具有變時(shí)滯的隨機(jī)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步

蒲 浩, 黃建文, 秦 進(jìn), 王正偉, 王 杏

(1. 遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 貴州 遵義 563006; 2. 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400715)

Chua等[1]根據(jù)電路變量的對稱性與邏輯性,從理論上提出了憶阻器的概念,但是在之后的幾年沒有受到研究者的廣泛關(guān)注,直到2008年惠普實(shí)驗(yàn)室制造出憶阻器后[2],由于其具有許多優(yōu)良的特性,比如有非易失性、低功耗、多重記憶及納米尺度等特點(diǎn),使得憶阻器在非易失性存儲器[3]、安全通信[4]、模擬電路[5]、圖像處理[6]、密碼學(xué)[7]等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用前景. 為此,引起了研究者對憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的廣泛研究[8-9].

近年來,尤其對憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制同步進(jìn)行了廣泛的研究,按照控制同步時(shí)間t,主要分為無限時(shí)間控制同步[10-11]和有限時(shí)間控制同步[12-13].

Wang等[11]通過李雅普諾夫函數(shù)法和隨機(jī)微分包含理論研究了具有隨機(jī)擾動和變時(shí)滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步;Abdurahman等[13]基于恰當(dāng)?shù)耐獠枯斎肟刂破骱陀袝r(shí)間內(nèi)的穩(wěn)定性理論,研究了具有變時(shí)滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)的同步問題.然而,在實(shí)際應(yīng)用和科研中,憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在當(dāng)時(shí)間t→+∞時(shí)才實(shí)現(xiàn)控制同步,顯然不符合高效的要求.為此,Ryan[14]提出了有限時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)定性理論,但是,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)的控制同步中,有限時(shí)間T依賴于驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的初值,有限時(shí)間T是驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)初值的函數(shù); 此外在一些實(shí)際問題中驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的初值難以確定或者無法確定,導(dǎo)致有限時(shí)間T無法確定.為了解決此問題,在2012年P(guān)olyakov提出了獨(dú)立于驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)初值在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定的理論,即固定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定的理論[15].Chen等[16]、Zhen等[17]、Wei等[18]對憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步問題進(jìn)行了研究.Chen等[16]通過固定時(shí)間穩(wěn)定性理論研究了慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步;Zhen等[17]研究了變時(shí)滯憶阻模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步問題;Wei等[18]研究了變時(shí)滯慣性憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間和固定時(shí)間內(nèi)的同步問題.然而,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在控制同步的過程中受到噪聲和時(shí)滯的影響,為此需要考慮隨機(jī)擾動和時(shí)滯對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制同步的影響.但是,對具有隨機(jī)擾動和混合變時(shí)滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步的研究較少.

受此啟發(fā),本文通過構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)耐獠枯斎肟刂破?基于固定時(shí)間穩(wěn)定性理論,研究具有混合變時(shí)滯的隨機(jī)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步.

1 模型和預(yù)備知識

考慮如下具有混合變時(shí)滯的隨機(jī)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

(1)

(2)

系統(tǒng) (1)的初值條件為

xi(s)=φi(s)s∈[t0-τ,t0]，t0≥0，i∈I

為了得到本文的結(jié)論,對于系統(tǒng)(1),假設(shè)

(H1) 對任意的xj,yj∈R,j∈I,存在正常數(shù)Mj>0,Lj>0使得

|fj(xj)|≤Mj
|fj(yj)-fj(xj)|≤Lj|yj-xj|

成立.

且

βij(t,0,0)=0

把系統(tǒng) (1) 作為主驅(qū)動系統(tǒng),引入如下的響應(yīng)系統(tǒng):

dyi(t)=[-di(yi(t))yi(t)+

Ii+ui(t)]dt+

i=1,2,…,n

(3)

式中

(4)

響應(yīng)系統(tǒng) (3) 的初值條件是yi(s)=φi(s),s∈[t0-τ,t0],i∈I,其中φ(s)=(φ1(s),φ2(s),…,φn(s))T∈C([t0-τ,t0],Rn).定義ei(t)=yi(t)-xi(t).

記

顯然在驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)中等式的右端是不連續(xù)的,為此本文在Filippove意義下研究其解在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步問題.由集值映射和隨機(jī)微分包含理論,驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的解滿足:

(5)

和

dyi(t)∈{-co[di(yi(t))]yi(t)+

i=1,2,…,n

(6)

式中

式(5)和式(6)也可以等價(jià)地表示為

i=1,2,…,n

(11)

和

(12)

式中

本文的主要目的是,通過構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)耐獠靠刂戚斎肟刂破鱱i(t),使得驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)在獨(dú)立于其初值的有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)控制同步,其中外部輸入控制器:

其中：0<λ<1,μ>1,ν>p>1,αi>0,ωi>0,ki>0.

其中：εlij,?lij,γlij,σlij,ηlij是非負(fù)實(shí)數(shù).滿足：

根據(jù)式(11,12),可以得到如下的誤差系統(tǒng)：

i=1,2,…,n

(13)

定義1若存在一個(gè)獨(dú)立于驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的初值φ(s),φ(s),s∈[-τ,0]的有限時(shí)間T,使得

且當(dāng)t≥T時(shí)‖y(t)-x(t)‖=0,則稱驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的解x(t)和y(t)在固定時(shí)間T內(nèi)同步.

2 輔助引理

為了證明結(jié)論的需要,引入下列引理:

引理1[18]如果h1,h2,…，hn是正實(shí)數(shù)且0<θ

引理2[19]設(shè)V(.):→R+∪{0}是一個(gè)連續(xù)徑向無界函數(shù),若滿足條件:

1)V(x)=0?x=0;

2) 誤差系統(tǒng)(13)的任意解e(t),當(dāng)存在常數(shù)α>0,β>0,0<ν<1,q>1時(shí)使得

則V(t)=0,t≥T(x0),其中

引理3對于任意的i∈I,則

成立.

證明下面分4種情況對引理3進(jìn)行證明:

情形Ⅰ:如果 |xi(t)|≤Ti且|yi(t)|≤Ti,則

情形Ⅱ:如果|yi(t)|>Ti且|xi(t)|>Ti,則

情形Ⅲ:如果 |xi(t)|≤Ti和 |yi(t)|>Ti,則

情形Ⅳ:如果 |xi(t)|>Ti且 |yi(t)|≤Ti,則有

綜上4種情形：

成立.

3 主要結(jié)果

定理1如果(H1),(H2) 成立,且ξi-ki≤0,則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)在恰當(dāng)?shù)耐獠靠刂戚斎雞i(t)下,在固定T內(nèi)是同步的.

證明構(gòu)造如下形式的 Lyapunov 函數(shù):

由伊藤公式,沿著誤差系統(tǒng)(13)關(guān)于t計(jì)算V((e(t)))的Dini右上導(dǎo)數(shù),可得到

(14)

根據(jù)假設(shè)(H1)及式(7～10)可知:

(15)

(16)

(17)

成立.

結(jié)合式(15～17),由假設(shè)(H2)和引理3,式(14)變?yōu)?/p>

πi|ej(t-ρ(t))|p+(αi|ei(t)|λ+

ωi|ei(t)|ν)))+p(ei(t))p-1sign(ei(t))×

(18)

結(jié)合式(18～22)可得到

(23)

由引理1可知:

(24)

(25)

結(jié)合式(24,25),對式(23)兩邊取數(shù)學(xué)期望,可知:

(26)

式中:α=mini∈I{αi};ω=mini∈I{ωi}.

注1Ding等[20]研究了一類多種變時(shí)滯的隨機(jī)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)時(shí)間t→+∞時(shí)實(shí)現(xiàn)同步的問題;Zhang等[21]通過分布脈沖控制的方法研究了隨機(jī)時(shí)滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題.而本文研究的是隨機(jī)憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)控制同步,且有限時(shí)間T獨(dú)立于系統(tǒng)的初值,即本文理論更符合實(shí)際應(yīng)用的需要.

注2由定理1的條件ξi-ki≤0可知,混合變時(shí)滯和隨機(jī)擾動對憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在固定時(shí)間內(nèi)的控制同步有抑制作用.

4 推論

當(dāng)p=2時(shí),構(gòu)造如下的與轉(zhuǎn)換跳躍Ti無關(guān)的外部輸入反饋控制器

推論1如果(H1)，(H2)成立,在外部輸入Si(t)控制下,則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)在固定時(shí)間T內(nèi)是同步的.

證明過程和定理1的類似,不再重復(fù).

注3Han等[22]研究了具有混合變時(shí)滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步,文中所得的同步結(jié)論中沒有和轉(zhuǎn)換跳躍Ti建立關(guān)系,故本文結(jié)論更加符合實(shí)際問題及應(yīng)用.Abdurahman等[13]，Ryan[14]研究了憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在有限時(shí)間內(nèi)的控制同步問題,沒有考慮噪聲強(qiáng)度對系統(tǒng)控制同步的影響.本文中當(dāng)噪聲強(qiáng)度βij(t,0,0)=0時(shí)且ui(t)中ωi=0時(shí),構(gòu)造如下的外部輸入控制器:

其中:0<λ<1,mi>0,

注4推論1中的有限時(shí)間T是依賴于驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的初值條件的函數(shù),當(dāng)初值不同時(shí),控制同步的有限時(shí)間會不同.而本文研究的是控制同步時(shí)間獨(dú)立于驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的初值.

致謝：本文得到遵義師范學(xué)院2017年學(xué)術(shù)新苗培養(yǎng)及創(chuàng)新探索培育項(xiàng)目(黔科合平臺人[2017年]5727-24號)的資助，在此表示感謝.