嚴(yán)格避撞的車輛隊(duì)列分布式魯棒控制*

楊澤宇，黃 晉，胡展溢，謝國濤，鐘志華，2

（1.清華大學(xué)車輛與運(yùn)載學(xué)院，北京 100084； 2.中國工程院，北京 100088）

前言

車輛編隊(duì)行駛是一種提高道路通行率、降低行駛能耗、提高交通安全的有效途徑［1-2］。隨著車車通信（V2V）、車路通信（V2I）、先進(jìn)車載傳感器和智能控制等智能網(wǎng)聯(lián)技術(shù)的發(fā)展，隊(duì)列中車與車之間可實(shí)現(xiàn)信息交互，并通過智能控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)協(xié)同編隊(duì)行駛，從而實(shí)現(xiàn)更小的車間距，進(jìn)一步提升交通效率和燃油經(jīng)濟(jì)性［3-4］。保證車輛一致行駛速度和期望空間構(gòu)型的隊(duì)列協(xié)同控制技術(shù)是智能網(wǎng)聯(lián)車輛隊(duì)列的關(guān)鍵技術(shù)，直接影響到隊(duì)列安全性。

從控制器設(shè)計(jì)的角度來看，穩(wěn)定性是系統(tǒng)的基本性能。文獻(xiàn)［4］中針對具有對稱通信拓?fù)涞姆莿蛸|(zhì)車隊(duì)，基于3階線性模型設(shè)計(jì)了分布式控制器并分析了隊(duì)列的魯棒穩(wěn)定性。Zheng等基于分布式模型預(yù)測控制理論，為具有非對稱通信拓?fù)涞年?duì)列設(shè)計(jì)了滿足一致穩(wěn)定性的隊(duì)列控制器［5］。然而，車輛隊(duì)列是一個(gè)多車互聯(lián)耦合系統(tǒng)，每輛車的穩(wěn)定性并不能保證隊(duì)列中所有誤差狀態(tài)的有界性，進(jìn)而無法保證隊(duì)列安全性。因此表征誤差或外部干擾不沿著隊(duì)列向兩端擴(kuò)增性質(zhì)的隊(duì)列穩(wěn)定性也得到了廣泛研究［6-9］。文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［9］中討論了通信時(shí)延、動(dòng)力學(xué)不確定性條件下隊(duì)列穩(wěn)定性的充分條件。

然而，隊(duì)列穩(wěn)定性給出的是平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定特性，穩(wěn)定區(qū)域邊界很難顯示求解［10］。因此為保證隊(duì)列避撞性，初始誤差應(yīng)保證在平衡位置附近。文獻(xiàn)［11］中提出了一種修正的固定車頭時(shí)距模型，將隊(duì)列穩(wěn)定性擴(kuò)展到大初始偏差條件，由于忽略了控制過程中的超調(diào)、收斂速度等瞬態(tài)性能，仍存在安全隱患。Huang等采用雙射函數(shù)將有界的車間距誤差轉(zhuǎn)換為無約束狀態(tài)，并通過非線性魯棒控制保證了轉(zhuǎn)換狀態(tài)的有界性，理論上保證了隊(duì)列的避撞性與緊湊性［12］，但是該方法很難適用于具備復(fù)雜通信拓?fù)涞年?duì)列。

基于以上分析，本文中針對具有復(fù)雜通信拓?fù)湟约坝薪鐒?dòng)力學(xué)不確定性的車輛隊(duì)列，提出了一種嚴(yán)格避撞的分布式魯棒控制方法。將隊(duì)列的避撞性與緊湊性描述為對車間距誤差的有界約束。引入車間距勢函數(shù)，并將勢函數(shù)的偏導(dǎo)項(xiàng)添加到魯棒控制器中。根據(jù)LaSalles不變性原理證明了勢函數(shù)的有界性（保證了避撞性和緊湊性）以及車速誤差的隊(duì)列穩(wěn)定性。提出了修正期望車間距模型，保證了控制算法在大初始誤差工況下的適用性。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證控制算法的有效性。

1 系統(tǒng)建模

智能網(wǎng)聯(lián)車隊(duì)的分布式控制問題如圖1所示。該隊(duì)列包含n輛車，依次標(biāo)號(hào)為1，2，…，n。xi、li分別表示第i（i∈χn，χn＝｛1，2，…，n｝）輛車的位移和車身長度。di表示第i（i∈χn且i≠1）輛車與其前車的距離。假定每輛車都具備V2V、V2I功能，且裝載全球定位系統(tǒng)（GPS）、慣導(dǎo)設(shè)備和自主式傳感器。GPS和慣導(dǎo)設(shè)備可用于準(zhǔn)確測量自車的速度、加速度等狀態(tài)信息。自主式傳感器（毫米波雷達(dá)等）可用于測量自車與前后車的距離［13］。具體的控制流程為：位于云端或隊(duì)列中某車上的中央控制器（圖中虛擬頭車）通過集中式優(yōu)化計(jì)算得到隊(duì)列期望速度曲線，并通過V2I或V2V間歇地發(fā)送給每一輛車（圖中虛線）。另外每輛車能通過V2V獲取鄰近車輛的實(shí)時(shí)狀態(tài)信息（圖中實(shí)線）。每輛車基于這些信息并結(jié)合測得的自車狀態(tài)信息，生成分布式控制率，實(shí)現(xiàn)隊(duì)列車速的穩(wěn)定跟隨與車間距的保持。

圖1 車輛隊(duì)列巡航示意圖

1.1 車輛動(dòng)力學(xué)模型

考慮到實(shí)際車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)很難被準(zhǔn)確辨識(shí)，同時(shí)還存在復(fù)雜的外部干擾，因此建立如下包含復(fù)雜不確定性與外部干擾的2階非線性車輛縱向動(dòng)力學(xué)模型為：

式中：vi、ui分別為車輛速度和控制力輸入；分別為車輛質(zhì)量、風(fēng)阻系數(shù)和外部阻力（包含坡道阻力以及輪胎阻力）的名義量，它們對應(yīng)的不確定量分別為ΔMi、Δci、ΔFi，這些時(shí)變不確定量關(guān)于時(shí)間t連續(xù)。

期望速度vr對每輛車都是已知的，因此可分別定義t時(shí)刻的車輛位移誤差和速度誤差為

結(jié)合式（1）車輛的縱向動(dòng)力學(xué)模型，誤差動(dòng)力學(xué)方程可表示為

為公式簡潔性，在不產(chǎn)生混淆的前提下，下文出現(xiàn)的符號(hào)將省去括號(hào)里面的參數(shù)，并定義如下符號(hào)：

則有ΔDi＝DiEi

為簡化后續(xù)推導(dǎo)，結(jié)合式（4），將式（3）描述的誤差動(dòng)力學(xué)模型解耦為名義動(dòng)力學(xué)和不確定動(dòng)力學(xué)兩部分，可得

1.2 通信拓?fù)淠Ｐ?/h3>

所有的成員車輛間歇地收到隊(duì)列的期望速度曲線，還能實(shí)時(shí)獲取其周圍車輛的狀態(tài)信息。假設(shè)具備理想的通信條件，即無通信量化誤差、時(shí)延與丟包現(xiàn)象。代數(shù)圖論技術(shù)常被用于描述車輛之間信息傳遞的信息流拓?fù)潢P(guān)系［13-14］，將車輛抽象為頂點(diǎn)集χn，車輛之間的通信通道抽象為邊集?n=χn×χn，有向邊(i，j)表示車輛i可以獲得車輛j的信息，則整個(gè)隊(duì)列的通信關(guān)系可描述為加權(quán)有向圖的結(jié)構(gòu)，其中An=為鄰接矩陣，定義為

式中：aij=1表示車輛i能獲得車輛j的信息。設(shè)定aii=0，i∈χn。與有向圖gn對應(yīng)的Laplacian矩陣為L=[lij]n×n，定義為

若有向邊(i，j)∈?n等價(jià)于(j，i)∈?n，稱該圖為無向圖。無向圖對應(yīng)的Laplacian矩陣是對稱的，其描述的通信拓?fù)潢P(guān)系稱為對稱通信拓?fù)洹?/p>

這里列出如下幾種典型通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的鄰接矩陣及對應(yīng)的Laplacian矩陣。

（1）單向前車跟隨（PF）：車輛只能獲取其前車的信息。

（2）雙向前后車通信（BD）：車輛能夠獲得其前后車的信息。

（3）雙向前后兩車通信（BDD）：車輛能夠獲得其前后各兩輛車的信息。

1.3 車間距模型

實(shí)際控制過程中使用的車間距數(shù)據(jù)是通過自主式傳感器直接測得。但是在控制器設(shè)計(jì)過程中，實(shí)際車間距采用前后車的位移以及車身長度定義：

固定車間距模型相比于固定車頭時(shí)距模型能實(shí)現(xiàn)更高的交通流量［15］，因此本文設(shè)置期望車間距為一個(gè)固定的常數(shù)。車間距誤差定義為

為嚴(yán)格保證隊(duì)列安全性，同時(shí)避免隊(duì)列過于稀疏（保證緊湊性），設(shè)定允許的車間距誤差區(qū)間為

式中ei，m、ei，M分別為最小、最大允許車間距誤差，且滿足ei，m＜0＜ei，M。當(dāng)車間距誤差始終保持在允許的誤差區(qū)間內(nèi)時(shí)，隊(duì)列安全性以及緊湊性得以保證。

1.4 車隊(duì)控制目標(biāo)

在給出車隊(duì)控制目標(biāo)以前，首先引入以下相關(guān)定義。

定義1：對任意的t≥t0，i∈χn，若車間距誤差滿足ei（t）∈( ei，m，ei，M) ，則稱車輛隊(duì)列是嚴(yán)格避撞且緊湊的。

定義2：對任意的t＞t0，σ＞0，i∈χn，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)δ＞0，使當(dāng)ei（t0）∞＜δ，i∈χn時(shí)，有supiei（t）∞＜σ成立，則稱車輛隊(duì)列誤差的平衡點(diǎn)（ei=0，i∈χn）是隊(duì)列穩(wěn)定的［7］。

定義3：考慮一個(gè)維數(shù)為n×n實(shí)數(shù)矩陣X，若對任意的n維向量v∈Rn，有vTXv≥0，則稱矩陣X是廣義半正定的。

不同于其他隊(duì)列控制研究，控制目標(biāo)中要求車速誤差以及車間距誤差都能嚴(yán)格收斂到0［4-5，8-12］。本研究的控制目標(biāo)為：（1）車輛隊(duì)列的嚴(yán)格避撞性及緊湊性；（2）車輛速度誤差的隊(duì)列穩(wěn)定性。即：保證車間距誤差保持在安全性與緊湊性限定區(qū)間( ei，m，ei，M) 內(nèi)的前提下，實(shí)現(xiàn)期望速度曲線的穩(wěn)定跟隨。因此本文引入車間距勢函數(shù)Ui，i-1，其具備以下性質(zhì)：

（2）Ui，i-1（ei）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)ei=0時(shí)取等號(hào)；

（3）Ui，i-1（ei）1階連續(xù)可導(dǎo)；

（4）當(dāng)ei＞0時(shí)，有＞0；當(dāng)ei＜0時(shí)，有＜0。

采用正切函數(shù)設(shè)計(jì)如下滿足上述條件的車間距勢函數(shù)：

根據(jù)車間距勢函數(shù)的性質(zhì)，可以得到：Ui，i-1的有界性等價(jià)于ei∈( ei，m，ei，M) 。只要設(shè)計(jì)的控制器能保證Ui，i-1的一致有界性，就能保證隊(duì)列的避撞性與緊湊性。

2 分布式魯棒控制器

2.1 控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)獲得隊(duì)列期望速度曲線、鄰近車輛狀態(tài)以及自身狀態(tài)信息后，每輛車須根據(jù)預(yù)設(shè)的分布式控制率，計(jì)算縱向控制力輸入。由于車輛隊(duì)列系統(tǒng)具有時(shí)變動(dòng)力學(xué)不確定性，因此設(shè)計(jì)的控制器需要具備較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。針對式（5）中的名義動(dòng)力學(xué)部分，首先設(shè)計(jì)如下兩部分控制力：

式中κi＞0，為可調(diào)控制參數(shù)。

式中?為偏導(dǎo)符號(hào)，例如?x＾1U2，1表示U2，1關(guān)于x＾1的偏導(dǎo)數(shù)。針對式（15），式（18）中的各項(xiàng)分別為

pi，U只與緊鄰車輛有關(guān)。對隊(duì)首（隊(duì)尾）車輛，pi，U只包含后車（前車）車間距勢函數(shù)產(chǎn)生的控制項(xiàng)；對隊(duì)列中間車輛，pi，U是前后車間距勢函數(shù)綜合作用的控制量。通過車載自主傳感器測得實(shí)際車間距后即可獲得控制項(xiàng)pi，U。當(dāng)ei＝0時(shí)，pi，U＝0，不施加調(diào)整間距的控制力；當(dāng)ei≠0時(shí)，-為使車間距勢函數(shù)減小的控制力，且誤差偏離零點(diǎn)越遠(yuǎn)，該控制力越大。因此在-的作用下，車間距勢函數(shù)可以維持在一個(gè)較小值，進(jìn)而保證車間距停留在允許區(qū)間內(nèi)。

控制力pi，1＋pi，2已經(jīng)能夠保證式（5）中的名義動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的性能。為處理動(dòng)力學(xué)不確定性部分，首先給出如下兩個(gè)合理假設(shè)。

假設(shè)1：對任意的t＞t0，存在一個(gè)已知的常數(shù)ρEi＞-1，使Ei(t)＞ρEi。

基于以上假設(shè)，設(shè)計(jì)控制量為

式中：εi（0）＞0；hi為正常數(shù)。

總的控制力為

定理1：對任意包含有界不確定性的車輛隊(duì)列系統(tǒng)（式（3）），如果其通信拓?fù)鋵?yīng)的Laplacian矩陣是廣義半正定的，那么在控制器ui，i∈χn的作用下，該隊(duì)列是嚴(yán)格避撞且緊湊的，同時(shí)速度誤差是隊(duì)列穩(wěn)定的。

證明：選取如下李亞普洛夫函數(shù)

根據(jù)勢函數(shù)的定義，式（26）右邊的第2項(xiàng)為

由式（22），可得式（26）右邊的第3項(xiàng)為

2.2 設(shè)計(jì)分析

特別地，對具備對稱通信拓?fù)涞年?duì)列，有以下推論。

推論1：對任意包含有界不確定性的車輛隊(duì)列系統(tǒng)（式（3）），如果其具備對稱通信拓?fù)洌敲丛诳刂破鱱i（i∈χn）的作用下，該隊(duì)列是嚴(yán)格避撞且緊湊的，同時(shí)速度誤差是隊(duì)列穩(wěn)定的。

證明：根據(jù)Laplacian矩陣的定義可得

若隊(duì)列具備對稱通信拓?fù)?，由其對?yīng)無向圖的對稱性可得

定理1只給出了該控制框架下滿足隊(duì)列性能的充分條件，并非必要條件。由式（39）可得，V·（t）的大小還與κi有關(guān)。對于滿足Laplacian矩陣廣義半正定的隊(duì)列，參數(shù)κi＞0即可保證隊(duì)列性能，且κi越大，收斂速度越快。對于不滿足Laplacian矩陣廣義半正定的隊(duì)列，足夠大的κi也能保證隊(duì)列性能。推論2給出了一個(gè)實(shí)例。

推論2：對任意包含有界不確定性且具有PF通信結(jié)構(gòu)的車輛隊(duì)列系統(tǒng)（式（3）），如果取κ1≥0.5，κi＞0，i＝2，3，...，n，那么在控制器ui（i∈χn）的作用下，該隊(duì)列是嚴(yán)格避撞且緊湊的，同時(shí)速度誤差是隊(duì)列穩(wěn)定的。

證明：對具有PF通信結(jié)構(gòu)的車輛隊(duì)列：

同定理1證明過程的分析，可得推論2。

2.3 修正期望車間距模型

若初始車間距誤差不在允許的區(qū)間內(nèi)，由于無法計(jì)算車間距勢函數(shù)，不能直接利用上述方法進(jìn)行控制。針對大初始車間距誤差的情況，提出以下修正期望車間距模型：

代入ηi可得到（0）∈ei，m，ei，M( )。因此，基于修正期望車間距模型，本文提出的控制方法可擴(kuò)展到大初始車間距誤差的工況，理論1對采用修正期望車間距模型的隊(duì)列仍然成立。

3 仿真驗(yàn)證

通過包含20輛車的數(shù)值仿真驗(yàn)證以上理論結(jié)果。仿真隊(duì)列包含兩種車型：車輛1，2，4，6，9，10，12，14，17，18為車型一；車輛3，5，7，8，11，13，15，16，19，20為車型二。兩種車型的名義參數(shù)（包含質(zhì)量風(fēng)阻系數(shù)和外部阻力）見表1。車輛動(dòng)力學(xué)參數(shù)的不確定性設(shè)定為正弦或余弦變化形式，例如：對第一輛車ΔM1＝100sin(0.02 t)，Δc1＝0.2sin(0.01 t)，ΔF1＝100sin(0.01 t)。期望車間距設(shè)置為10 m，允許車間距誤差區(qū)間為（-1 m，1 m）?？刂茀?shù)設(shè)置為：κi＝1，εi（0）＝1，hi＝0.01，i∈χn。首先在小初始誤差工況下分析了速度誤差一致收斂性以及車間距誤差的有界性，接著驗(yàn)證了該算法在大初始誤差工況下的適用性。

虛擬頭車給定的期望速度曲線方程為

表1 車輛名義動(dòng)力學(xué)參數(shù)

3.1 小初始誤差工況

所有初始車間距誤差在（-1 m，1 m）之間，初始速度誤差在（-2 m/s，2 m/s）之間。對PF、BD和BDD 3種通信拓?fù)涞年?duì)列都進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。由于篇幅限制，只展示了BD通信拓?fù)潢?duì)列部分車輛（2，5，9，13，17，20）的結(jié)果，如圖2～圖4所示。結(jié)果表明：本文提出控制器生成的控制力平滑，不存在抖振現(xiàn)象；所有車間距誤差保持在允許區(qū)間內(nèi)，保證了隊(duì)列的避撞性與緊湊性；所有車輛的速度都能穩(wěn)定跟隨給定的期望速度曲線，具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

圖2 BD通信拓?fù)潢?duì)列的控制力-時(shí)間圖

圖3 BD通信拓?fù)潢?duì)列車間距誤差-時(shí)間圖

圖4 BD通信拓?fù)潢?duì)列的速度-位移圖

誤差的均方根值（RMS）常被用來描述隊(duì)列的跟隨性能［16］，其定義為

式中T為仿真時(shí)長。

表2為不同通信拓?fù)潢?duì)列速度跟隨誤差的RMS值。由于在PF、BD、BDD 3種通信拓?fù)湎拢枯v車能獲取的鄰近車輛信息量依次增多。由表2可以得出一個(gè)直觀的結(jié)論：理想通信條件下，獲得鄰近車輛信息越多，隊(duì)列的速度跟隨性能越好。

表2 不同通信拓?fù)潢?duì)列的速度跟隨性能

3.2 大初始誤差工況

本文提出的控制算法也適用于存在大初始誤差的工況。圖5和圖6分別為大初始誤差工況下隊(duì)列速度誤差和車間距隨時(shí)間的變化圖。如圖5所示，即使存在±4 m/s左右的大初始速度誤差，在控制器的作用下，所有速度誤差都能在6 s內(nèi)收斂到很小的數(shù)值，當(dāng)期望速度波動(dòng)時(shí)（6～22 s之間），速度誤差存在較小波動(dòng)，當(dāng)期望速度不變時(shí)（22 s以后），速度誤差逐漸收斂到0。如圖6所示，車間距也能跟隨修正期望車間距，同時(shí)修正車間距誤差嚴(yán)格保持在允許的區(qū)間內(nèi)。即使在大初始誤差工況下，本文提出的控制算法也能保證隊(duì)列避撞性和緊湊性以及速度誤差的隊(duì)列穩(wěn)定性。

圖5 BD通信拓?fù)潢?duì)列速度誤差-時(shí)間圖

圖6 BD通信拓?fù)潢?duì)列車間距-時(shí)間圖

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)了智能網(wǎng)聯(lián)車輛隊(duì)列縱向分布式魯棒控制器。理論證明了該控制器能保證隊(duì)列避撞性與緊湊性以及車速誤差的隊(duì)列穩(wěn)定性，并分析了通信拓?fù)浜涂刂茀?shù)對控制性能的影響。另外，通過修正期望車間距模型，控制器的應(yīng)用范圍也能擴(kuò)展到大初始誤差工況。仿真結(jié)果驗(yàn)證了提出的理論結(jié)果。后續(xù)研究將聚焦非理想通信條件下嚴(yán)格避撞的隊(duì)列分布式控制器的設(shè)計(jì)以及推動(dòng)實(shí)車驗(yàn)證平臺(tái)的開發(fā)。