一類Duffing 型系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)混沌和Fold/Fold 簇發(fā)現(xiàn)象及機(jī)理分析1)

陳婭昵 孟文靜 錢有華

(浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，浙江金華 321004)

引言

在非線性動(dòng)力學(xué)中有一類問(wèn)題中有一些參數(shù)隨著時(shí)間的推移而緩慢變化，造成了在同一個(gè)系統(tǒng)中存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的時(shí)間尺度，這也被稱為多時(shí)間尺度問(wèn)題[1-3].多時(shí)間尺度問(wèn)題具有廣泛的應(yīng)用背景，包括生物網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的神經(jīng)放電模式[4]、金屬氧化反應(yīng)等.但由于其復(fù)雜性，很難用準(zhǔn)靜態(tài)解、奇異攝動(dòng)法等來(lái)研究其解析解，一般只能得到近似的數(shù)值解，因此數(shù)值分析的方法應(yīng)運(yùn)而生.通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)多時(shí)間尺度相比于單一的時(shí)間尺度具有更復(fù)雜的系統(tǒng)表現(xiàn)，如混合模式振蕩[5-10].

混合模振蕩又稱簇發(fā)振蕩，是一種復(fù)雜的振蕩模式，它的特征是小振幅振蕩和大振幅振蕩的結(jié)合，可以用快速和緩慢的子系統(tǒng)來(lái)描述.當(dāng)系統(tǒng)處于小幅度振蕩時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出靜息狀態(tài)；當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)相關(guān)分岔點(diǎn)時(shí)會(huì)突然失去平衡，進(jìn)入大幅度振蕩，此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出活躍態(tài).隨著慢變量的引導(dǎo)，系統(tǒng)又會(huì)從不平衡走向平衡，由活躍態(tài)走向靜息態(tài)，振幅也從大幅度的振蕩變?yōu)樾》鹊恼袷?，而一旦達(dá)到分岔點(diǎn)時(shí)，會(huì)類似地出現(xiàn)之前的現(xiàn)象.此時(shí)的系統(tǒng)就是在靜息態(tài)和活躍態(tài)之間不停地跳躍，稱為混合模式振蕩.

混合模式振蕩也會(huì)出現(xiàn)在快慢耦合系統(tǒng)中.Rinzel[11]提出了利用凍結(jié)子系統(tǒng)的方法來(lái)解釋混合模式振蕩的想法，這就是我們所知道的快慢分析，它的應(yīng)用取得了很大的效果.在Izikevich[12]的工作中，創(chuàng)建了混合模式振蕩的分類.在快速慢分析的基礎(chǔ)上，在研究多時(shí)間尺度的系統(tǒng)中，眾多學(xué)者研究了快慢系統(tǒng)中混合模式振蕩出現(xiàn)的機(jī)理.例如：Qian 等[13]研究了含兩個(gè)慢變量的耦合系統(tǒng)的混合振蕩模式，討論了不同時(shí)間尺度下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為以及時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)行為的影響；Qian 等[14]研究了單參數(shù)激勵(lì)和雙參數(shù)激勵(lì)下的兩自由度非線性耦合的Duffing 方程，利用快慢分析方法對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行離散，通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，并討論了相關(guān)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)行為；Han 等[8]使用緩慢參數(shù)和外部激勵(lì)來(lái)模擬兩個(gè)緩慢變化的周期參數(shù)，并研究了不同時(shí)間尺度下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題；Zhang 等[15]使用雙穩(wěn)態(tài)不對(duì)稱復(fù)合材料層合板對(duì)兩個(gè)慢參數(shù)激勵(lì)的系統(tǒng)以及動(dòng)態(tài)跳躍現(xiàn)象進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和理論分析，提出了一種利用時(shí)變?cè)砬拭枋鲭p穩(wěn)態(tài)非對(duì)稱層合板動(dòng)態(tài)切換現(xiàn)象的新方法；Chen 等[16]展現(xiàn)了具有周期激勵(lì)的耦合振蕩器的弛豫振蕩，以典型分叉模式為例，討論了外激勵(lì)變化對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，在靜止?fàn)顟B(tài)和重復(fù)尖峰振蕩之間交替可以得到簇發(fā)振蕩；Li 等[17]在具有緩慢周期性參數(shù)激勵(lì)的Duffing 振蕩器中，通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)了一種稱為周期混沌運(yùn)動(dòng)的新型響應(yīng)，稱為不動(dòng)點(diǎn)混沌；Lin 等[18]研究了一種簡(jiǎn)單的三元記憶電路周期簇發(fā)振蕩的分岔機(jī)理；Wang 等[19]也研究了簡(jiǎn)單的自主記憶電路，分析了其對(duì)稱性、耗散性和平衡穩(wěn)定性.茍向鋒等[20]基于參數(shù)平面的耦合研究了單自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)安全盆侵蝕與分岔；畢勤勝等[21-22]討論了不同系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩及其分岔行為；張正娣等[23-24]對(duì)于幾類非光滑的系統(tǒng)進(jìn)行了簇發(fā)振蕩分析；Han 等[25-26]對(duì)Duffing 系統(tǒng)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)了時(shí)滯周轉(zhuǎn)引起的新的簇發(fā)振蕩類型，叉式翻轉(zhuǎn)遲滯簇發(fā)振蕩以及復(fù)合叉式遲滯簇發(fā)振蕩.

本文通過(guò)構(gòu)造參數(shù)空間來(lái)解釋簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理.下面簡(jiǎn)述這一理論的發(fā)展過(guò)程.

Rinzel 等[11,27]是第一個(gè)利用“解剖”方法來(lái)研究快慢系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩，他認(rèn)為簇發(fā)振蕩取決于所遇到的分岔，即通過(guò)研究慢變量經(jīng)歷不同分岔時(shí)產(chǎn)生的躍遷可以對(duì)簇發(fā)振蕩行為進(jìn)行分類.1995 年，Bertram 等[28]研究了Chay-Cook 模型的兩參數(shù)分岔圖，他們發(fā)現(xiàn)這可以看成是三參數(shù)焦點(diǎn)型退化Takens-Bogdanov 奇點(diǎn)展開(kāi)的一個(gè)切片.2000 年，Izhikevich[12]發(fā)現(xiàn)簇發(fā)振蕩開(kāi)始和偏移時(shí)的不同位置會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)響應(yīng)發(fā)生質(zhì)的變化.并且基于起始/偏移分岔對(duì)來(lái)編譯可能的簇發(fā)振蕩分類法.2008 年，Stern 等[29]發(fā)現(xiàn)其中一種亞臨界Hopf 簇發(fā)振蕩，它不在余維三奇點(diǎn)展開(kāi)中出現(xiàn).2016 年，Osinga 等[30]，研究了生物學(xué)和數(shù)學(xué)的交叉流：偽高原簇發(fā)的余維.在一個(gè)立方Li′enard 系統(tǒng)的分岔中，發(fā)現(xiàn)Fold/homoclinic 簇發(fā)振蕩與Fold/subHopf 簇發(fā)振蕩具有非常相似的潛在分岔圖，但它不是余維三的，因此可以預(yù)測(cè)具有余維四.最后通過(guò)展示了一個(gè)雙退化的Bodganov-Takens 點(diǎn)的部分展開(kāi)中識(shí)別出一個(gè)三維切片，并證明這個(gè)余維四奇異性導(dǎo)致了幾乎所有已知的簇發(fā)振蕩類型.2017 年，Saggio 等[31]提出幾乎可以產(chǎn)生所有種類的簇發(fā)振蕩模型，模型包含兩個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)于快子系統(tǒng)，可使用高余維奇點(diǎn)平面展開(kāi).在分岔圖中，可以確定簇發(fā)振蕩所需穿過(guò)正確分岔序列的路徑.而慢子系統(tǒng)沿路徑來(lái)回引導(dǎo)快子系統(tǒng).

本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，針對(duì)一類含有兩個(gè)慢變量的系統(tǒng)使用數(shù)值模擬的方法研究了在參數(shù)較大的情況下產(chǎn)生的分岔.本文使用數(shù)值模擬和基于參數(shù)空間的理論分析研究了在參數(shù)較小的情況下系統(tǒng)存在雙穩(wěn)態(tài)和Fold/Fold 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，并為控制該系統(tǒng)得到簇發(fā)振蕩現(xiàn)象提供了參考數(shù)據(jù).其中對(duì)參數(shù)大小的界定標(biāo)準(zhǔn)如下：以1 為界，若參數(shù)大于1，認(rèn)為它是較大的；小于1，則認(rèn)為它是較小的.

1 不動(dòng)點(diǎn)混沌

在這一部分我們主要分析了一類含有兩個(gè)慢變量的Duffing 系統(tǒng)在參數(shù)較大情況下的動(dòng)力學(xué)行為.通過(guò)數(shù)值模擬，得到了系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖和相位圖.研究表明系統(tǒng)存在不動(dòng)點(diǎn)混沌，并且隨著參數(shù)的變化，不動(dòng)點(diǎn)混沌會(huì)表現(xiàn)為單支存在或者雙支合并形式.之后本文進(jìn)一步解釋了系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)混沌產(chǎn)生的機(jī)理.

考慮如下系統(tǒng)

其中，μ1=β1cos(ω1t),μ2=β2cos(ω2t).β1,β2表示振幅，v表示阻尼系數(shù)，ω1,ω2表示頻率，v,β1,β2被認(rèn)為是擾動(dòng)參量.文獻(xiàn)[15]對(duì)該系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)了雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并從理論上解釋了雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象及動(dòng)態(tài)跳躍現(xiàn)象.

首先假設(shè)a=0，則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

對(duì)于系統(tǒng)(2)，為不失一般性，選擇β1,β2＞0 并假設(shè)ω1=ω2=ω.由于剛度和外激勵(lì)項(xiàng)是周期性時(shí)變的，因此它在一個(gè)半周期是正的，在另一個(gè)半周期是負(fù)的.由于剛度和外激勵(lì)項(xiàng)的周期性時(shí)變性，導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生高度復(fù)雜和不尋常的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，包括周期混沌運(yùn)動(dòng)的新現(xiàn)象.

固定β1=0.1，β2=6.257 5，v=0.3 時(shí)，當(dāng)ω=0.7 和ω=0.135 5 時(shí)，混沌吸引子存在，如圖1 和圖2 所示.

文獻(xiàn)[17]介紹了不動(dòng)點(diǎn)混沌，這是一種新的混沌現(xiàn)象.它的典型特點(diǎn)是存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).對(duì)于ω ?1，系統(tǒng)具有兩個(gè)不同的時(shí)間尺度，一個(gè)是快時(shí)間尺度，一個(gè)是慢時(shí)間尺度.當(dāng)ω=0.135 5，β1=0.1，β2=3.3，v=0.3 時(shí)，兩個(gè)混沌吸引子共存.這些吸引子的最大Lyapunov 指數(shù)是正的，表明它們確實(shí)是混沌的.而當(dāng)β2改變時(shí)，兩個(gè)共存的吸引子會(huì)分開(kāi)，出現(xiàn)單獨(dú)左支或者單獨(dú)右支的情況.下面保持其他參數(shù)不變，而只改變?chǔ)?分別為2.0 和2.7.

圖1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，當(dāng)ω 分別取0.7 和0.135 5 時(shí)系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出混沌吸引子Fig.1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，system(2)shows chaotic attractors when ω=0.7 and ω=0.135 5,respectively

圖1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，當(dāng)ω 分別取0.7 和0.135 5 時(shí)系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出混沌吸引子(續(xù))Fig.1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，system(2)shows chaotic attractors when ω=0.7 and ω=0.135 5,respectively(continued)

圖2 ω=0.1355,β1=0.1,v=0.3，系統(tǒng)(2)在β2=2.0 時(shí)表現(xiàn)出單獨(dú)左支行為，在β2=2.7 時(shí)表現(xiàn)出單獨(dú)右支行為Fig.2 ω=0.1355,β1=0.1,v=0.3，system(2)shows the behaviors of left branch alone with β2=2.0 and right branch alone with β2=2.7

為進(jìn)一步研究不動(dòng)點(diǎn)混沌的機(jī)理，討論了快慢系統(tǒng)的分岔行為.對(duì)于ω ? 1，周期激勵(lì)μ1=β1cos(ωt)，μ2=β2cos(ωt)分別在[-β1,β1]和[-β2,β2]之間變化緩慢.將μ1,μ2近似地視為一個(gè)常數(shù)，并將cos(ωt)用作自治系統(tǒng)的分岔參數(shù).

系統(tǒng)(2)的靜態(tài)平衡解滿足

當(dāng)cos(ωt) ＜ 0 時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)；當(dāng)cos(ωt) ＞0 時(shí)，平衡解由于發(fā)生分岔而失穩(wěn)，產(chǎn)生了一對(duì)對(duì)稱穩(wěn)定的分岔解，；因此pitchfork 分岔發(fā)生在cos(ωt)=0，記為PF.圖3給出了系統(tǒng)的離散分岔圖.

圖3 β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3 時(shí)系統(tǒng)(2)的離散分岔圖Fig.3 Discrete bifurcation diagram of system(2)when β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3

取β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3 來(lái)說(shuō)明不動(dòng)點(diǎn)混沌機(jī)理.圖3 顯示了規(guī)則運(yùn)動(dòng)和混沌變化的過(guò)程.與上圖對(duì)應(yīng)，我們可以看到，A所在的地方是未被紅色區(qū)域覆蓋，此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)是靜默的.在A的右側(cè)，已被紅色覆蓋，A可以跳躍到上分支或者是下分支，變成了尖峰狀態(tài).因此點(diǎn)A是靜止?fàn)顟B(tài)到尖峰狀態(tài)的轉(zhuǎn)換點(diǎn).隨著激勵(lì)的增大，系統(tǒng)在穩(wěn)定分支的周圍擁有尖峰狀態(tài).當(dāng)激勵(lì)達(dá)到最大值，它們開(kāi)始改變方向，并在同一穩(wěn)定分支上移動(dòng)，隨著激勵(lì)的減小而停留在靜默狀態(tài).當(dāng)軌跡到達(dá)分岔點(diǎn)PF時(shí)，它可能被左穩(wěn)定點(diǎn)吸引，并開(kāi)始接近穩(wěn)定平衡點(diǎn).激勵(lì)達(dá)到最小值，它處于D點(diǎn).此時(shí)，它重新向A點(diǎn)移動(dòng)，通過(guò)平衡點(diǎn)(0，0).然后平衡點(diǎn)(0，0)變得不穩(wěn)定，逐漸到達(dá)B點(diǎn).在軌跡集合中顯示的隨機(jī)性很可能是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)被吸引到穩(wěn)定平衡(0，0)時(shí)，響應(yīng)變量x和y是非零的并且很小.在數(shù)值計(jì)算或?qū)嶒?yàn)中，這樣的小數(shù)字實(shí)際上是隨機(jī)的.因此，離開(kāi)平衡(0，0)的軌跡在每個(gè)周期都有不同的初始條件.對(duì)該系統(tǒng)中的初始條件的敏感性顯然是混沌的一種性質(zhì)，所以構(gòu)成了一個(gè)混沌運(yùn)動(dòng).圖4 中顯示的最大Lyapunov 指數(shù)從0.3 變化到小于0.01.它顯示了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，暗示了系統(tǒng)的復(fù)雜性.因此，我們對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了一系列的數(shù)值研究.圖4 也說(shuō)明了這一點(diǎn)，當(dāng)最大Lyapunov 指數(shù)大于0 時(shí)，表示系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象.

圖4 β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3 時(shí)系統(tǒng)(2)的最大Lyapunov 指數(shù)Fig.4 Maximum lyapunov exponent of system(2)when β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3

2 Fold/Fold 簇發(fā)振蕩

在這一部分，主要考慮系統(tǒng)(2)中當(dāng)兩個(gè)慢變量的振幅β1＜1,β2＜1 時(shí)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.系統(tǒng)(2)來(lái)源于文獻(xiàn)[15].文獻(xiàn)[15]從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面研究了雙穩(wěn)態(tài)不對(duì)稱層合板在外激勵(lì)的作用下的動(dòng)態(tài)跳躍現(xiàn)象和非線性振動(dòng)行為，并且發(fā)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)不對(duì)稱層合板在位于中間的不穩(wěn)定平衡位置時(shí)附近會(huì)有兩個(gè)穩(wěn)定態(tài)振動(dòng)，分別位于上穩(wěn)定態(tài)分支或下穩(wěn)定態(tài)分支.如圖5 所示.當(dāng)系統(tǒng)從一穩(wěn)定分支跳躍到另一穩(wěn)定分支時(shí)，它就會(huì)產(chǎn)生出文獻(xiàn)[15]所說(shuō)的動(dòng)態(tài)跳躍現(xiàn)象，從理論上分析也就是Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.本文對(duì)文獻(xiàn)[15]中的系統(tǒng)考慮了不同參數(shù)的情況.

在快慢系統(tǒng)中，會(huì)產(chǎn)生一系列的簇發(fā)振蕩、尖峰和靜止的周期性變化.其中，一個(gè)或多個(gè)慢變量通過(guò)一系列分岔傳遞快變量，這些分岔介入導(dǎo)致振蕩和穩(wěn)態(tài)之間的轉(zhuǎn)換.在以往的研究中發(fā)現(xiàn)折疊分岔是余維一的，而兩個(gè)折疊分岔曲面相交會(huì)形成二余維的尖點(diǎn)，如圖6 所示.本文通過(guò)折疊分岔來(lái)解釋Fold/Fold 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.

圖5 雙穩(wěn)態(tài)不對(duì)稱層合板與動(dòng)態(tài)跳躍現(xiàn)象Fig.5 Bistable unsymmetrical composite square panel and dynamic fracture phenomenon

圖6 以單位球面為邊界的分岔Fig.6 Bifurcation with unit sphere as boundary

此時(shí)系統(tǒng)寫(xiě)作快慢系統(tǒng)形式

其中

現(xiàn)在將系統(tǒng)視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它受到作用在兩個(gè)垂直方向μ1，μ2軸上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，此時(shí)這兩個(gè)分振動(dòng)可以表示為

其中，ω1:ω2=1 :2，φ1-φ2=π.可以給出軌跡方程如下

此時(shí)任意的β1，β2，a都會(huì)產(chǎn)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，見(jiàn)圖7.下面將詳細(xì)介紹系統(tǒng)是如何運(yùn)動(dòng)的.

在這里可以將相圖與時(shí)間歷程圖對(duì)應(yīng)起來(lái)解釋更微觀的情況.圖7 顯示了簇發(fā)振蕩，當(dāng)β1=0.38,ω=0.03,v=0.1 時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，在這里可以發(fā)現(xiàn)，吸引子在兩個(gè)平衡點(diǎn)F1，F(xiàn)2附近振蕩.F1位于平衡上分支，F(xiàn)2位于平衡下分支.其中的兩段尖峰振蕩分別對(duì)應(yīng)于平衡點(diǎn)附近，被平衡點(diǎn)F1，F(xiàn)2之間的跳躍運(yùn)動(dòng)所連接.在時(shí)間歷程圖上，發(fā)現(xiàn)軌跡可以在兩個(gè)重復(fù)的尖峰振蕩S P+，S P-之間跳躍，這一運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的.從更深層次的來(lái)看，重復(fù)尖峰振蕩的頻率在改變，那是因?yàn)橄嚓P(guān)平衡點(diǎn)在平衡分支上的位置變化，造成了特征值的變化，使得S P±隨著慢變參量ω 的變化而變化.

圖7 Fold/Fold簇發(fā)振蕩的疊加圖、相圖和時(shí)間歷程圖Fig.7 Composition diagram,phase diagram and time history diagram of Fold/Fold bursting

文獻(xiàn)[16]表示重復(fù)尖峰狀態(tài)可能圍繞F1振蕩，平衡點(diǎn)可能從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，尖峰行為可以主要由具有較小實(shí)部的相關(guān)特征值來(lái)決定.

假設(shè)系統(tǒng)從下分支上的某一點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，它沿著S 型曲線緩慢向右側(cè)移動(dòng)，直到到達(dá)折疊點(diǎn)，它突然從下分支跳躍到上分支，并且圍繞上平衡分支F1開(kāi)始大幅振蕩，表現(xiàn)為S P+.隨著慢變參數(shù)的增大，振蕩逐漸減弱.直到慢變參數(shù)到達(dá)1，系統(tǒng)開(kāi)始反向運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入弛豫振蕩狀態(tài)，最后進(jìn)入靜息態(tài)，隨著慢變參數(shù)的不斷減小，系統(tǒng)到達(dá)另一個(gè)折疊點(diǎn)，并且在此時(shí)從上分支突然跳躍到下分支，開(kāi)始圍繞F2進(jìn)行大幅振蕩，表現(xiàn)為S P-.振蕩逐漸減弱，直到慢變參數(shù)到達(dá)-1，系統(tǒng)開(kāi)始反向運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入弛豫振蕩狀態(tài)，最后進(jìn)入靜息態(tài).如此循環(huán).這就構(gòu)成了一個(gè)周期完整的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

該簇發(fā)振蕩的類型可以稱為對(duì)稱周期性Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，因?yàn)榇藭r(shí)的系統(tǒng)穿過(guò)路徑曲線的位置是對(duì)稱的.

然后解釋?duì)?,β2,a的任意性不改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.使用一條曲線路徑，軌跡的形狀如圖8(a)所示.為了方便觀察雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行歐拉離散，得到圖8(b).可以看出圖8(b)存在兩條分支，如果沒(méi)有Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，離散后的分岔圖只會(huì)有一條曲線.當(dāng)a=0 時(shí)，它有一個(gè)點(diǎn)(0,β2)始終在μ2軸的上方，而規(guī)定了β2必須大于0，這也就解釋了在0 ＜β1＜1，0 ＜β2＜1 的情況下，無(wú)論β1，β2的取值為多少，都不影響Fold/Fold 簇發(fā)振蕩產(chǎn)生.并且，此時(shí)的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩是對(duì)稱的.

圖8 對(duì)應(yīng)的路徑與離散分岔圖Fig.8 The corresponding path and dispersed bifurcation diagram

其次，考慮a的變化會(huì)帶來(lái)什么影響，此時(shí)，鞍結(jié)曲面的位置由.路徑方程變成為

相當(dāng)于原路徑向上平移了a個(gè)單位，路徑與鞍結(jié)曲面必然會(huì)相交，只需要保證是在有效范圍內(nèi)相交即可.又由于任意a∈(0,1)都滿足0 ＜μ2＜1.這也解釋了無(wú)論a為何值，在上述的路徑下，這并不影響系統(tǒng)從一側(cè)曲面穿到另一側(cè)曲面.更多關(guān)于不同頻率比與相位差的情況，如表1 所示.

表1 β1=0.38,β2=0.34 三種情況下的分岔圖Tabel 1 Three bifurcation diagrams in case of β1=0.38,β2=0.34

3 當(dāng)a ≠0 時(shí)，F(xiàn)old/Fold 簇發(fā)振蕩的出現(xiàn)與消失

在上一部分中主要介紹了系統(tǒng)(2)的相關(guān)簇發(fā)振蕩，結(jié)合時(shí)間歷程圖、相位圖、疊加圖仔細(xì)地說(shuō)明了系統(tǒng)是如何運(yùn)動(dòng)的.通過(guò)參數(shù)空間的展開(kāi)理論和路徑說(shuō)明了系統(tǒng)(2)發(fā)生簇發(fā)振蕩的原因，以及在不同參數(shù)下系統(tǒng)的不同行為.在這一部分，介紹新增的常系數(shù)項(xiàng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為帶來(lái)什么影響.先通過(guò)數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)了一種現(xiàn)象，之后進(jìn)一步揭示這一現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理.

考慮當(dāng)a≠0 時(shí)對(duì)簇發(fā)振蕩產(chǎn)生什么影響.固定β1=0.38，ω=0.03，β2=0.80，當(dāng)a從0.22 變化到0.23 時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生巨大的變化.

由圖9 可以看出在a=0.22 時(shí)，時(shí)間歷程圖表示了簇發(fā)振蕩的存在，而當(dāng)a=0.23 時(shí)，時(shí)間歷程圖由原來(lái)的兩段振蕩變成了只有上部分的細(xì)微振蕩，此時(shí)簇發(fā)振蕩已經(jīng)消失.使用線性路徑解釋常系數(shù)項(xiàng)a的出現(xiàn)卻會(huì)帶來(lái)Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

圖9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1，系統(tǒng)(1)的時(shí)間歷程圖當(dāng)a=0.22 時(shí)表現(xiàn)出簇發(fā)振蕩，當(dāng)a=0.23 時(shí)簇發(fā)振蕩消失Fig.9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1,time history diagram of system(1)showing the bursting oscillation with a=0.22 and bursting oscillations disappear with a=0.23

圖9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1，系統(tǒng)(1)的時(shí)間歷程圖當(dāng)a=0.22 時(shí)表現(xiàn)出簇發(fā)振蕩，當(dāng)a=0.23 時(shí)簇發(fā)振蕩消失(續(xù))Fig.9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1,time history diagram of system(1)showing the bursting oscillation with a=0.22 and burstingoscillations disappear with a=0.23(continued)

事實(shí)上，若沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)路徑方程為

此時(shí)路徑表現(xiàn)為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的線性函數(shù)，無(wú)論如何，都不會(huì)實(shí)現(xiàn)從一側(cè)曲面穿越到另一側(cè)曲面.若增加了常系數(shù)項(xiàng)，則為從一側(cè)曲面穿越到另一側(cè)曲面提供了可能的路徑，僅在二維空間角度考慮，我們有線性路徑

當(dāng)β1=0.38,β2=0.80,a=0.22 時(shí)，路徑為μ2=2.11μ1+0.22，此時(shí)正處于臨界狀態(tài).路徑經(jīng)過(guò)鞍結(jié)曲線的一側(cè)，但與另一側(cè)相切，也就是恰好沒(méi)有經(jīng)過(guò)，此時(shí)若控制a＜0.22，路徑會(huì)穿過(guò)左右兩側(cè)的曲線，可以實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

4 多重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩

本節(jié)將討論當(dāng)μ1=β1cos(nθ)而μ2=β2cos(θ)時(shí)會(huì)產(chǎn)生什么現(xiàn)象，并且給出了不同現(xiàn)象背后的原因.此時(shí)系統(tǒng)變成如下形式

此處，令cos(nθ)=fn(cos θ)，使用結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)和de Moivre 公式，可以得到

當(dāng)n=3 時(shí)，代入cos(3θ)=4 cos3θ-3 cos θ，可以得到路徑方程為

此時(shí)的路徑關(guān)于μ2=a成中心對(duì)稱.選用不同的參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)該路徑與鞍結(jié)曲面交點(diǎn)個(gè)數(shù)的不同，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為最高可以表現(xiàn)出三重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.固定β1=0.436,β2=0.327,ω=0.03，v=0.1 通過(guò)改變參數(shù)a來(lái)實(shí)現(xiàn)不同重?cái)?shù)的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.a=0.5 的時(shí)間歷程圖、疊加圖和路徑圖如圖10 所示.

在圖10 中的時(shí)間歷程圖中，陰影部分表示一個(gè)周期內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為，黑色方框表示這個(gè)周期內(nèi)發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.可以很明顯看出，當(dāng)a=0.5 時(shí)系統(tǒng)發(fā)生三次Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.隨著a的減小，系統(tǒng)的“1,2,3”振蕩會(huì)出現(xiàn)不同程度的變化.當(dāng)a=0.2 時(shí)，系統(tǒng)將只發(fā)生兩次Fold/Fold簇發(fā)振蕩，與a=0.5 相比，振蕩“1,2”的差別不大，但是振蕩“3”會(huì)明顯減弱.當(dāng)a=-0.1 時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)再次改變，與前兩者相比，振蕩“1”的差別不大，振蕩“2”明顯減弱，而振蕩“3”幾乎不顯示振蕩行為.最后當(dāng)a=-0.5 時(shí)，振蕩“1,2,3”幾乎都會(huì)消失了，此時(shí)沒(méi)有發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.其中振蕩“3”消失的最為徹底，其次是振蕩“2”，振蕩“1”還殘存著微弱的振蕩.

圖10 對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖、疊加圖、路徑圖Fig.10 Time history diagram,composition diagram and path diagram

圖10 對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖、疊加圖、路徑圖(續(xù))Fig.10 Time history diagram,composition diagram and path diagram(continued)

這是由于路徑最多與鞍結(jié)曲面三次相交，即穿過(guò)鞍結(jié)曲面的兩側(cè).一次相交就對(duì)應(yīng)于一次Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.在a=0.5 時(shí)，產(chǎn)生了三次相交，在a=0.2 時(shí)，產(chǎn)生了兩次相交；a=-0.1 時(shí)，產(chǎn)生了一次相交；a=-0.5 時(shí)沒(méi)有相交.

從路徑圖中可以發(fā)現(xiàn)路徑與曲面相交的情況復(fù)雜多樣.表2 表示了不同情況下的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

表2 Fold/Fold 簇發(fā)振蕩重?cái)?shù)與a 的關(guān)系Tabel 2 The relationship between a and the number of Fold/Fold bursting

關(guān)注最大重?cái)?shù)在理想的狀態(tài)下與n之間存在的聯(lián)系.以n為奇數(shù)時(shí)為例，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)和de Moivre 公式，整理系數(shù)可以得到

從該式的固有特點(diǎn)可以看出路徑都可以分割成n段，因此理想狀態(tài)下，如果能使得n段都與鞍結(jié)曲面有交點(diǎn)，就可以產(chǎn)生n重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

5 結(jié)論

系統(tǒng)(1)是一類含有兩個(gè)慢變量的Duffing型方程，實(shí)驗(yàn)研究表明其存在雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.為了深入理解系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為，本文從數(shù)值模擬和理論分析兩個(gè)方面來(lái)討論該系統(tǒng)的混沌特性及簇發(fā)振蕩行為，得到的結(jié)論如下.

(a) 對(duì)于系統(tǒng)(2)當(dāng)振幅參數(shù)取值大于1 時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出了不動(dòng)點(diǎn)混沌.并且隨著參數(shù)的變化，不動(dòng)點(diǎn)混沌可能表現(xiàn)為單支存在或者雙支合并.通過(guò)叉式分岔解釋了當(dāng)慢變參數(shù)小于0 時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)穩(wěn)定解，而當(dāng)慢變參數(shù)大于0 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生一對(duì)穩(wěn)定的解，隨著慢變參數(shù)的繼續(xù)增大，系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌.

(b)對(duì)于系統(tǒng)(1)來(lái)說(shuō)，它只會(huì)產(chǎn)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，這是由于它的參數(shù)空間中只有鞍結(jié)曲面，如果存在其它曲面，對(duì)于路徑的變化應(yīng)該十分敏感.并且產(chǎn)生的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩與v的取值無(wú)關(guān).對(duì)于μ2-μ1型的路徑不論是曲線還是線性只要保證它能在有效范圍內(nèi)穿過(guò)鞍結(jié)曲面的兩側(cè)，就能發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.這能解釋第二部分中a,β2選擇時(shí)的任意性的原因；第三部分中常系數(shù)項(xiàng)a的變化使得系統(tǒng)發(fā)生巨大改變的原因.值得一提的是穿越鞍結(jié)曲面的位置還與Fold/Fold 簇發(fā)振蕩的對(duì)稱有關(guān).更多關(guān)于不同頻率比與相位差的情況，表1 標(biāo)注了它們是否會(huì)得到Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

(c)當(dāng)μ1=β1cos(nθ)，μ2=β2cos(θ)時(shí)使用μ1-μ2路徑討論產(chǎn)生的現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出多簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.探究了不同重?cái)?shù)的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩與n值之間的關(guān)系.由于路徑都可以分割成n段，因此理想狀態(tài)下，n段都會(huì)與鞍結(jié)曲面有交點(diǎn)，從而產(chǎn)生n重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.