基于重力勢(shì)能的模塊化機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)*

趙聰慧,趙長(zhǎng)海,朱明超

(1.中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院，北京 100049 )

0 前 言

目前，機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)線，數(shù)控加工等領(lǐng)域。由于傳統(tǒng)機(jī)械臂構(gòu)型不可改變，在面對(duì)多變化、小批量的生產(chǎn)需求時(shí)，存在設(shè)計(jì)周期長(zhǎng)、生產(chǎn)成本高的問題。為此，模塊化機(jī)械臂以其構(gòu)型可重構(gòu)、模塊可替換等特點(diǎn)，已經(jīng)成為替代傳統(tǒng)機(jī)械臂的首選方案[1-3]。目前，模塊化機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)、林業(yè)建筑、農(nóng)業(yè)采摘、航天作業(yè)等各個(gè)領(lǐng)域[4-5]。

CHEN、YANG[6]在1996年提出了一種新型的模塊化可重構(gòu)機(jī)器人系統(tǒng)，其特點(diǎn)是將模塊數(shù)量作為設(shè)計(jì)變量，用盡量少的模塊滿足任務(wù)要求。該系統(tǒng)基于搭積木原理，所有的模塊被設(shè)計(jì)為立方體的形式，可以在立方體不同的方向上進(jìn)行連接。這種類型的機(jī)械臂模塊具有很好的通用性，但在面向具體任務(wù)進(jìn)行機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)專用性不強(qiáng)，且構(gòu)型設(shè)計(jì)過程中構(gòu)型的表示方式較為復(fù)雜。

近年來，模塊化機(jī)械臂的研究方向多集中在模塊設(shè)計(jì)、構(gòu)型設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型、控制系統(tǒng)等幾個(gè)方面[7]。模塊化機(jī)械臂的設(shè)計(jì)都是面向給定任務(wù)的，設(shè)計(jì)的參數(shù)是機(jī)械臂的完整構(gòu)型[8]，可以用連桿裝配矩陣、有根樹狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖[9-10]、Denavit-Hartenberg參數(shù)(DH矩陣)[11]等方式表示。在對(duì)模塊化機(jī)械臂構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，常用遺傳算法、模擬退火法、粒子群算法和枚舉法等優(yōu)化方法對(duì)構(gòu)型進(jìn)行尋優(yōu)和選取。同時(shí)，為保證機(jī)械臂的綜合性能，CHOI[12]提出了采用動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)相結(jié)合的多目標(biāo)加權(quán)融合方法，作為機(jī)械臂構(gòu)型優(yōu)劣的判斷標(biāo)準(zhǔn)。但對(duì)模塊化機(jī)械臂而言，由于構(gòu)型是根據(jù)給定模塊靈活組合而成的，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型很難獲得[13]，這就使得針對(duì)動(dòng)力學(xué)性能的構(gòu)型評(píng)價(jià)指標(biāo)難以獲取。

為了提升構(gòu)型設(shè)計(jì)效率，筆者提出一種基于重力勢(shì)能的多目標(biāo)機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)方法，在保證機(jī)械臂靈活性的同時(shí)，能夠減小自重對(duì)機(jī)械臂輸出精度的影響。

1 機(jī)械臂模塊庫(kù)

1.1 模塊的種類劃分

為采用模塊化機(jī)械臂設(shè)計(jì)方案，首先須建立模塊化機(jī)械臂模塊庫(kù)，主要包括關(guān)節(jié)模塊和連桿模塊。

(1)關(guān)節(jié)模塊。作為機(jī)械臂最基礎(chǔ)的模塊，關(guān)節(jié)模塊為機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)提供驅(qū)動(dòng)力，其簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 關(guān)節(jié)模塊

筆者選擇兩種轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)模塊，分別為水平型和豎直型，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍為±120°，質(zhì)量為4.8 kg。

(2)連桿模塊。連桿模塊連接相鄰的關(guān)節(jié)模塊，用來固定關(guān)節(jié)的相對(duì)位置。當(dāng)關(guān)節(jié)模塊種類較少時(shí)，可以通過選用軸線方向不同的連桿模塊來改變關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向[14-16]，從而增加機(jī)械臂構(gòu)型的種類。

為了保證關(guān)節(jié)之間的每種連接都能實(shí)現(xiàn)，連桿模塊如圖2所示。

圖2 連桿模塊

筆者選取的連桿模塊有兩種類型，每種連桿模塊有4種不同的長(zhǎng)度。圓柱型連桿長(zhǎng)度為0.06 m、0.11 m、0.16 m和0.21 m，拐角型連桿長(zhǎng)度為0.09 m、0.17 m、0.25 m和0.33 m。模塊庫(kù)中所有模塊的接口都是相同的，能夠滿足裝配關(guān)系。

1.2 構(gòu)型的數(shù)學(xué)表達(dá)

筆者將機(jī)械臂坐標(biāo)系建立在機(jī)械臂的每個(gè)關(guān)節(jié)處，機(jī)械臂構(gòu)型可以由改進(jìn)DH矩陣表示；為了便于構(gòu)型的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)模塊進(jìn)行編碼，其示意圖如圖3所示。

圖3 編碼示意圖

n自由度的機(jī)械臂構(gòu)型可以由6n位二進(jìn)制字符串表示，字符串分為n組，每組有6位二進(jìn)制字符，每組字符串的第1位表示關(guān)節(jié)模塊的類型，包括水平型(J1)和豎直型(J2)；第2和第3位表示機(jī)械臂當(dāng)前關(guān)節(jié)與前一個(gè)關(guān)節(jié)的相對(duì)位置關(guān)系(第1個(gè)關(guān)節(jié)的2、3位表示機(jī)械臂第一關(guān)節(jié)與大地坐標(biāo)系z(mì)軸的關(guān)系)，分為關(guān)節(jié)軸線平行(0°、180°)和關(guān)節(jié)軸線垂直(-90°、90°)兩種；第4位表示連接當(dāng)前關(guān)節(jié)與下一個(gè)關(guān)節(jié)的連桿類型，包括圓柱型(L0)和拐角型(L1)；第5和第6位表示連桿的長(zhǎng)度(L01～L04,L11～L14)。

2 機(jī)械臂構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 構(gòu)型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

2.1.1 評(píng)價(jià)函數(shù)

在對(duì)模塊化機(jī)械臂進(jìn)行構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)，需要設(shè)定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)用以判斷機(jī)械臂的優(yōu)劣。模塊化機(jī)械臂的構(gòu)型設(shè)計(jì)都是面向任務(wù)的，對(duì)構(gòu)型優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也要根據(jù)任務(wù)設(shè)定。一般任務(wù)要求下的構(gòu)型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有：

(1)可操作度。

可操作度是評(píng)價(jià)機(jī)械臂靈活性的常用指標(biāo)。為保證機(jī)械臂靈活性，通過機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)控制機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)時(shí)，須使機(jī)械臂在末端空間每一個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)能力是相同的，即機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間速度轉(zhuǎn)換為末端速度時(shí)，末端各個(gè)方向上速度的轉(zhuǎn)換能力相同。

機(jī)械臂的運(yùn)行學(xué)特征方程可以表示為：

(1)

一般情況下，選用雅克比矩陣的條件數(shù)表示機(jī)械臂的可操作度。對(duì)于機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)傳遞(1)來說，可操作度的值越大，機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間的靈活性越好；但當(dāng)可操作度趨于無窮大時(shí)，即：

(2)

此時(shí)，機(jī)械臂末端速度的各向同性變差，機(jī)械臂末端某些方向的速度將不受關(guān)節(jié)空間速度的影響，此時(shí)的機(jī)械臂處于奇異位姿。

機(jī)械臂可操作度作為評(píng)價(jià)函數(shù)可以表示為：

(3)

E1≤ε

(4)

式中：n—給定任務(wù)點(diǎn)數(shù)；Ji—機(jī)械臂在第i個(gè)任務(wù)點(diǎn)處的雅克比矩陣；cond(J(q)i)—機(jī)械臂在第i個(gè)任務(wù)點(diǎn)處雅克比矩陣的條件數(shù)；ε—雅克比矩陣允許的最大奇異值，一般取ε=100。

(2)在任務(wù)點(diǎn)處所需克服重力。

對(duì)于處于完整約束的機(jī)械臂系統(tǒng)，可以用拉格朗日方程來描述該系統(tǒng)隨時(shí)間的變化。拉格朗日函數(shù)定義為：

L=K-P

(5)

式中：L—拉格朗日函數(shù)；K—系統(tǒng)總動(dòng)能；P—系統(tǒng)總勢(shì)能。

系統(tǒng)的拉格朗日-歐拉方程可以表示為：

(6)

將拉格朗日-歐拉方程展開可以得到：

(7)

式中：D—機(jī)械臂系統(tǒng)的能量損耗。

在不考慮能耗時(shí)，拉格朗日-歐拉方程可以表示為：

(8)

對(duì)于工業(yè)機(jī)械臂而言，其關(guān)節(jié)變量可以通過電位計(jì)、軸角編碼器等傳感器測(cè)量得到，所以工業(yè)機(jī)械臂的廣義坐標(biāo)可以由機(jī)械臂的關(guān)節(jié)變量來表示。對(duì)于一個(gè)n自由度機(jī)械臂系統(tǒng)，其機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(9)

其動(dòng)能可以表示為：

(10)

式中：D(q)—機(jī)械臂慣性矩陣；vi—第i個(gè)關(guān)節(jié)質(zhì)心的速度。

系統(tǒng)勢(shì)能可以表示為：

(11)

式中：hi—第i個(gè)關(guān)節(jié)質(zhì)心到參考平面的高度。

將式(5～11)進(jìn)行整理，可以得到如下表達(dá)式：

(12)

由力矩方程可知：影響力矩的因素，除了機(jī)械臂角速度和角加速度以外，主要是機(jī)械臂自身的構(gòu)型參數(shù)。對(duì)于工業(yè)機(jī)械臂來說，如果在其運(yùn)動(dòng)過程中所需克服的重力過大，不僅會(huì)增加機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)能耗，還會(huì)降低機(jī)械臂的輸出精度。

筆者對(duì)機(jī)械臂力矩重力項(xiàng)進(jìn)行優(yōu)化，選用機(jī)械臂在任務(wù)點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)所需克服重力作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于給定空間任務(wù)的機(jī)械臂，在執(zhí)行任務(wù)過程中，機(jī)械臂滿足軌跡規(guī)劃終端條件，即在任務(wù)點(diǎn)處有：

(13)

(14)

此時(shí)，機(jī)械臂力矩全部用來克服自身重力，機(jī)械臂傳遞函數(shù)為：

T1=A1

(15)

Ti=Ti-1A2

(16)

式中：Ai—機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)的連桿變換矩陣；Ti—機(jī)械臂第i個(gè)連桿末端位置相對(duì)于世界坐標(biāo)系的變換矩陣。

以機(jī)械臂在任務(wù)點(diǎn)處所需克服的重力作為評(píng)價(jià)函數(shù)，可以表示為：

(17)

式中：[Ti]34—機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)的高度位置坐標(biāo)(下標(biāo)34表示傳遞函數(shù)矩陣第3行第4列的元素)；mi—機(jī)械臂第i個(gè)連桿的質(zhì)量；—機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)的質(zhì)量。

根據(jù)可重構(gòu)機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)特點(diǎn)，多目標(biāo)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)函數(shù)定義為，可操作度和目標(biāo)點(diǎn)處所需克服重力加權(quán)求差，即：

E=α1E1-α2E2

(18)

式中：α1，α2—評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重參數(shù)。

2.1.2 約束條件

(1)在機(jī)械臂面向任務(wù)進(jìn)行構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)，為了保證機(jī)械臂執(zhí)行器能夠順利到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，需要考慮機(jī)械臂末端執(zhí)行器對(duì)任務(wù)點(diǎn)的可達(dá)性，即機(jī)械臂的誤差值需小于允許的最大誤差，即：

max(Δi+δi)≤σ

(19)

式中：Δi，δi—第i個(gè)目標(biāo)點(diǎn)處的位置誤差和姿態(tài)誤差；σ—機(jī)械臂所允許的最大誤差值。

(2)為了使機(jī)械臂能夠在完成任務(wù)的過程中避開機(jī)械奇異點(diǎn)，對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮機(jī)械臂每個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍，機(jī)械臂的轉(zhuǎn)角需滿足如下約束：

ai≤qi≤bi

(20)

式中：qi—機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角；ai，bi—第i個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍。

2.2 機(jī)械臂構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

在進(jìn)行機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)，首先要根據(jù)任務(wù)特點(diǎn)選擇適應(yīng)度值評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，適應(yīng)度評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn)決定了機(jī)械臂對(duì)給定任務(wù)的適應(yīng)性。

適應(yīng)度評(píng)估流程如圖4所示。

圖4 適應(yīng)度評(píng)估流程

在進(jìn)行適應(yīng)度值計(jì)算之前，須先驗(yàn)證該構(gòu)型是否滿足約束條件。對(duì)滿足約束條件的構(gòu)型，用式(3，7，18)計(jì)算機(jī)械臂的適應(yīng)度值。

對(duì)于模塊種類少且所需自由度少的機(jī)械臂，可以用枚舉法列舉出所有構(gòu)型并逐一分析；但當(dāng)模塊變量較多或自由度需求較大時(shí)，需要借助優(yōu)化算法進(jìn)行構(gòu)型設(shè)計(jì)。

常用的優(yōu)化算法有模擬退火法、粒子群算法和遺傳算法。其中：(1)模擬退火法。初始溫度設(shè)置較為復(fù)雜，設(shè)置溫度過高會(huì)使計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)，設(shè)置溫度過低搜索易陷入局部最優(yōu)；(2)粒子群算法。主要應(yīng)用在連續(xù)問題中，應(yīng)用于機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)容易陷入局部最優(yōu)；(3)遺傳算法。是一種全局算法，在構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)能夠得到一組最優(yōu)解的集合，在得到全局最優(yōu)解的同時(shí)增加構(gòu)型的選擇性。

所以筆者采用遺傳算法對(duì)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，其構(gòu)型設(shè)計(jì)流程如圖5所示。

圖5 構(gòu)型設(shè)計(jì)流程

在遺傳算法中，機(jī)械臂構(gòu)型的初始種群是根據(jù)編碼形式隨機(jī)生成的，通過交叉變異運(yùn)算和最優(yōu)值保存策略，可使設(shè)計(jì)結(jié)果具有全局性和收斂性。

3 機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)實(shí)例

3.1 設(shè)計(jì)目標(biāo)

給定一個(gè)噴涂路徑，按照路徑順序選取10個(gè)空間點(diǎn)作為目標(biāo)任務(wù)點(diǎn)，如表1所示。

表1 目標(biāo)任務(wù)點(diǎn)

設(shè)計(jì)一個(gè)噴涂機(jī)械臂，要求設(shè)計(jì)得到的機(jī)械臂末端能夠依次經(jīng)過給定任務(wù)點(diǎn)。對(duì)于給定的空間噴涂任務(wù)來說，只要設(shè)計(jì)得到的機(jī)械臂末端能夠到達(dá)目標(biāo)位置，對(duì)于機(jī)械臂末端姿態(tài)沒有要求，所以可以確定設(shè)計(jì)機(jī)械臂為三自由度。

要使設(shè)計(jì)的機(jī)械臂更好地滿足任務(wù)要求，還需要在上述基礎(chǔ)上，考慮機(jī)械臂在任務(wù)點(diǎn)處的可操作度和所需克服的重力，采用運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的多目標(biāo)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，選用遺傳算法對(duì)機(jī)械臂構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.2 設(shè)計(jì)結(jié)果

筆者設(shè)定遺傳算法中每代機(jī)械臂種群大小為50，優(yōu)化代數(shù)為100，交叉概率為0.2，變異概率為0.05，適應(yīng)度權(quán)重參數(shù)為α1=0.5，α2=0.5。優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

機(jī)械臂DH參數(shù)如表2所示。

表2 機(jī)械臂DH參數(shù)

θi—機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量

機(jī)械臂模型示意圖如圖6所示。

圖6 機(jī)械臂模型示意圖

該機(jī)械臂由3個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成，機(jī)械臂第一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系重合，第三連桿末端連接執(zhí)行器模塊。

此時(shí)得到的機(jī)械臂構(gòu)型滿足可達(dá)性和關(guān)節(jié)角度約束，可以滿足給定任務(wù)要求。

其適應(yīng)度變化曲線如圖7所示。

圖7 適應(yīng)度變化曲線

由圖7可以看出：在第10代左右出現(xiàn)了能夠滿足任務(wù)要求的機(jī)械臂構(gòu)型；在第28代出現(xiàn)了滿足任務(wù)要求的最優(yōu)構(gòu)型；此后適應(yīng)度值最大的機(jī)械臂構(gòu)型由最優(yōu)值保留策略保存下來；滿足任務(wù)的最優(yōu)構(gòu)型的適應(yīng)度為28.963 8。

綜上所述，綜合考慮機(jī)械臂靈活性和所需克服重力，在滿足任務(wù)要求的前提下最后得到的構(gòu)型擁有最優(yōu)性能，既保證了機(jī)械臂的靈活性，又使得機(jī)械臂在完成任務(wù)過程中所需克服的重力最小。

4 結(jié)束語(yǔ)

面對(duì)模塊化機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)減小自重的需求，筆者提出了一種基于重力勢(shì)能的多目標(biāo)機(jī)械臂構(gòu)型設(shè)計(jì)方法，采用遺傳算法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過焊接機(jī)械臂實(shí)例驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的可行性；為了保證機(jī)械臂在減小自重的同時(shí)擁有更好的靈活性，選用機(jī)械臂在任務(wù)點(diǎn)處的可操作度和機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中所需要克服的重力，作為綜合定量指標(biāo)；為了保證優(yōu)化結(jié)果的全局性，選用遺傳算法對(duì)機(jī)械臂構(gòu)型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

仿真結(jié)果表明：滿足任務(wù)的最優(yōu)構(gòu)型適應(yīng)度為28.963 8，說明經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)所得到的機(jī)械臂，在滿足任務(wù)要求的基礎(chǔ)上，能夠擁有更好的靈活性和更小的自重。