基于Ritz級數(shù)法滾珠絲杠的混合模型研究*

王 娜，姜寶華*，宗成國

(1.青島黃海學(xué)院 智能制造學(xué)院，山東 青島 266427；2.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590)

0 引 言

目前，滾珠絲杠廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)中。然而當(dāng)系統(tǒng)加速度較高時(shí)，進(jìn)給系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，影響機(jī)床的加工質(zhì)量及精度。因此，研究絲桿傳動(dòng)系統(tǒng)的建模，并對系統(tǒng)提出有效的補(bǔ)償尤為重要。

常用建模方法中，集中參數(shù)法相對簡單，但不能完整表達(dá)系統(tǒng)振動(dòng)特性；有限元法較為全面但模型復(fù)雜，所含矩陣計(jì)算量大。

近年來，混合模型法的研究受到了業(yè)界的廣泛關(guān)注。OKWUDIRE等[1]使用混合模型方法，得出了包含軸向、扭轉(zhuǎn)及彎曲向的絲桿剛度矩陣。VICENTE等[2]通過Ritz級數(shù)法，對絲桿傳動(dòng)系統(tǒng)的軸向、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行了建模。PISLARU等[3]通過混合模型，并考慮滾珠絲杠的分布力、阻尼以及摩擦和間隙等特性，通過仿真得到了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果大體一致的結(jié)果。張會(huì)端等[4]將系統(tǒng)中的絲桿簡化為旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁，全面地考慮了移動(dòng)力、預(yù)拉伸力及陀螺效應(yīng)等因素對滾珠絲杠振動(dòng)模態(tài)的影響，設(shè)定絲杠兩端均為為彈性支撐，推導(dǎo)出了絲桿的振動(dòng)方程，在改變系統(tǒng)參數(shù)的情況下對絲桿彎曲振動(dòng)模態(tài)的變化進(jìn)行了分析，但缺乏對絲桿的軸向及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)的研究，并且沒有進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。目前，該領(lǐng)域的研究大多忽略絲杠的彎曲振動(dòng)，并且關(guān)于工作臺(tái)和絲桿的參數(shù)變化對絲桿振動(dòng)影響的理論和實(shí)驗(yàn)研究很少。

筆者提出一種高速滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的混合模型方法，通過建立連續(xù)體模型來描述該系統(tǒng)的振動(dòng)特性，以及絲桿在承受移動(dòng)載荷時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性。

1 滾珠絲杠系統(tǒng)力學(xué)分析及建模

滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖

圖1中，該系統(tǒng)采用了單邊支撐法，伺服電機(jī)與滾珠絲杠由聯(lián)軸器連接，使得電機(jī)可以帶動(dòng)絲桿旋轉(zhuǎn)，絲杠兩端分別由兩個(gè)不同軸承與機(jī)架固定，近電機(jī)端為角接觸軸承，另一端為深溝球軸承。該方法可避免雙邊支撐結(jié)構(gòu)因熱變形從而產(chǎn)生的應(yīng)力，因而被廣泛應(yīng)用于精密絲桿的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中。絲桿的進(jìn)給系統(tǒng)3種振動(dòng)模態(tài)分別為：軸向、扭轉(zhuǎn)和彎曲。

為了滿足絲杠伺服系統(tǒng)在高速進(jìn)給狀態(tài)下的高精度要求，電機(jī)處裝有旋轉(zhuǎn)編碼器用于反饋旋轉(zhuǎn)位置，光柵尺用于反饋工作臺(tái)的位置；低階，特別是一階的軸向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)對于控制器的穩(wěn)定性有很大影響。

滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的受力分析模型如圖2所示。

圖2 滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)受力分析模型

圖2中，絲杠部分簡化為Timoshenko梁，其他構(gòu)件用剛度來表示，除絲桿的軸向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)之外，還考慮了彎曲振動(dòng)。

模型參數(shù)含義簡介如表1所示。

表1 模型參數(shù)含義簡介

1.1 建模

Ritz級數(shù)法是通過級數(shù)的展開式來描述位移x的依賴性，級數(shù)的系數(shù)為時(shí)間t的函數(shù)，t未知。以功率平衡為基礎(chǔ)對系統(tǒng)進(jìn)行理論建模，可導(dǎo)出描述質(zhì)量、剛度、阻尼的矩陣和廣義力。

公式參數(shù)含義簡介如表2所示。

表2 公式參數(shù)含義簡介

1.1.1 軸扭耦合振動(dòng)模型

使用Ritz級數(shù)描述絲杠的軸向位移和扭轉(zhuǎn)位移如下：

(1)

兩個(gè)方向的振動(dòng)通過絲杠螺母耦合，δn表達(dá)式為：

(2)

總動(dòng)能T表達(dá)式為：

(3)

將Ritz表達(dá)式代入式(3)中，寫為矩陣：

(4)

勢能U表達(dá)式為：

(5)

將Ritz表達(dá)式帶入式(5)中，寫為矩陣：

(6)

式中：Px—虛功，δW=PxδU(s(t),t)；L—拉格朗日量，L=T-U+δW。

推導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(7)

系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)定義為：Δ={φTutηTθm}T

(8)

(9)

綜合考慮滾珠絲杠副的內(nèi)部功耗，以及其他構(gòu)件阻尼，可得Pdis表達(dá)式：

(10)

(11)

力Pin表達(dá)式為：

(12)

矩陣Q為：

(13)

1.1.2 彎曲振動(dòng)模型

將滾珠絲杠副系統(tǒng)視為沿軸旋轉(zhuǎn)對稱系統(tǒng)，絲桿視為Timoshenko梁。將兩端軸承視為剛體，使用Ritz級數(shù)描述系統(tǒng)橫向變形和轉(zhuǎn)角，即：

(14)

綜合考慮轉(zhuǎn)角以及位移的關(guān)系，Uf可寫為：

(15)

將基函數(shù)代入式(15)，并寫為矩陣：

(16)

動(dòng)能Tf表達(dá)式可寫為：

(17)

將其代入基函數(shù)，并寫為矩陣：

(18)

螺母滾珠動(dòng)能表達(dá)式可寫成：

Tm=

(19)

將其代入基函數(shù)，并寫為矩陣：

(20)

考慮mb，外力的虛功表達(dá)式為：

δW=mbgδV(xt,t)

(21)

將式(21)代入拉格朗日方程，則滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的彎曲運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

(22)

(23)

(24)

(25)

由于軸承的阻尼是系統(tǒng)功率消耗的主要原因，可得Pdis表達(dá)式為：

(26)

(27)

1.2 邊界條件及基函數(shù)的選擇

根據(jù)Ritz級數(shù)的原理，基函數(shù)需符合3個(gè)條件[5]：(1)線性獨(dú)立；(2)位移函數(shù)連續(xù)；(3)符合絲杠系統(tǒng)在物理定義上的邊界條件。若剛體可以運(yùn)動(dòng)，則相關(guān)基函數(shù)為Φ1=1。

1.2.1 軸向及扭轉(zhuǎn)基函數(shù)的選擇

1.2.2 彎曲基函數(shù)的選擇

絲杠彎曲所承受的外界載荷由兩部分構(gòu)成[6-7]，即作用于橫截面的剪力和彎矩。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，為避免約束力被納入輸入功率，對系統(tǒng)設(shè)定如下邊界條件：Φj=0，dΦj/dx=0，并分別施加于不允許發(fā)生位移與扭轉(zhuǎn)的位置。

在滾珠絲杠系統(tǒng)中，深溝球軸承為簡支，角接觸軸承為固定支撐。

(1)固定—簡支。其物理邊界條件表達(dá)式如下所示：

V(0,t)=V(L,t)=0;W(0,t)=W(L,t)=0
V′(0,t)=B′(L,t)=0;W′(0,t)=?！?L,t)=0

(28)

可得基函數(shù)為：

(29)

以此類推，即可得到其他支撐方式的結(jié)果。

(2)固定—固定。其物理邊界條件表達(dá)式如下所示：

(30)

(3)簡支—簡支。其物理邊界條件表達(dá)式如下所示：

(31)

1.2.3Ritz級數(shù)長度M的確定

使用Ritz級數(shù)法時(shí)[8]，當(dāng)M→∞時(shí)，各階模態(tài)的固有頻率無限接近其系統(tǒng)值。其中，M的3-10級數(shù)下，不同頻率的仿真結(jié)果如表3所示。

表3 M的3-10級數(shù)下不同頻率仿真結(jié)果

表3列出了不同M值的數(shù)值仿真結(jié)果(工作臺(tái)位于xt=L/2處)。從不同長度仿真結(jié)果可知：振動(dòng)頻率隨級數(shù)長度收斂，級數(shù)長度10是比較合適的選擇。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證該模型的正確性，筆者進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所使用的設(shè)備如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證設(shè)備

圖3中，通過測試4個(gè)分散的滾珠絲杠系統(tǒng)中螺母的振動(dòng)模態(tài)，即可驗(yàn)證工作臺(tái)位置的改變與系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)變化的關(guān)系；采用力錘為振動(dòng)源，加速度傳感器排布在工作臺(tái)上，通過信號分析儀計(jì)算系統(tǒng)頻響；12個(gè)測量參考點(diǎn)平均分布于絲杠，通過移動(dòng)力錘改變振動(dòng)源，實(shí)現(xiàn)對彎曲振動(dòng)(徑向振動(dòng))的測量。

模型驗(yàn)證設(shè)備主要參數(shù)如表4所示。

表4 模型驗(yàn)證設(shè)備主要參數(shù)

800 mm位置處頻率的響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 800 mm位置處頻率響應(yīng)曲線

振動(dòng)頻率的實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果如表5所示。

表5 振動(dòng)頻率的實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果

對扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的驗(yàn)證需參考文獻(xiàn)[9]中所做的實(shí)驗(yàn)，通過筆者所建立模型仿真結(jié)果與上述文獻(xiàn)所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比可知：一階振動(dòng)結(jié)果分別為424 Hz和434 Hz，二階振動(dòng)結(jié)果分別為1 369 Hz和1 120 Hz。

模型仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果的對比圖如圖5所示。

由圖5可知，模型仿真的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所得振型基本一致。

綜上所述：經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對比，筆者所建模型可準(zhǔn)確地描述滾珠絲桿傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并對該系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

圖5 數(shù)值仿真(上)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果(下)對比

3 振動(dòng)特性分析

3.1 隨加工過程變化的振動(dòng)分析

由于工作臺(tái)屬性參數(shù)的改變會(huì)對系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)產(chǎn)生影響[10]，不同工作臺(tái)位置xt的振型如圖6所示。

圖6 不同工作臺(tái)位置xt的振型

由圖6可得：工作臺(tái)位置的變化對軸向振動(dòng)影響較大，對于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響較小。第一階振動(dòng)的軸向頻率易受影響，第二階振動(dòng)的扭轉(zhuǎn)頻率易受影響，第三階振動(dòng)幾乎不受影響。

3.2 不同導(dǎo)程的軸扭耦合振動(dòng)的耦合情況

兩種不同重量的工作臺(tái)在絲桿的導(dǎo)程不同時(shí)，反映了振動(dòng)頻率的變化。不同導(dǎo)程對軸扭耦合振動(dòng)的影響如表6所示。

由表6可知：重量較大的工作臺(tái)的振動(dòng)頻率對于導(dǎo)程的變化更為敏感，并且對一階影響更大；一階時(shí)滾珠絲桿的導(dǎo)程大小與其傳動(dòng)系統(tǒng)的軸扭耦合度正相關(guān)，二、三階為負(fù)相關(guān)。

表6 不同導(dǎo)程對軸扭耦合振動(dòng)的影響xt=0.6 m

因此，在滾珠絲桿系統(tǒng)中，絲桿導(dǎo)程較大以及工作臺(tái)較重時(shí)，軸扭耦合是不可或缺的一項(xiàng)。

4 結(jié)束語

基于Ritz級數(shù)法采用混合模型法，筆者綜合考慮了軸扭耦合以及彎曲振動(dòng)對系統(tǒng)的影響，對高速滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了建模；經(jīng)過仿真與實(shí)驗(yàn)，對模型進(jìn)行了驗(yàn)證，分析了絲杠導(dǎo)程、工作臺(tái)參數(shù)等因素對絲桿系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)的影響。

研究表明：軸向振動(dòng)受工作臺(tái)位置和質(zhì)量因素影響較大，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)所受影響較??；彎曲振動(dòng)方面受工作臺(tái)位置因素影響較大；隨著工作臺(tái)重量增加，工作臺(tái)的振動(dòng)頻率對于絲杠導(dǎo)程的變化更為敏感。

筆者所建模型可以完整表達(dá)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，且系統(tǒng)的理論模型相對簡單。