“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學(xué)設(shè)計(jì)

陳春芳

數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的四條主線之一。如何培育學(xué)生的建模素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂應(yīng)是關(guān)鍵。三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是三角函數(shù)的重要內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4中是通過(guò)物理的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)引入的，但從學(xué)生的物理知識(shí)儲(chǔ)備情況來(lái)看他們并不了解簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因?yàn)槿鄙偕钤退麄兒茈y建構(gòu)起函數(shù)的真實(shí)意義。而在改版后的蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中，這一模型直接換成了摩天輪的例子，經(jīng)過(guò)對(duì)比教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)借助摩天輪上點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)不同參數(shù)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的做法更加形象直觀，有助于學(xué)生理解A、ω、φ 的幾何意義，事實(shí)上圓是刻畫(huà)周期性運(yùn)動(dòng)最簡(jiǎn)潔的模型，在研究三角函數(shù)的過(guò)程中始終貫穿單位圓模型也有助于體現(xiàn)模型的真正價(jià)值。當(dāng)然數(shù)學(xué)建模從課程標(biāo)準(zhǔn)走向課堂教學(xué)，離不開(kāi)現(xiàn)代教育技術(shù)的支撐，在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，我們應(yīng)用GeoGebra這一動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件開(kāi)發(fā)了相應(yīng)的課程資源，為學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和深度思考“打開(kāi)一扇窗”。

一、教學(xué)分析

1.教材分析。

三角函數(shù)是一種基本初等函數(shù)，也是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)、物理、天文、生物和工程技術(shù)中均有著廣泛的應(yīng)用。函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象作為其中的一個(gè)重要內(nèi)容，需要由特殊到一般、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具體到抽象，逐步分解剖析三個(gè)參數(shù)A、ω、φ 對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的影響，從而從變換的視角建構(gòu)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象與函數(shù)y=sinx 圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終形成由函數(shù)y=sinx 圖象變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的變換規(guī)律和方法。

2.教學(xué)目標(biāo)。

（1）結(jié)合具體勻速圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例，抽象并建立函數(shù)y=Asin（ωx+φ）數(shù)學(xué)模型，了解模型的實(shí)際意義，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（2）分類(lèi)探究A、ω、φ 三個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的影響，在經(jīng)歷y=sinx 到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象變換探究的過(guò)程中，提升數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力和概括總結(jié)能力，通過(guò)觀察圖象、代數(shù)論證和模型分析，體驗(yàn)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸思想，提升直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。

（3）認(rèn)識(shí)物理中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、電流與電磁波，氣象學(xué)中的潮汐現(xiàn)象等模型與圓周運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在聯(lián)系。

3.學(xué)情分析。

研究過(guò)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，明晰借助單位圓用正弦線作圖的原理；在指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的學(xué)習(xí)中，具備數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)圖象的直接經(jīng)驗(yàn)，掌握函數(shù)圖象的平移變換法；掌握了利用圖象研究函數(shù)的方法，了解觀察、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般、由具體到抽象的化歸數(shù)學(xué)思想。

二、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，建立模型。

問(wèn)題1：對(duì)于一般的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫(huà)呢？

如圖1，摩天輪的半徑為40m，圓心O 距地面的高度為48m，摩天輪逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30min 轉(zhuǎn) 一圈。摩天輪上點(diǎn)P 從圖中點(diǎn)P0處開(kāi)始計(jì)算時(shí)間（角φ 的終邊為OP0）。你能確定在時(shí)刻t（min）時(shí)，點(diǎn)P 距離地面的高度H（m）嗎？

教師播放摩天輪勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà)，讓學(xué)生觀察摩天輪上一點(diǎn)的周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，體會(huì)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期性。在直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考，如何將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化？指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，借助三角函數(shù)的定義，學(xué)生建立了刻畫(huà)一般勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型H=Asin（ωt+φ）+k（其中A、ω、φ 都是常數(shù)，且A＞0，ω＞0），從而讓學(xué)生感受到，函數(shù)y=Asin（ωt+φ）是客觀存在的，是刻畫(huà)自然界周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生明白本節(jié)的研究目的。

（設(shè)計(jì)意圖：生活中的周期現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，而三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的一個(gè)重要模型。結(jié)合生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，這是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，因此在問(wèn)題1 之前，讓學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義，為后續(xù)建立數(shù)學(xué)模型作鋪墊。問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。）

2.經(jīng)歷回顧，制訂研究策略。

問(wèn)題2：面對(duì)一個(gè)新函數(shù)y=Asin（ωx+φ），我們接下來(lái)應(yīng)該研究什么？怎樣研究？

數(shù)學(xué)教學(xué)在教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)更重要的是要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，自我發(fā)展。學(xué)生在學(xué)習(xí)指、對(duì)、冪函數(shù)時(shí)已經(jīng)積累了研究函數(shù)的基本方法和經(jīng)驗(yàn)，教師適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)，學(xué)生能夠得出研究函數(shù)的一般方法：函數(shù)概念→函數(shù)圖象→函數(shù)性質(zhì)→模型應(yīng)用。

問(wèn)題3：如何由y=sinx 的圖象得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象？

教師分析關(guān)鍵是研究參數(shù)A、ω、φ 對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響，三個(gè)參數(shù)分別會(huì)影響圖象的什么特征？初高中學(xué)習(xí)中遇到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題嗎？對(duì)這類(lèi)問(wèn)題學(xué)生并不陌生，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中各參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響，還有物理學(xué)習(xí)也遇到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題。

學(xué)生得出研究思路：通過(guò)控制變量，先各個(gè)擊破，分別研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx，最后再綜合研究y=Asin（ωx+φ）。

教師繼續(xù)追問(wèn)，你會(huì)先研究哪個(gè)參數(shù)？為什么？這里學(xué)生意見(jiàn)應(yīng)該相對(duì)統(tǒng)一，先研究φ對(duì)圖象的影響，因?yàn)樵谥暗膶W(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)過(guò)圖象平移的問(wèn)題。

（設(shè)計(jì)意圖：明確研究方向后，接下來(lái)要解決的就是如何研究的問(wèn)題。學(xué)生要設(shè)計(jì)研究方案，并能說(shuō)出設(shè)計(jì)的依據(jù)，這有利于提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生形成探究的習(xí)慣。）

3.操作探究，分析模型。

探究1：φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響。

作圖觀察：學(xué)生在應(yīng)用GeoGebra 制作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上做實(shí)驗(yàn)，如在輸入框內(nèi)輸入A=1，ω=1，φ=1（如圖2），得到函數(shù)g（x）=sin（x+1）圖象，由圖象可知，g（x）=sin（x+1）的圖象可由f（x）=sinx的圖象向左平移1rad得到。

理性思考：為什么兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有這樣的關(guān)系？一般化的結(jié)論是什么？

在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，改變?chǔ)?的值多次實(shí)驗(yàn)，并結(jié)合點(diǎn)的考量，得出結(jié)論：將f（x）=sinx 上的所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0 時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0 時(shí)）平移|φ|個(gè)單位，得到g（x）=sin（x+φ）的圖象。

回歸模型：y=sin（x+φ）是刻畫(huà)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，這里的φ的物理意義是什么？

如圖3，利用GeoGebra 作出勻速圓周運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)P 的軌跡，其中φ 的終邊就是OP0，當(dāng)改變點(diǎn)P0的位置時(shí)，正弦曲線上所有點(diǎn)向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度。根據(jù)物理意義，我們又稱φ 為初相。由φ 引起的是圖象變換又稱相位變換。

（設(shè)計(jì)意圖：研究過(guò)程遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用從特殊到一般、從具體到抽象的策略。從三個(gè)層面（作圖觀察、理性思考、回歸模型）展開(kāi)，這三個(gè)環(huán)節(jié)緊緊相扣、層層遞進(jìn)。學(xué)生先觀察圖象特征，猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，再?gòu)臄?shù)學(xué)和物理兩個(gè)角度闡釋結(jié)論的合理性。不僅解決了是什么的問(wèn)題，即圖象怎樣變換，還解決了為什么的問(wèn)題，即圖象發(fā)生這樣變化的本質(zhì)原因在哪里。通過(guò)問(wèn)題的探究，學(xué)生的直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到了提升。）

4.類(lèi)比探究，得出結(jié)論。

探究2：A、ω 對(duì)y=Asinx 和y=sinωx 圖象的影響。

類(lèi)比探究的方法：作圖觀察—理性思考—回歸模型。

教師將學(xué)生分成兩組分別研究，從知識(shí)結(jié)構(gòu)上看，這兩者本質(zhì)相同，可以對(duì)比研究，在得出一般結(jié)論后，從發(fā)展學(xué)生思維能力考慮，需要學(xué)生邏輯推理，數(shù)形結(jié)合多方面探究，相互印證。

其中A 的物理意義是振幅，由A 引起的圖象變換又稱振幅變換。ω 引起的變化是周期變化，但是周期與ω 的關(guān)系從圖象觀察不容易理解。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，教師可以回歸模型，用勻速圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋?duì)嘏c周期的關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。在學(xué)生探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中起到舉足輕重的作用。在探究φ 的過(guò)程中，學(xué)生掌握了基本研究思路和方法，學(xué)生可以采用類(lèi)比的方法對(duì)A、ω 進(jìn)行研究。ω 對(duì)圖象的影響是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，教師放手讓學(xué)生自主探究，主動(dòng)參與知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，在學(xué)生探究和交流的基礎(chǔ)之上，教師利用GeoGebra 軟件作圖演示，并利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)，解釋其物理意義。這樣不僅能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，也提升了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。）

5.回歸模型，深化理解。

探究3：你能總結(jié)一下從函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的過(guò)程與方法嗎？

在學(xué)生總結(jié)出圖象變換的規(guī)律后，教師引導(dǎo)學(xué)生回到勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型，再次認(rèn)識(shí)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是周期函數(shù)，這類(lèi)函數(shù)在生活中是廣泛存在的，比如在物理和工程技術(shù)的許多問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到形如y=Asin（ωt+φ）的函數(shù)，例如簡(jiǎn)諧振動(dòng)、彈簧振子、單擺、繩波等。只要將函數(shù)y=Asin（ωt+φ）的性質(zhì)研究清楚，就能把握這類(lèi)事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

（設(shè)計(jì)意圖：最后回歸模型總結(jié)本節(jié)課探究的重要結(jié)論：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是周期函數(shù)，它的圖象可由函數(shù)y=sinx 的圖象經(jīng)平移、伸縮變換得到，綜合研究的成果，提煉研究方法。）

6.歸納總結(jié)，反思提煉。

（1）本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容：從具體實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型—利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法研究數(shù)學(xué)模型—借助模型解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）本節(jié)課的研究方法：作圖觀察—理性思考—回歸模型。

（3）本節(jié)課的研究策略：復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、一般問(wèn)題特殊化。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)。培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，概括提升的能力，為在課后能繼續(xù)獨(dú)立探究思考埋下伏筆。）