深度融合：基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

張志勇

隨著知識革新及技術(shù)創(chuàng)新，以大數(shù)據(jù)、“互聯(lián)網(wǎng)+”為背景的教育新時(shí)代已經(jīng)到來。對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教育技術(shù)已成為一種不可或缺的工具，“重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合”是我們理應(yīng)深入探究的課題。實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)的深度融合，離不開信息化教學(xué)環(huán)境的構(gòu)造、新型教與學(xué)方式的實(shí)現(xiàn)和傳統(tǒng)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的變革。本文以GeoGebra 為軟件平臺，就概念生成、規(guī)則演繹等內(nèi)容談?wù)勅绾螌⒓夹g(shù)融入數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，從而影響并推動(dòng)著傳統(tǒng)課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的變革和數(shù)學(xué)教學(xué)新形態(tài)的構(gòu)建。

一、概念形成中的融合設(shè)計(jì)

概念是數(shù)學(xué)思維方式建構(gòu)或轉(zhuǎn)變的基石，一個(gè)概念的背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，分析、處理問題的策略與方法。因此，對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，并不是僅僅能記住、說出它的定義，認(rèn)識它的代表符號，而是要真正能夠把握它的本質(zhì)屬性。概念教學(xué)中，要讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)新概念的必要性，同時(shí)凸顯概念的形成過程，讓學(xué)生在大量例證中歸納、概括、抽象出概念的關(guān)鍵屬性。

案例1：等比數(shù)列的概念教學(xué)。

概念形成需要從大量的實(shí)例和學(xué)習(xí)者的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以歸納的思維方式獲得概念。于是融入技術(shù)元素，設(shè)計(jì)適于概念形成的學(xué)習(xí)情境并留給學(xué)生自主活動(dòng)的空間，當(dāng)是教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該重點(diǎn)處理的環(huán)節(jié)。

二、規(guī)則演繹中的融合設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開推理運(yùn)算，而公式法則、定理命題是運(yùn)算推理的重要根基，學(xué)生運(yùn)算出錯(cuò)、推理失敗多是因?yàn)楣健⒍ɡ砝斫獠蝗木壒?。在常?guī)教學(xué)中，定理法則的教學(xué)采用更多的是“告訴演繹”思路，即展示規(guī)則（告訴）→推導(dǎo)驗(yàn)證（演繹）→變式應(yīng)用（操練）。技術(shù)融入后，可借助CAS 系統(tǒng)（Computer Algebra System）增加“規(guī)則發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，化單純的演繹為“歸納+演繹”，為我們的教學(xué)設(shè)計(jì)提供更多的選擇。

案例2：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的“發(fā)現(xiàn)”教學(xué)。

以積的求導(dǎo)法則為例，在常規(guī)的教學(xué)流程中可增加下列環(huán)節(jié)：

（1）計(jì)算先行，感知規(guī)則。在GeoGebra 的運(yùn)算區(qū)中，先計(jì)算一些具體函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如y=x2ex、y=xsinx 等，讓學(xué)生認(rèn)識到積的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是和的形式；

（2）歸納猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)則。進(jìn)一步的，在運(yùn)算區(qū)中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。如圖3，改變基本函數(shù)f（x）、g（x）的解析式，考察f（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)的變化，從而明確和式的由來，得出結(jié)果“（f（x）·g（x））′=f '（x）·g（x）+f（x）·g'（x）”。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)其實(shí)是借助技術(shù)的力量實(shí)現(xiàn)教學(xué)流程倒置，將原來的記憶操練變更為歸納發(fā)現(xiàn)（導(dǎo)數(shù)運(yùn)算結(jié)果提前呈現(xiàn)給學(xué)生），在實(shí)現(xiàn)“向技術(shù)學(xué)數(shù)學(xué)”的同時(shí)，也創(chuàng)設(shè)了“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)的情境，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)在經(jīng)歷“觀察現(xiàn)象→歸納猜想→證明猜想→應(yīng)用拓展”的過程中，實(shí)現(xiàn)更高抽象層次上的抽象探究。雖然完整的教學(xué)流程還需要有演繹推證規(guī)則、變式應(yīng)用操作（在練習(xí)過程中可將紙筆運(yùn)算結(jié)果與計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對驗(yàn)證）環(huán)節(jié)，但有了技術(shù)的融入，我們在定理法則的教學(xué)中有了全新的設(shè)計(jì)選擇，完全可以做過去課堂中做不到的事情。事實(shí)上，技術(shù)本身也是數(shù)學(xué)，GeoGebra 可以方便實(shí)現(xiàn)符號計(jì)算功能，能更好地與注重形式化、符號化的數(shù)學(xué)學(xué)科相匹配，滿足在計(jì)算機(jī)上推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式的需求，如對表達(dá)式進(jìn)行因式分解、化簡、微分、積分、解代數(shù)方程、求解常微分方程等；進(jìn)而滿足學(xué)生在更高抽象層次上進(jìn)行思考與探究，使形式化的符號也能成為學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)。

三、活動(dòng)探究中的融合設(shè)計(jì)

只有經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能積累足夠的原初經(jīng)驗(yàn)，于是應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)的動(dòng)態(tài)形象優(yōu)勢，可以創(chuàng)設(shè)生動(dòng)活潑、富有啟發(fā)性的情境，為學(xué)生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀呈現(xiàn)的方式，從而優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式。

案例3：圓錐曲線的包絡(luò)探究。

我們知道，圓錐曲線可以通過折紙的方式來呈現(xiàn)，但折紙操作過程費(fèi)時(shí)費(fèi)力，并且通過有限的幾條折痕“看出”輪廓（包絡(luò)線）也絕非易事，而這樣的麻煩事?lián)Q到技術(shù)環(huán)境中則可以輕松解決，從而讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲取圓錐曲線概念的原始經(jīng)驗(yàn)。如圖4，拖動(dòng)滑動(dòng)條n，隨著線段AC（C為圓B上的動(dòng)點(diǎn)）的中垂線條數(shù)的增多，包絡(luò)的呈現(xiàn)越發(fā)清晰，圓錐曲線便呈現(xiàn)在學(xué)生眼前；拖動(dòng)改變A、B 的相對位置可發(fā)現(xiàn)更多的精彩，當(dāng)A 點(diǎn)從圓B 外運(yùn)動(dòng)到圓B 內(nèi)時(shí)，包絡(luò)線由雙曲線變成了橢圓，這樣的動(dòng)態(tài)變化過程恰好表明了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性；從外在的包絡(luò)現(xiàn)象到內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理探尋，數(shù)學(xué)知識便找到了很好的落腳點(diǎn)。以雙曲線為例，取包絡(luò)上的任意一點(diǎn)P，|PA-PB|=|PC-PB|=BC（P 為線段AC的垂直平分線上的點(diǎn)，從而PA=PC），從而P 點(diǎn)的軌跡為以A、B 為焦點(diǎn)的雙曲線。從發(fā)現(xiàn)包絡(luò)的“驚詫”、動(dòng)態(tài)聯(lián)系的“美妙”到本質(zhì)探尋的“原來如此”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和價(jià)值在這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)中得到很好的彰顯。

四、方法提煉中的融合設(shè)計(jì)

學(xué)數(shù)學(xué)就要解數(shù)學(xué)題，通過解題可以幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)方法進(jìn)而錘煉數(shù)學(xué)思維。從而數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。當(dāng)然數(shù)學(xué)題目類型的千差萬別決定了解題方法的多樣性、復(fù)雜性，因此，探尋方法也就沒有固定的規(guī)律可循。應(yīng)用技術(shù)創(chuàng)設(shè)探究情境，可以讓學(xué)生有機(jī)會(huì)嘗試從不同的角度探究問題的各個(gè)方面，在展示解題思路的探求過程中解構(gòu)解題策略的形成，思考“怎樣學(xué)會(huì)解題”，在問題“源與流”的探尋中感悟“原來如此”的美妙。

案例4：導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題探求。

上述教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)現(xiàn)離不開技術(shù)的融入，我們通過圖象趨勢觀察（取勢）、放縮本質(zhì)思考（明道）達(dá)成優(yōu)化解題方案（優(yōu)術(shù)），事實(shí)上解題教學(xué)的價(jià)值和意義恰恰在于教會(huì)學(xué)生“怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)方法”“如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論”，而解題策略的獲取、解題觀點(diǎn)的提升、思維層次的優(yōu)化自然是教學(xué)設(shè)計(jì)中的重要考量。

隨著教育信息化2.0時(shí)代的到來，數(shù)學(xué)教育由主要強(qiáng)調(diào)紙筆計(jì)算向充分使用現(xiàn)代教育技術(shù)轉(zhuǎn)變已經(jīng)是歷史的必然。實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，要求我們在深入理解與掌握技術(shù)的基礎(chǔ)上實(shí)施能有效變革課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新教學(xué)模式，要在構(gòu)建互動(dòng)交流的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升。