轉(zhuǎn)角的最大差值；ψ為考慮箱梁懸臂板邊界約束影響的修正系數(shù)，文獻(xiàn)[8]中取1.4，本次取值同文獻(xiàn).

3) 由翼板附加軸力產(chǎn)生的箱梁剪力滯效應(yīng)引起的縱向位移u3(x,y)

對(duì)于梁式橋上部結(jié)構(gòu)而言，其彎曲變形產(chǎn)生的豎向撓度是橋梁總撓度的主要組成部分，剪切變形產(chǎn)生的豎向撓度視橋梁的高跨比而定，軸向變形則對(duì)橋梁的豎向撓度無貢獻(xiàn)[12].由此可知，由翼板附加軸力產(chǎn)生的箱梁剪力滯效應(yīng)不會(huì)引起組合箱梁的附加撓度.綜上所述，鋼桁腹式混凝土組合箱梁的翼板縱向位移函數(shù)為

(5)

1.3 變分法推導(dǎo)撓度計(jì)算公式

根據(jù)最小勢能原理，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的彈性體在外力作用下，在滿足邊界條件的所有位移中，存在一組位移使得整個(gè)體系的總勢能π最小，即體系的總勢能的一階變分為0.

δπ=δ(U-V)=0

(6)

體系的荷載勢能V為

(7)

體系的形變勢能U由頂板應(yīng)變能U1、懸臂板應(yīng)變能U2、底板應(yīng)變能U3和換算鋼腹板剪切應(yīng)變能U4組成，為：

U=U1+U2+U3+U4

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Ec為組合箱梁混凝土翼板的彈性模量；Gc為組合箱梁混凝土翼板的剪切模量；εx1、εx2、εx3分別為組合箱梁頂板、懸臂板以及底板的縱向正應(yīng)變；γ1、γ2、γ3分別為組合箱梁頂板、懸臂板以及底板的橫向剪應(yīng)變.

(13)

將式(7)和式(8)代入式(6)，整理可得以下微分方程和邊界條件.

微分方程：

邊界條件：

(17)

(18)

(19)

式中：

求解微分方程組可得

(21)

式中：

(22)

2 算例

2.1 簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁承受均布荷載

如圖3所示，當(dāng)跨徑為l的簡支組合箱梁上作用有滿跨均布荷載q時(shí)，其各截面的彎矩和剪力函數(shù)表達(dá)式為

將式(24)代入式(20)，并根據(jù)邊界u′(x)|x=0=0，u′(x)|x=l=0可得：

(25)

將式(23～25)代入式(21)，并根據(jù)邊界條件w(x)|x=0=0，w(x)|x=l=0可得：

(26)

式中：w1(x)為按照初等梁理論計(jì)算所得的撓度；w2(x)為組合箱梁剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度；w3(x)為換算鋼腹板剪切變形產(chǎn)生的附加撓度.

2.2 簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁承受集中荷載

如圖4所示，當(dāng)跨徑為l的簡支組合箱梁上縱向任意位置處作用有一集中荷載P時(shí)，其各截面的彎矩和剪力函數(shù)表達(dá)式為：

當(dāng)0≤x≤a時(shí)，

當(dāng)a

(29)

(30)

將式(28,30)代入式(20)，并根據(jù)邊界u′1(x)|x=0=0，u′2(x)|x=l=0及u1(x)|x=a=u2(x)|x=a=0,可得：

當(dāng)0≤x≤a時(shí)，

(31)

當(dāng)a

(32)

將式(27,32)代入式(21)，并根據(jù)邊界條件w(x)|x=0=0，[w′(x)-α(x)]|x=l/2=0可得當(dāng)0≤x≤a時(shí)，

(33)

3 鋼桁腹式混凝土組合箱梁的有限元模型

3.1 工程背景

工程背景為南京繞越公路江山橋，其上部結(jié)構(gòu)采用兩跨(35 m+35 m)等截面鋼桁腹式預(yù)應(yīng)力混凝土組合箱梁結(jié)構(gòu).主梁為單箱單室截面，翼板混凝土采用C50混凝土，彈性模量為3.45×104MPa，泊松比為0.2;鋼桁腹桿采用Q345C級(jí)鋼管，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，桁腹水平傾角為67°左右，節(jié)間距為1.95 m.現(xiàn)取其中1跨作為簡支體系進(jìn)行分析，其橫向、縱向構(gòu)造與尺寸如圖5和圖6所示.

3.2 有限元模型的建立

采用有限元軟件ANSYS建立上述等截面鋼桁腹式混凝土簡支箱梁橋的有限元模型，其中混凝土翼板采用實(shí)體單元進(jìn)行模擬，鋼桁腹桿采用梁單元進(jìn)行模擬.不考慮鋼管與混凝土的相對(duì)滑移，鋼桁腹桿與混凝土翼板的剛性連接通過建立約束方程進(jìn)行自由度耦合.鋼桁腹式混凝土組合簡支箱梁橋的邊界一端為活動(dòng)鉸支座，另一端為固定鉸支座.有限元模型如圖7所示.

4 結(jié)果分析對(duì)比

4.1 懸臂板縱向位移函數(shù)的修正對(duì)撓度理論計(jì)算公式精確度的影響

圖5所示的截面幾何特性見表1，鋼桁腹桿的換算鋼腹板厚度見表2.

表1 截面幾何特性Tab.1 Geometric property of section

表2 換算鋼腹板的厚度及參數(shù)Tab.2 Thickness and parameters of transformational steel web

利用所得公式計(jì)算前述簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁經(jīng)過修正的撓度理論值，再令相關(guān)公式中的ψ等于1，得到未經(jīng)修正的撓度理論值.所得撓度理論值與有限元值對(duì)比，判斷本文對(duì)組合箱梁懸臂板縱向位移函數(shù)進(jìn)行修正能否提高鋼桁腹式混凝土組合箱梁的撓度計(jì)算精度.

有限元模擬梁的加載工況[13]為：1) 全橋均布荷載加載分為q、2q、3q和4q(q=10.5 kN/m)4個(gè)等級(jí)進(jìn)行；2) 跨中集中荷載加載分為P、2P、3P和4P(P=300 kN)4個(gè)等級(jí)進(jìn)行.鋼桁腹式混凝土組合箱梁1/4跨和跨中處的撓度理論值與有限元值之間的關(guān)系見圖8和圖9.

根據(jù)圖8和圖9可知，對(duì)鋼桁腹式混凝土組合箱梁懸臂板縱向位移函數(shù)進(jìn)行修正后得到的撓度理論值更加接近有限元值，修正后的撓度理論值與有限元值的相對(duì)誤差基本控制在7%以內(nèi)，其計(jì)算精度較未經(jīng)修正的撓度理論值提高了2%.故本文后續(xù)研究選用修正后的撓度理論值.

4.2 高跨比對(duì)剪力滯效應(yīng)和鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度的影響

一般認(rèn)為，梁式橋主要以受彎為主，其所受的剪力相對(duì)較少，剪切變形占彎曲變形的比例視高跨比而定，工程上常將1/5作為是否考慮剪切變形影響的高跨比門檻值[12].

為研究高跨比對(duì)鋼桁腹式混凝土組合箱梁的剪力滯效應(yīng)和鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度的影響，在保證其他參數(shù)不變的基礎(chǔ)上，僅改變組合箱梁的計(jì)算跨徑l，l分別取7.7、11.6、15.5、19.4、23.3、27.2、31.1和35.0 m(高跨比變化范圍為0.066～0.299)，取組合箱梁跨中位置處的撓度作為研究對(duì)象進(jìn)行分析.下面兩式分別為組合箱梁鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率計(jì)算公式和組合箱梁剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率計(jì)算公式.

式中：η1為組合箱梁鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率；η2為組合箱梁剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率；wf(x)為組合箱梁總撓度的有限元值.

高跨比與η1和η2的關(guān)系曲線如圖10所示.

根據(jù)圖10可知，η1和η2隨著鋼桁腹式混凝土組合箱梁高跨比減小而不斷減小.當(dāng)組合箱梁的計(jì)算跨徑l取11.6 m時(shí)，其高跨比接近1/5，此時(shí)組合箱梁在全橋均布荷載作用下的η1值取29.86%，η2值取15.96%;組合箱梁在跨中集中荷載作用下的η1值取34.18%，η2值取17.19%.當(dāng)組合箱梁的跨徑l取35.0 m時(shí)，其高跨比接近1/16，此時(shí)組合箱梁在全橋均布荷載作用下的η1值取5.79%，η2值取2.96%;組合箱梁在跨中集中荷載作用下的η1值取7.47%，η2值取3.56%.綜上，當(dāng)組合箱梁的高跨比接近1/16時(shí)，鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度占總撓度的比例才接近5%(此時(shí)剪切變形引起的附加撓度在工程上可忽略不計(jì))，而簡支梁橋的合理高跨比處于1/16～1/8之間，故鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度是不可忽略的.組合箱梁剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度占總撓度的比例只有在其高跨比接近1/16時(shí)小于5%，故由剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度也是不可忽略的.

4.3 腹桿水平傾角對(duì)剪力滯效應(yīng)和鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度的影響

鋼桁腹式混凝土組合箱梁的腹桿水平夾角θ為腹桿與縱橋向x軸間所夾的銳角.在保證其他參數(shù)不變的基礎(chǔ)上，僅改變鋼桁腹式混凝土組合箱梁的鋼桁腹桿水平傾角θ，θ分別取60.10°、64.34°、67.00°、69.24°和71.07°.組合箱梁的鋼桁腹桿水平傾角θ、鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率η1、剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率η2和參數(shù)μ之間的關(guān)系如圖11所示.

根據(jù)圖11可知，隨著鋼桁腹式混凝土組合箱梁的鋼桁腹桿水平傾角的增加，μ值先減小后增加，η1值除在θ為67.00°處略大于θ為64.34°處的數(shù)值外，其變化趨勢與μ值的變化趨勢基本相同，而η2值基本無變化.考慮到撓度理論計(jì)算公式具有一定誤差，可得到以下結(jié)論：組合箱梁鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率與μ值隨著鋼桁腹桿水平傾角的增加具有大致相同的變化趨勢，而組合箱梁剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率隨著鋼桁腹桿水平傾角的增加基本保持不變.所得結(jié)論證明了前文中“鋼桁腹桿水平傾角的變化會(huì)對(duì)鋼桁腹桿的剪切變形產(chǎn)生影響”的推斷.

5 結(jié)論

1) 在利用能量變分法原理推導(dǎo)鋼桁腹式混凝土組合箱梁撓度計(jì)算公式時(shí)，按照剪切變形相等的條件將鋼桁腹桿換算為具有等效厚度的換算鋼腹板，并對(duì)組合箱梁的懸臂板縱向位移函數(shù)進(jìn)行修正可使計(jì)算結(jié)果具有較高精度.

2) 簡支梁橋的合理高跨比處于1/16～1/8之間，對(duì)于高跨比處于此范圍間的簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁而言，其鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度和剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度占總撓度的比例基本都超過了5%，在工程上不可忽略不計(jì)，即鋼桁腹桿的剪切變形和翼板的剪力滯效應(yīng)產(chǎn)生的附加撓度在組合箱梁的總撓度計(jì)算中不可忽略.

3) 對(duì)于簡支鋼桁腹式混凝土組合箱梁而言，隨著鋼桁腹桿水平傾角的增加，其鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率與換算鋼腹板厚度計(jì)算公式中的μ值的變化趨勢大致相同，其剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度對(duì)其總撓度的貢獻(xiàn)率基本保持不變，即鋼桁腹桿水平傾角的變化僅會(huì)對(duì)鋼桁腹桿剪切變形引起的附加撓度產(chǎn)生影響.