具有剛性間隙約束輸流管的碰撞振動1)

王乙坤 王 琳 倪 樵 楊 沫 劉德政 秦 濤

*(湖北文理學院機械工程學院，湖北襄陽 441053)

?(華中科技大學力學系，武漢 430074)

引言

輸流管的振動與可靠性一直是核工業(yè)、航空航天和石油化工等行業(yè)密切關注的重要工程問題.輸流管也被認為是最簡單的流固耦合系統(tǒng),在流體的激勵下管道可發(fā)生豐富的流致振動現(xiàn)象[1-4].為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常會在管道某些位置安裝彈性或剛性約束;在長時間服役后,管道振動可能導致約束發(fā)生松動,從而在管道和約束之間形成間隙.在某些情形下,因技術需求或裝配需要,管道與約束之間可能還預留了一定的間隙.當管道振動的位移達到間隙約束邊緣時,二者就會發(fā)生碰撞.這種非線性碰撞可能降低管道系統(tǒng)的可靠性,大幅縮短結構的使用壽命.現(xiàn)有關于輸流管碰撞振動的研究工作均采用非線性彈簧力來近似描述這種間隙約束力,只能用于模擬管道與間隙之間的柔性碰撞,無法真實地描述剛性碰撞振動的非光滑特征.因此,很有必要針對輸流管的非光滑碰撞振動開展相應的研究工作.

Paidoussis 教授是輸流管動力學領域的集大成者,早期在輸流管數學模型的建立和穩(wěn)定性問題上做了大量開創(chuàng)性的工作[5-7],在具有間隙約束管道的彈性碰撞振動問題上也有較多突破性的研究成果[8-10].Paidoussis 教授先后提出了立方非線性彈簧和修正的三線性彈簧來描述管道與間隙約束之間的碰撞力,他的研究結果表明這兩類模型在管道的柔性碰撞振動方面具有較好的適應性,且理論解和實驗結果在定性上吻合較好[8,11].Sadath 等[12]基于立方非線性彈簧和分段三線性彈簧計算了橫向流激勵下具有多處松動約束懸臂輸流管的非線性碰撞振動行為,分析了彈簧剛度對管道振動分岔行為的影響,揭示了系統(tǒng)經由分岔通往混沌的路徑.Hassan 等[13]提出了一種能描述管道與約束接觸長度和形態(tài)的碰撞力模型,可更真實地描述單點接觸時管道與約束之間碰撞力的分布情況.Hassan 等[14-15]利用線性彈簧和阻尼器建立了U型管與支撐板的碰撞模型,分析了管道發(fā)生流體彈性失穩(wěn)時的碰撞振動響應,探討了約束間隙對碰撞力和接觸率的影響規(guī)律.Azizian[16]系統(tǒng)地研究了輸流管與多種約束模型之間的接觸形式,考慮碰撞中摩擦力的影響,根據實驗測試和工程經驗提出了一種能更準確描述碰撞約束力的模型.張艷雷等[17]分析了脈動內流激勵下懸臂輸流管在立方非線性彈簧約束下的分岔行為和混沌運動,表明大的柔性變形系數可以消除隨流速變化的混沌區(qū)域；在不同流速下，振蕩頻率的分岔情況會有復雜的間歇性混沌的發(fā)生.王乙坤等[18]分析了懸臂輸流管與松動約束發(fā)生三維碰撞振動的平面和非平面運動,研究結果表明在平行板約束下管道可出現(xiàn)直線型、橢圓型和瞬變型3 種運動形態(tài)[19-20].Geng 等[21]采用基于赫茲接觸力模型的碰撞阻尼器分析了懸臂梁發(fā)生多模態(tài)共振時共振峰和共振幅值隨碰撞參數的變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)大質量的碰撞球能較好地抑制懸臂梁的多模態(tài)共振現(xiàn)象,而碰撞間隙的影響則與各階模態(tài)有關,且存在一個抑制多模態(tài)共振的最優(yōu)間隙值.

上述關于輸流管的碰撞振動研究均是基于非線性彈簧力的光滑性碰撞模型.由于碰撞過程中彈簧要經歷壓縮和釋放的過程,故這類碰撞力隨時間是連續(xù)變化的,反映的是光滑性的作用過程.碰撞是一種常見的強非線性現(xiàn)象,碰撞前后存在某些狀態(tài)向量(如位移、速度和加速度等)的突變使系統(tǒng)的響應曲線存在間斷點.因此,剛硬結構之間的碰撞則是一種典型的非光滑現(xiàn)象[22-26].羅冠煒和謝建華[27-28]從非光滑的角度研究了有限自由度碰振系統(tǒng)的周期運動和分岔現(xiàn)象,給出了碰振系統(tǒng)周期解的存在性和穩(wěn)定性的一般分析方法.Yue 等[29]從理論上分析了兩自由度碰振系統(tǒng)的Pitchfork 分岔和Hopf 分岔,給出了碰撞振動的Poincare 映射,揭示了對稱和反對稱不動點的演化路徑.Li 等[30-31]探討了兩自由度碰振系統(tǒng)的周期運動和分岔規(guī)律,并計算了相應的Lyapunov 指數,給出了系統(tǒng)在某參數下會出現(xiàn)混沌運動的理論依據.在連續(xù)體系統(tǒng)的碰撞振動方面,Wagg 等[32]建立了懸臂梁與單點約束的非光滑碰撞振動模型,運用Galerkin 離散,構造系統(tǒng)的碰撞恢復系數矩陣,推導了梁單元在碰撞前后速度的傳遞規(guī)律,其理論預測與實驗結果在定性上具有較好的一致性.

本文將針對脈動內流激勵下簡支輸流管與剛性間隙約束的碰撞振動問題,提出其非光滑動力學數學模型,依據碰撞判別條件和碰撞恢復系數來構建輸流管與剛性約束發(fā)生碰撞前后速度和位移的傳遞矩陣;在此基礎上,重點分析管道的剛性碰撞振動響應行為,并探究剛性間隙約束參數對輸流管碰振行為的影響機制.

1 數學模型

1.1 輸流管理論模型

考慮如圖1 所示的簡支輸流管的剛性間隙約束模型.當橫向位移較大時，固定在彈性管道中點的剛性套環(huán)(藍色)與剛性約束(紅色)會發(fā)生剛性碰撞.本文主要探討管道與剛性約束的正碰撞問題，因此管道被限制在wox平面內運動.圖1(a)為管道未變形的初始狀態(tài)，圖1(b)為管道與約束發(fā)生碰撞接觸的示意圖.圖1 中x為沿管道長度方向的位置坐標，w(x,t)為管道的橫向振動位移，w0為初始的間隙值.管道原長為L，彎曲剛度為EI，材料黏彈性系數為E*，密度為ρp，外徑為do,內徑為di，橫截面積為A，單位長度的質量為m=ρpA.管內不可壓縮流體的密度為ρf，單位長度的質量為M=，流速為U，且隨時間做周期性變化.

圖1 簡支輸流管單點碰撞振動示意圖Fig.1 Schematic of a simply supported pipe subjected to a point impact

根據Euler-Bernoulli 細長梁理論,考慮管道振動時軸線發(fā)生變形引起的幾何非線性因素,可將脈動內流激勵下簡支輸流管的無量綱振動微分方程描述如下[33-34]

式中,無量綱參數定義為

管內流體的無量綱脈動流速u定義為u=u0(1+σ sin ωτ),其中u0為脈動流的平均流速,σ 為脈動流的脈動幅值,ω 為脈動流的脈動頻率.下面采用Galerkin 法對方程(1)進行離散化,即

式中，C為系統(tǒng)的阻尼矩陣,K為剛度矩陣,g()為非線性向量.各矩陣和向量的元素可由下式計算

1.2 碰撞傳遞關系

考慮剛性碰撞的強非線性和瞬時性,本文將忽略管道與剛性約束發(fā)生碰撞過程所經歷的時間[28,32],故可將碰撞前后管道上各點處節(jié)點的位移和速度傳遞關系寫成如下形式

其中,ξb為剛性間隙約束在管道長度方向上的作用位置; τ-表示碰撞前一時刻,τ+表示碰撞后一時刻;r為剛性間隙約束的碰撞恢復系數,用于描述系統(tǒng)非光滑過程的參數.式(5)表示碰撞前后ξ=ξb處碰撞節(jié)點的位移和速度傳遞關系,式(6)表示碰撞前后ξ ≠ ξb處各非碰撞節(jié)點的位移和速度關系; 從式(5b)可知,碰撞前后管道在碰撞點的速度存在跳躍間斷點,這是一種典型的非光滑現(xiàn)象.

對式(4)進行數值積分時,需將管道劃分為P個單元,總節(jié)點數為Q=P+1.將這些節(jié)點從左到右依次編號為1,2,···,Q.由于間隙約束位于管道中點ξb=1/2 處,為了應用狀態(tài)向量的傳遞關系(5)和(6),管道中點處須有一個節(jié)點.考慮到所劃分節(jié)點和單元的對稱性,單元數P須為偶數,相應的總節(jié)點數Q為奇數,且ξb=1/2 處節(jié)點的編號為(Q+1)/2.簡支輸流管在節(jié)點1 和節(jié)點Q將應用簡支梁的邊界條件,則管道上實際發(fā)生振動的自由節(jié)點數為Q-2,自由節(jié)點的編號分別為2,3,···,Q-1.對管道上參與振動的節(jié)點分別應用Galerkin 法離散格式(2),可將剛性間隙約束下管道狀態(tài)向量的關系式(5)和(6)寫成如下格式

為使碰撞節(jié)點ξ=ξb處管道的位移在碰撞瞬間為間隙值d,碰撞后速度變?yōu)榕鲎睬八俣鹊?r倍,且ξ ≠ξb處的單元和節(jié)點由于系統(tǒng)的慣性,在管道發(fā)生橫向振動方向上的位移和速度仍維持碰撞前的狀態(tài)不變.聯(lián)立方程(7a)和(8a),并按Galerkin 法展開如下

式中,i=1,2,···,N為模態(tài)編號,j=(Q+1)/2 為管道中點的碰撞節(jié)點編號.式(9)描述了管道在碰撞前后的廣義位移的傳遞關系,該方程左邊系數矩陣由模態(tài)函數和自由節(jié)點的坐標構成,方程右邊表示管道在發(fā)生碰撞瞬間各點的位移.方程(9)的解即為碰撞發(fā)生后τ+時刻管道的廣義位移.式(9)是N元一次線性方程組,其獨立方程的數量為Q-2,該方程組有唯一解的條件之一是系數矩陣為方陣,故N=Q-2.令

則碰撞前后管道廣義位移的傳遞關系可改寫為

式中,Γ=Φ-1為碰撞前后位移的傳遞矩陣.為得到碰撞前后廣義速度的傳遞關系,聯(lián)立方程(7b)和(8b),應用上述N=Q-2 的推論,將這兩個方程按Galerkin 法展開如下

其中,恢復系數r作用在碰撞節(jié)點j=(Q+1)/2 處.令

則方程(12)可寫成如下形式

式中,Λ=Φ-1RΦ 表示碰撞前后系統(tǒng)速度的傳遞關系，亦即碰撞恢復系數矩陣.聯(lián)立式(11)和式(15),運用四階龍格庫塔法對方程(3)進行積分即可得到輸流管非光滑碰撞振動的動力學響應.

值得一提的是,本文關于碰撞振動狀態(tài)向量的傳遞關系式(11)和式(15)適用于Galerkin 法分析管和梁等結構的非光滑碰撞動力學行為.應用時僅需根據結構的特點(對稱、反對稱)和約束所在的位置,適當地劃分單元,使得間隙約束作用某一節(jié)點上,但須滿足實際發(fā)生振動的自由節(jié)點數等于應用Galerkin 法時所取模態(tài)截斷數的條件.下面將利用式(11)和式(15)研究脈動內流激勵下簡支輸流管與單側剛性間隙約束的碰撞動力學行為,著重討論間隙約束參數對管道非線性碰撞振動響應的影響.

2 無間隙約束時輸流管的流致振動

為驗證本文算法的有效性,并為后文間隙大小的取值提供依據,選取計算參數為:N=5,u=4.5，α=0.005，β=0.64，κ=5000，σ=0.2.經數值計算,得到在沒有間隙約束時管道中點無量綱位移隨無量綱流速脈動頻率的分岔圖,如圖2 所示.該位移分岔圖的計算法則定義為:當管道中點的速度發(fā)生反向時,記錄速度反向前一時刻的位移.若采用N=2 和σ=0.4 作進一步計算,所得管道的動態(tài)響應分岔圖與Wang 等[35]的計算結果完全吻合,這表明本文關于無約束兩端支承輸流管的動態(tài)響應問題的算法是正確的.從計算結果來看,在脈動頻率約為0 ≤ω ≤55 時,管道位移的最大值約為0.046,且只在極少數脈動頻率能達到最大值; 在大部分脈動頻率范圍內,管道的位移均小于0.038.此外，結合文獻[35]的分析結果可知，在4 ＜ω ＜14 頻率范圍內管道主要表現(xiàn)為復雜的非周期運動.由于兩端支承管在定常流速下的失穩(wěn)方式為靜態(tài)屈曲，故在更高頻率值的范圍內管道易出現(xiàn)對稱和反對稱的周期運動，其分岔圖中還可能包含有多周期運動的窗口.

圖2 無間隙約束時管道中點位移隨流速脈動頻率變化的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of the mid-point displacement of the supported pipe without rigid constraint under various pulsating frequencies

在進行Galerkin 法離散化時,若單元數P=2、總節(jié)點數Q=3,則系統(tǒng)的自由節(jié)點數為Q-2=1,此時兩端支承輸流管動力學模型可以簡化成一個單自由度的碰撞振動系統(tǒng).本文采用羅冠煒和謝建華等的方法[27]對該單自由度輸流管系統(tǒng)進行碰撞振動分析,發(fā)現(xiàn)在ω=14，R=0.8 和d=0.035 時管道在雙側對稱剛性約束下出現(xiàn)了典型的2/1 碰振響應(圖3),這在定性上與文獻[27]的結論是一致的,表明本文關于碰撞前后狀態(tài)向量傳遞關系的描述是正確的.

3 剛性約束間隙值的影響

從圖2 結果可知,當ω=10 時管道的響應處于非周期運動狀態(tài),當ω=20 時管道處于周期運動狀態(tài).因此,本文選擇性地取這兩種典型運動狀態(tài)下的頻率值來初步分析約束間隙對管道動力學響應的影響規(guī)律.典型的計算結果如圖4 所示,其中恢復系數r=0.9.

圖3 ω=14,R=0.8,d=0.035 時管道單自由度系統(tǒng)的碰撞振動響應Fig.3 Vibro-impact response of a single-degree-of-freedom system of the pipe with ω=14,R=0.8 and d=0.035

圖4 管道中點位移隨間隙值變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams of the mid-point displacement of the supported pipe under various gap distances

計算結果顯示,當ω=10 時,較小的間隙值(0 ≤d≤0.025)會抑制管道原有的振動,此時管道可能粘連在剛性約束上; 隨著間隙值的增大(0.026 ≤d≤0.046),管道可發(fā)生復雜的振動行為,故在分岔圖中顯示為密集的散點.當間隙值取為0.038 ≤d≤0.046 范圍時,因管道位移最大值約為0.038,故管道與剛性約束之間的碰撞很弱或不再發(fā)生接觸.當ω=20 時,較小的間隙值如0 ≤d≤0.027 仍可使管道粘貼在剛性約束上而不出現(xiàn)振動; 當間隙值在0.028 ≤d≤0.035 范圍時,管道會發(fā)生復雜的振動行為,并在更大的間隙值時逐漸演化為周期1 運動形態(tài); 在0.036 ≤d≤0.04 范圍內,管道將維持周期1 碰撞振動; 當間隙值繼續(xù)增大到0.04 ≤d≤0.046 范圍時,因間隙值較大,管道將不再與剛性約束發(fā)生碰撞.上述列出的各種動力學現(xiàn)象表明,約束間隙值對管道的動態(tài)響應行為影響十分明顯,較小的約束間隙值可抑制管道的振動,中等大小的間隙值會導致復雜的運動形態(tài),較大的間隙值則不會發(fā)生碰撞.

基于圖4 的計算結果,選取兩個間隙值(d=0.03 和d=0.035)來分析管道的剛性碰撞振動行為隨脈動頻率的變化情況,以進一步揭示間隙值對管道動力學響應的影響規(guī)律.圖5 和圖6 分別給出了這兩種間隙值下管道中點的位移和速度隨管內流體脈動頻率變化的分岔圖.其中,速度分岔圖的計算法則為:當管道與約束發(fā)生碰撞時η(ξb,τ+)=d,記錄碰撞前一時刻的速度˙η(ξb,τ-).從該計算法則可知,速度分岔圖主要反映管道與剛性約束間發(fā)生碰撞的次數,從而反映出管道與約束的周期和非周期性的碰撞振動行為.

圖5 管道中點位移和速度隨脈動頻率變化的分岔圖,d=0.03Fig.5 Bifurcation diagrams of the mid-point displacement and velocity of the supported pipe under various pulsating frequencies,for d=0.03

圖6 管道中點位移和速度隨脈動頻率變化的分岔圖,d=0.035Fig.6 Bifurcation diagrams of the mid-point displacement and velocity of the supported pipe under various pulsating frequencies,for d=0.035

從圖5 的管道中點位移和速度分岔圖可知,d=0.03 時在較寬的脈動頻率范圍內,即3 ≤ω ≤24.6，35.1 ≤ω ≤40.4，52.1 ≤ω ≤54.4,管道均處于非周期運動狀,表現(xiàn)為一種無序的碰撞振動狀態(tài);在24.7 ≤ ω ≤ 35 范圍里,管道振動行為與無間隙約束時保持一致(見圖2),速度分岔圖則顯示此時管道與約束不發(fā)生接觸; 在較高脈動頻率值區(qū)域內(43.8 ≤ ω ≤ 52),管道與間隙約束仍可粘連在一起而不發(fā)生振動.不過,在某些較高脈動頻率值的參數范圍(如40.5 ≤ ω ≤ 43.7)里,管道在一個運動周期內可出現(xiàn)多次碰撞振動的情形.從圖6 可發(fā)現(xiàn),當d=0.035 時,管道發(fā)生非周期性碰撞振動的頻率區(qū)間比d=0.03 的要窄,而發(fā)生周期性多次碰撞振動的脈動頻率范圍顯著增寬(如15.3 ≤ω ≤20.5 和35.6 ≤ω ≤46.3);當20.6 ≤ω ≤24.6 或46.7 ≤ω ≤49.1 時,管道與約束發(fā)生復雜的多次碰撞.從上述關于圖5 和圖6 的分析可知,若一個振動周期內出現(xiàn)多次碰撞,其碰撞振動次數通常會隨著脈動頻率的增大而逐漸增多.當運動管道遇到固定的剛性約束時,加速度方向保持不變,碰撞前的速度經由多次碰撞逐漸減小到零(如圖6 中20.4 ≤ω ≤24.7的情形),此時管道發(fā)生了黏滑運動[36].這種黏滑運動是非光滑系統(tǒng)不同于光滑系統(tǒng)的動力學現(xiàn)象之一.

為了更直觀地觀察管道在某些脈動頻率激勵下的動態(tài)響應,圖7 描繪了4 種不同脈動頻率取值時管道振動的相圖和Poincare 映射圖.其中，Poincare 映射的法則為:每經歷一個脈動激勵周期,記錄當前時刻管道中點的位移和速度.根據Poincare 映射點的分布形態(tài)可以判斷此時管道的運動狀態(tài)(如周期,概周期和混沌等).圖7(a)和圖7(c)分別給出了d=0.03，ω=38 和d=0.035，ω=10 時管道的動態(tài)響應,此時的Poincare 映射圖為一系列離散點構成且具有分形結構的奇異吸引子,表明此時管道的非周期碰撞振動狀態(tài)是混沌運動.圖7(b)和圖7(d)分別顯示了d=0.03,ω=43和d=0.035，ω=42 時管道的動態(tài)響應,此時管道處于周期1運動狀態(tài).從圖7(b)的Poincare 映射圖可看到5 個映射點,而圖7(d)中則只有4 個映射點; 從映射法則可知,映射點的數量代表經歷的脈動周期數,故二者是不同類型的周期性碰撞振動.由圖5(b)和圖6(b)的速度分岔圖可知,在這兩個脈動頻率下,管道與剛性約束均發(fā)生了4 次碰撞.由文獻[27]可進一步發(fā)現(xiàn),圖7(b)是4/5 的周期碰撞振動,而圖7(d)是4/4 的周期碰撞振動,這也是非光滑碰振系統(tǒng)特有的現(xiàn)象之一.

圖7 管道中點運動的相圖(藍色線)和Poincare 映射(紅色點)Fig.7 Phase portrait(blue line)and Poincare map(red point)of the mid-point of the pipe

圖7 管道中點運動的相圖(藍色線)和Poincare 映射(紅色點)(續(xù))Fig.7 Phase portrait(blue line)and Poincare map(red point)of the mid-point of the pipe(continued)

4 碰撞恢復系數的影響

為了探究恢復系數對管道碰撞振動行為的影響,約束間隙值取為d=0.035,其他參數值保持不變.圖8 給出了恢復系數r=0.8，r=0.7 和r=0.6 時管道中點位移和速度的響應隨脈動頻率變化的分岔圖.與圖6 中r=0.9 的分岔圖對比可看出,隨著恢復系數的降低,復雜的非周期碰撞振動所對應的脈動頻率區(qū)間顯著增大,周期性碰撞振動的脈動頻率范圍大幅縮小.由此可見,對本文所研究的碰撞振動系統(tǒng),較小的恢復系數極大地增加了系統(tǒng)出現(xiàn)不規(guī)則碰撞振動現(xiàn)象的可能性,而較大的恢復系數有助于使系統(tǒng)在較寬的頻率范圍內處于周期性碰撞振動狀態(tài),可一定程度上抑制混沌運動的出現(xiàn).

圖8 管道中點位移和速度隨脈動頻率變化的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagrams of the mid-point displacement and velocity of the supported pipe under various pulsating frequencies

圖8 管道中點位移和速度隨脈動頻率變化的分岔圖(續(xù))Fig.8 Bifurcation diagrams of the mid-point displacement and velocity of the supported pipe under various pulsating frequencies(continued)

5 結論

本文基于非光滑理論建立了簡支輸流管與剛性間隙約束的碰撞振動模型,構造了碰撞前后系統(tǒng)狀態(tài)向量的傳遞矩陣,分析了在脈動內流激勵下管道與剛性間隙約束的碰撞振動行為,討論了間隙約束間隙值和碰撞恢復系數對管道動態(tài)響應的影響.研究結果表明,較小的約束間隙值會使管道粘連在剛性約束上,即不出現(xiàn)振動;較大的約束間隙值可使管道隨流速脈動頻率的變化而演化出規(guī)律的多周期運動和復雜的非周期碰撞振動; 約束間隙值的大小還會顯著影響出現(xiàn)非周期性碰撞振動的流速脈動頻率范圍.碰撞恢復系數對管道周期和非周期性碰撞振動的影響也十分顯著,較高的恢復系數值有利于使管道處于周期性碰撞振動狀態(tài),而較小的恢復系數值則容易使系統(tǒng)在更寬的脈動頻率范圍內出現(xiàn)非周期性的碰撞振動.此外,本文研究工作還觀察到輸流管剛性碰撞時的黏滑現(xiàn)象,這是有別于以往輸流管彈性碰撞振動研究結果的新的非光滑動力學特征.