自抗擾控制框架下的摩擦力振動(dòng)分析1)

樸敏楠 王穎 周亞靖 孫明瑋,2) 張新華 陳增強(qiáng)

*(南開(kāi)大學(xué)人工智能學(xué)院,天津 300350)

?(空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100076)

**(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所,北京 100074)

引言

摩擦力廣泛存在于各種機(jī)電系統(tǒng),是影響控制性能的關(guān)鍵因素[1-3].在低速運(yùn)動(dòng)時(shí),摩擦力會(huì)誘發(fā)極限環(huán)振動(dòng).對(duì)于給定的控制器,準(zhǔn)確地分析極限環(huán)振動(dòng)對(duì)控制參數(shù)選取以及決定是否更改控制策略有重要的指導(dǎo)意義.

盡管PID 控制及其各種改進(jìn)形式是運(yùn)動(dòng)控制中最常用的算法,其單自由度控制結(jié)構(gòu)下固有的抗擾和跟蹤性能矛盾問(wèn)題一直是尋求性能更佳控制器的動(dòng)力.為改進(jìn)傳統(tǒng)PID 控制,中科院系統(tǒng)科學(xué)研究所韓京清研究員提出了一種新的工程化控制方法—ADRC[4].該方法將串聯(lián)積分器視為系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型并采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì).具有兩自由度控制結(jié)構(gòu)的ADRC通過(guò)ESO 和誤差反饋控制律可以實(shí)現(xiàn)抗擾和跟蹤性能的分開(kāi)設(shè)計(jì).近些年來(lái),ADRC 在運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)上得到了越來(lái)越多的成功應(yīng)用[4-10].由于ADRC 的等效控制律中存在積分作用,在低速運(yùn)動(dòng)時(shí)容易產(chǎn)生極限環(huán)或者黏滑振動(dòng).目前,ADRC 框架下的摩擦力振動(dòng)研究甚少,僅有的工作也是基于描述函數(shù)法[8-9],得出的分析結(jié)果在只有庫(kù)倫摩擦力時(shí)精度尚可,但是當(dāng)考慮靜摩擦力時(shí)卻存在較大的誤差[11].

在已有文獻(xiàn)中,摩擦力振動(dòng)分析基本都是針對(duì)PID 控制或者PD 控制,主要采用描述函數(shù)法、代數(shù)方法、相平面法和非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分析方法[11-20].描述函數(shù)法是一種近似方法,僅適用于分析在有限時(shí)刻速度為零的極限環(huán),因此具有一定的局限性.針對(duì)一類僅包括靜摩擦力和庫(kù)侖摩擦力的單自由度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),文獻(xiàn)[14] 采用精確的代數(shù)方法證明了任何可以使系統(tǒng)穩(wěn)定的PID 控制參數(shù)組合都會(huì)產(chǎn)生極限環(huán).代數(shù)方法雖然能夠提供準(zhǔn)確的分析結(jié)果,但是由于需要計(jì)算解析解,其僅適用于低階控制系統(tǒng)(三階及以下)和特定的靜態(tài)摩擦力模型.針對(duì)靜態(tài)摩擦力模型,文獻(xiàn)[15-17]采用相平面法將三維控制系統(tǒng)降為一維,并通過(guò)事件對(duì)映(event map) 分析了不同摩擦力模型以及參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)集和極限環(huán)的影響.對(duì)于帶有Stribeck 效應(yīng)(零速度附近的摩擦力驟降)的指數(shù)摩擦力模型,文獻(xiàn)[17]中結(jié)果表明Stribeck 負(fù)斜率參數(shù)會(huì)直接影響極限環(huán)解的個(gè)數(shù)、穩(wěn)定性以及能否通過(guò)參數(shù)整定消除極限環(huán).該結(jié)論可視為文獻(xiàn)[14]中結(jié)論的拓展,對(duì)現(xiàn)實(shí)中能夠通過(guò)PID 參數(shù)調(diào)節(jié)消除極限環(huán)的一些情形進(jìn)行解釋.盡管事件對(duì)映是一種直觀有效的分析方法,但是由于需要將系統(tǒng)用一維對(duì)映來(lái)表示,其僅適用于靜態(tài)摩擦力模型,無(wú)法對(duì)包括更為復(fù)雜的動(dòng)態(tài)摩擦力模型的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析.隨著計(jì)算能力的增強(qiáng),針對(duì)一般非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析工具如打靶法、軌跡跟蹤(path following)、分岔圖、Floquet 理論等被弓入到閉環(huán)的摩擦力振動(dòng)分析中[18-27].該方法能夠?qū)Π话隳Σ亮δＰ偷南到y(tǒng)進(jìn)行分析.針對(duì)靜態(tài)切換摩擦力模型[21]和動(dòng)態(tài)LuGre 模型[28],文獻(xiàn)[18]采用簡(jiǎn)單打靶法結(jié)合軌跡跟蹤得到關(guān)于控制增益的極限環(huán)解枝軌跡.結(jié)果表明包含這兩種摩擦力模型的系統(tǒng)呈現(xiàn)出非常相似的特性,當(dāng)控制增益大于某一臨界值時(shí),極限環(huán)會(huì)消失.文獻(xiàn)[19-20] 聯(lián)合解析方法和數(shù)值方法,針對(duì)三階控制系統(tǒng)采用打靶法結(jié)合二分法在理論參數(shù)范圍內(nèi)計(jì)算令極限環(huán)消失的最小積分泄漏值.文獻(xiàn)[22]采用分岔圖對(duì)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器和摩擦力前饋補(bǔ)償策略的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行極限環(huán)分析.

基于上述分析,本文研究ADRC下的極限環(huán)振動(dòng).首先,考慮兩種典型的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)摩擦力模型,設(shè)計(jì)不同階次的ADRC,并得到其等效形式以沿用PID 控制下的結(jié)論以及與PID 控制進(jìn)行比較.為了準(zhǔn)確計(jì)算高階控制系統(tǒng)的極限環(huán),采用非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析工具[29-32],使用打靶法結(jié)合擬弧長(zhǎng)延拓跟蹤關(guān)于ESO 帶寬的極限環(huán)解枝.通過(guò)計(jì)算Floquet 乘子(floquet multiplier,FM) 判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性、分岔點(diǎn)的出現(xiàn)以及類型.擬弧長(zhǎng)延拓方法能夠克服傳統(tǒng)局部延拓方法不能順利通過(guò)折疊點(diǎn)的缺點(diǎn).此外,通過(guò)雅可比矩陣和近似數(shù)值方法對(duì)兩種系統(tǒng)平衡點(diǎn)集的局部穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.最后,通過(guò)仿真研究了Stribeck 負(fù)斜率參數(shù)、控制器階次、誤差反饋調(diào)節(jié)帶寬以及觀測(cè)器帶寬對(duì)極限環(huán)以及平衡點(diǎn)集的影響,并對(duì)比兩種摩擦力模型下的結(jié)果.所得結(jié)論可以解釋一些現(xiàn)實(shí)情形并對(duì)參數(shù)整定提供一定指導(dǎo).

1 模型介紹與控制器設(shè)計(jì)

考慮一類二階運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)

其中,J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,θ 是轉(zhuǎn)動(dòng)角度,u是控制電壓,cm是輸入增益,Ff是摩擦力.現(xiàn)實(shí)中的摩擦力特性多種多樣,為了描述這些特性,不同復(fù)雜程度的摩擦力模型相繼被提出,主要分為靜態(tài)摩擦力模型和動(dòng)態(tài)摩擦力模型.文中選用兩種經(jīng)典模型,靜態(tài)切換模型[21]和動(dòng)態(tài)LuGre 模型[28].切換模型可表示為

其中,η 是角速度閾值,σ2是滑動(dòng)摩擦力系數(shù),Fs是最大靜摩擦力,α 是自定義的停滯階段的加速度,的形式為

其中,Fc是庫(kù)倫摩擦力,ωs是Stribeck 角速度.該模型包括三部分,即滑動(dòng)階段、由停滯切換到滑動(dòng)的過(guò)渡階段以及停滯階段.通過(guò)弓入α 定義停滯狀態(tài)可以避免傳統(tǒng)Karnopp 模型[33]的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題,并且使得控制系統(tǒng)微分方程組變?yōu)榉莿傂?提高數(shù)值積分效率.Stribeck 效應(yīng)指的是克服最大靜摩擦力之后摩擦力絕對(duì)值的迅速減小,是產(chǎn)生極限環(huán)振動(dòng)的主要原因[34].β 決定了Stribeck 效應(yīng)的負(fù)斜率,即摩擦力在低速時(shí)的變化速度,是影響極限環(huán)振動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù).為了描述預(yù)滑動(dòng)、滯后回線、可變最大摩擦力等現(xiàn)象,文獻(xiàn)[28]提出了LuGre 模型.該模型假設(shè)接觸面在微觀上是不規(guī)則且粗糙的,兩個(gè)剛體通過(guò)一些彈性鬃毛接觸.鬃毛的平均變形用z表示,其動(dòng)態(tài)為

摩擦力可由鬃毛的撓曲產(chǎn)生,可表示為

其中,σ0是鬃毛剛度,σ1是微觀阻尼系數(shù).

現(xiàn)基于式(1)設(shè)計(jì)角度控制器.首先將式(1)改寫(xiě)為

其中,b0=cm/J,d=-Ff/J.下面設(shè)計(jì)降階擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(reduced-order extended state observer,RESO)[36]對(duì)摩擦力進(jìn)行估計(jì).假設(shè)角度和角速度信號(hào)同時(shí)可測(cè),則分別可以設(shè)計(jì)一階或者二階RESO.當(dāng)采用角速度作為輸入時(shí),可設(shè)計(jì)一階RESO

其中,w為中間狀態(tài),ωo為觀測(cè)器帶寬,?d為摩擦力估計(jì).得到摩擦力估計(jì)后,控制律可設(shè)計(jì)為

其中,θd為參考指令,kp和kd分別為比例和微分增益,為了便于分析,這里根據(jù)參數(shù)化帶寬ωc將其設(shè)計(jì)為

由文獻(xiàn)[35-36]可知,式(7)和式(8)下的等效控制律就是PID 控制,因此已有文獻(xiàn)中關(guān)于PID 控制在極限環(huán)振動(dòng)上的結(jié)論同樣適用于針對(duì)二階對(duì)象設(shè)計(jì)一階RESO 的情形.基于文獻(xiàn)[14,17-18]中PID 控制下的結(jié)果,可以得到ADRC 下的幾個(gè)關(guān)鍵結(jié)論:

(1)針對(duì)只包含靜摩擦力和庫(kù)倫摩擦力的靜態(tài)模型,任何可以使系統(tǒng)穩(wěn)定的ADRC 參數(shù)組合都會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)[14].

(2)針對(duì)切換模型(2),當(dāng)β ＜1 時(shí),平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的,穩(wěn)定極限環(huán)一直存在且不能通過(guò)調(diào)節(jié)ADRC參數(shù)消除(與結(jié)論(1) 吻合); 當(dāng)β ＞1 時(shí),平衡點(diǎn)集是局部穩(wěn)定的,在一定ADRC 參數(shù)范圍內(nèi),穩(wěn)定和不穩(wěn)定極限環(huán)同時(shí)存在且能夠通過(guò)調(diào)節(jié)ADRC 參數(shù)消除[17].

(3)針對(duì)LuGre 模型(5),當(dāng)β=2 時(shí),極限環(huán)振動(dòng)特性和切換模型下β=2 時(shí)基本一致[18].

當(dāng)采用角度作為輸入時(shí),可設(shè)計(jì)二階RESO

其中,w1和w2為中間狀態(tài),l1和l2為觀測(cè)器增益,為了便于分析,這里根據(jù)參數(shù)化帶寬ωo將其設(shè)計(jì)為

基于式(10) 可以得到RESO 對(duì)擾動(dòng)估計(jì)的傳遞函數(shù)為

其中,L 表示拉氏變換運(yùn)算符號(hào).可以看出擾動(dòng)估計(jì)的本質(zhì)為擾動(dòng)的低通濾波輸出.顯然,ωo越高,越能夠快速地跟蹤和補(bǔ)償摩擦力.因此,ωo是影響極限環(huán)振動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù).此外,ωo的取值會(huì)受到測(cè)量噪聲、未建模高階動(dòng)態(tài)等因素的限制.結(jié)合式(6)、式(8)和式(12)可以得到控制量在零初始條件時(shí)的拉氏變換為

其中,e=θd-θ.可以看出ADRC 的等效控制律包括PD 控制、誤差積分濾波輸出、誤差濾波輸出和角速度濾波輸出.基于式(13),定義新的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)

其中,x1,x2,x3分別是誤差、誤差導(dǎo)數(shù)和誤差積分,x4是誤差的低通濾波輸出.相比于PID 控制,閉環(huán)系統(tǒng)增加了誤差濾波狀態(tài)x4,上述結(jié)論(1)～(3)可能不再適用,因此是本文的研究重點(diǎn).將系統(tǒng)狀態(tài)重構(gòu)為式(14)是為了揭示出控制器的本質(zhì)以及便于將后面得到的結(jié)果與PID 控制的結(jié)果進(jìn)行比較.在研究極限環(huán)振動(dòng)時(shí),不失一般性,令θd=˙θd=¨θd=0.對(duì)于切換模型,閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

其中,切換函數(shù)fs為

其中

對(duì)于LuGre 模型,閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

其中,x5=z.針對(duì)系統(tǒng)(15)和(19),本文研究控制參數(shù)ωc,ωo以及摩擦力參數(shù)β 對(duì)極限環(huán)存在性以及穩(wěn)定性的影響.對(duì)于給定的控制和摩擦力參數(shù),問(wèn)題的關(guān)鍵即為準(zhǔn)確地求解出自治系統(tǒng)(15)和(19)的全部周期解.

2 系統(tǒng)周期解計(jì)算與分析

對(duì)于系統(tǒng)(15)和(19),極限環(huán)的計(jì)算和分析方法相同,該部分僅針對(duì)系統(tǒng)(15)進(jìn)行介紹.系統(tǒng)(15)是自治系統(tǒng),即等式右端的向量場(chǎng)不與時(shí)間t顯式有關(guān),不失一般性,起始時(shí)間可設(shè)為0.假設(shè)φt(x0,λ)為系統(tǒng)(15) 在初始條件x0=[x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)]T下的解,其中,λ 為某個(gè)參數(shù)變量.求解極限環(huán)即為求解一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

其中

則ci可由下式解出

基于式(21)可得

其中,帶下標(biāo)i的變量表示解枝上第i個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值,

現(xiàn)采用牛頓迭代法對(duì)式(25)進(jìn)行求解

其中,下標(biāo)k(k=1,2,···)表示迭代次數(shù)

則待求解變量的迭代公式為

在每次迭代中,都需要多次在不同初始狀態(tài)和控制參數(shù)下進(jìn)行仿真,即將一個(gè)兩點(diǎn)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多次的初值問(wèn)題求解,這就是打靶法的思想.重復(fù)上述迭代過(guò)程直至滿足終止條件

其中,ε1＞0 和ε2＞0 為充分小的值以保證求解精度.傳統(tǒng)局部延拓法在折疊點(diǎn)處存在奇異問(wèn)題,無(wú)法通過(guò)折疊點(diǎn)繼續(xù)跟蹤解枝.擬弧長(zhǎng)延拓法通過(guò)弓入擬弧長(zhǎng)變量,可以避免奇異問(wèn)題從而順利通過(guò)折疊點(diǎn).當(dāng)y為一維時(shí),該方法的簡(jiǎn)化原理圖如圖1 所示.

圖1 擬弧長(zhǎng)延拓方法原理Fig.1 Principle of pseudo arc-length continuation method

極限環(huán)的穩(wěn)定性以及解枝可能出現(xiàn)的分岔由單值矩陣的特征值FM 判斷.當(dāng)所有FM 位于單位圓內(nèi)時(shí),極限環(huán)是穩(wěn)定的.隨著控制參數(shù)連續(xù)變化,當(dāng)某個(gè)FM 的模變?yōu)榇笥? 時(shí),系統(tǒng)將出現(xiàn)動(dòng)態(tài)分岔,穩(wěn)定周期解被破壞[38-40].根據(jù)FM 變化情況的不同,可能出現(xiàn)3 種分岔:環(huán)面折疊分岔(cyclic fold bifurcation,CFB)、倍周期分岔(period doubling bifurcation,PDB)和環(huán)面分岔(torus bifurcation,TB).具體來(lái)說(shuō),當(dāng)有一個(gè)FM 沿著實(shí)軸從(1,0)穿出單位圓時(shí),將出現(xiàn)CFB;當(dāng)有一個(gè)FM 沿著實(shí)軸從(-1,0)穿出單位圓時(shí),將出現(xiàn)PDB;當(dāng)有一對(duì)共軛的FM 穿出單位圓時(shí),將出現(xiàn)TB.

3 平衡點(diǎn)集與局部穩(wěn)定性

該部分首先介紹LuGre 模型下的平衡點(diǎn)集以及穩(wěn)定性判定.由LuGre 模型性質(zhì)可知[16],|z(t)| ≤Fs/σ0.因此,系統(tǒng)(19)的平衡點(diǎn)集為

其中,|γL| ≤Fs/σ0.誤差、誤差導(dǎo)數(shù)以及誤差濾波輸出在平衡點(diǎn)處都為零,鬃毛變形產(chǎn)生的摩擦力由積分作用產(chǎn)生的控制力完全補(bǔ)償.平衡點(diǎn)集的局部穩(wěn)定性可通過(guò)計(jì)算雅克比矩陣的特征值確定.由于Lu-Gre 模型是非光滑的,在求解雅可比矩陣時(shí)需要使用廣義微分[41].向量場(chǎng)f(x)在點(diǎn)x處的廣義微分定義為包含左導(dǎo)數(shù)f′-和右導(dǎo)數(shù)f′+的最小閉凸包

根據(jù)式(39)可以得到系統(tǒng)(19)在處的雅可比矩陣為

其中,I5×5為五階單位矩陣,各系數(shù)為

當(dāng)ωc＞0 且ωo＞0 時(shí),可以得到全部系數(shù)為正.根據(jù)Hurwitz 判據(jù),平衡點(diǎn)集穩(wěn)定的充要條件為

其中,P(ρ)是關(guān)于ρ 的三次多項(xiàng)式,因此,只需要計(jì)算P(ρ=-1)、P(ρ=1)和極小值就可以判斷式(44)是否成立.

按照切換模型的定義,系統(tǒng)(15)的平衡點(diǎn)集為

其中,|γS| ≤Fs.由于系統(tǒng)(15) 是Filippov 型不連續(xù)的,無(wú)法采用雅可比矩陣判斷平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性.和連續(xù)微分方程組相比,判斷不連續(xù)微分方程組平衡點(diǎn)集穩(wěn)定性的理論和方法尚不完善,已有方法大多是通過(guò)構(gòu)建非常復(fù)雜的非光滑Lyapunov 函數(shù)[42-43].考慮到不是本文的研究重點(diǎn),這里采用一種近似的數(shù)值方法.通過(guò)大量仿真,發(fā)現(xiàn)x1對(duì)解軌跡影響最為顯著.因此,對(duì)某個(gè)平衡點(diǎn)進(jìn)行x1方向的攝動(dòng),在(0,xs)(xs為相應(yīng)參數(shù)下穩(wěn)定極限環(huán)的幅值)區(qū)間內(nèi)選擇n個(gè)值作為攝動(dòng)值,在每個(gè)攝動(dòng)值下進(jìn)行仿真并觀察狀態(tài)能否最終收斂到平衡點(diǎn)集.對(duì)于存在攝動(dòng)值使得仿真結(jié)果收斂到平衡點(diǎn)集的情況,即可判斷此時(shí)平衡點(diǎn)集是局部穩(wěn)定的,而且這個(gè)分析結(jié)果是準(zhǔn)確的.對(duì)于所有攝動(dòng)值下仿真結(jié)果都不會(huì)收斂到平衡點(diǎn)集的情況,即可判斷此時(shí)平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的,但是這個(gè)分析結(jié)果是近似的,因?yàn)槌跏紬l件沒(méi)有遍歷整個(gè)狀態(tài)空間.

4 計(jì)算結(jié)果

仿真模型參數(shù)為[18]

求解器選用ode45 算法,相對(duì)和絕對(duì)容許誤差限設(shè)置為10-10(需小于切換模型的角速度閾值η).參數(shù)攝動(dòng)量ξ 取為初始狀態(tài)或控制參數(shù)的1%,且絕對(duì)值不小于10-8以避免數(shù)值敏感問(wèn)題.Δχ 分段進(jìn)行取值,當(dāng)跟蹤穩(wěn)定解枝時(shí),取為2,當(dāng)某個(gè)FM 的模接近1 時(shí),減小Δχ 至0.01 以順利經(jīng)過(guò)比較尖銳的折疊點(diǎn).迭代精度參數(shù)設(shè)計(jì)為ε1=10-6,ε2=10-4.

4.1 基于二階ESO 和切換模型的計(jì)算結(jié)果

圖2 β=2 時(shí)切換模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.2 Bifurcation diagram for the switch model system with β=2(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

圖3 β=2 時(shí)切換模型系統(tǒng)穩(wěn)定解枝的FMs(實(shí)線:FM1,虛線:FM2,點(diǎn)線:FM3,點(diǎn)劃線:FM4)Fig.3 FMs of stable branch for the switch model system with β=2(solid line:FM1,dashed line:FM2,dotted line:FM3,dot dash line:FM4)

圖4 β=2 時(shí)切換模型系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)周期Fig.4 Period of stable limit cycle for the switch model system with β=2

首先令β=2.ωc=10 rad/s 和ωc=20 rad/s 時(shí)的分岔圖、FMs、極限環(huán)周期如圖2～圖4 所示.在以下分岔圖中,同時(shí)描述了周期解和平衡點(diǎn)集(x1=0),實(shí)線表示周期解或者平衡點(diǎn)集是局部穩(wěn)定的,而虛線則表示周期解或者平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的.由于極限環(huán)可能是非對(duì)稱的,在圖2 中,max(x1)表示一個(gè)極限環(huán)周期內(nèi)角度的最大值(以下簡(jiǎn)稱為極限環(huán)幅值).在解枝起始點(diǎn),ωo=10 rad/s,相應(yīng)的極限環(huán)是穩(wěn)定的.隨著ωo的增大,極限環(huán)幅值不斷減小.當(dāng)ωo增大到某個(gè)臨界值時(shí),有FM 沿實(shí)軸從(1,0)穿出單位圓,出現(xiàn)CFB,并通過(guò)CFB 產(chǎn)生不穩(wěn)定解枝,此時(shí)對(duì)應(yīng)的ωo稱為.需要說(shuō)明的是,任意微小的擾動(dòng)都會(huì)使得不穩(wěn)定極限環(huán)的軌跡不能夠保持,不穩(wěn)定極限環(huán)在現(xiàn)實(shí)情形中幾乎不可能出現(xiàn).因此,其求解只具有理論意義,不具有實(shí)際意義.由于不穩(wěn)定極限環(huán)求解計(jì)算量很大,這里只計(jì)算出了不穩(wěn)定解枝的一部分,但不影響結(jié)論.當(dāng)ωo＜時(shí),系統(tǒng)中存在兩個(gè)相近的穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期解;當(dāng)ωo=時(shí),兩個(gè)周期解匯聚一起;當(dāng)ωo＞時(shí),系統(tǒng)中極限環(huán)消失.對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行x1方向上的攝動(dòng),攝動(dòng)值為(0,xs) 區(qū)間內(nèi)均勻選取的1000 個(gè)點(diǎn).通過(guò)大量仿真發(fā)現(xiàn),當(dāng)|x1(0)| ＜|xu|(xu為相應(yīng)參數(shù)下不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值)時(shí),軌跡會(huì)趨于系統(tǒng)平衡點(diǎn)集; 當(dāng)|xu| ＜|x1(0)| ＜|xs|時(shí),軌跡會(huì)趨于穩(wěn)定極限環(huán).所以平衡點(diǎn)集在所選參數(shù)范圍內(nèi)是局部穩(wěn)定的,且在x1方向的吸弓域近似為|x1|＜|xu|.此外,從圖2 可以看出,ωc越大,相同ωo下的極限環(huán)幅值越小,對(duì)應(yīng)的也越小.FMs 如圖3 所示,其中FM1隨ωo變化明顯,FM2始終接近于1,FM3和FM4一直接近于0.FM1在CFB 附近先是驟減然后突然穿越1.FM2在1 附近的波動(dòng)可認(rèn)為是由數(shù)值計(jì)算誤差造成的,不能夠用于判斷是否出現(xiàn)分岔,因?yàn)槠渥兓秶苄∏亿厔?shì)性不明顯.上述結(jié)果和文獻(xiàn)[18] 中PID 控制器下的結(jié)果很相似,只是多了一個(gè)始終接近于0 的FM.穩(wěn)定極限環(huán)的周期如圖4 所示,可見(jiàn)周期變化非單調(diào),呈現(xiàn)先減后增的趨勢(shì),且ωc越大,周期越小.

圖5 β=0.9 時(shí)切換模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.5 Bifurcation diagram for the switch model system with β=0.9(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

圖6 β=0.9 時(shí)切換模型系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)周期Fig.6 Period of stable limit cycle for the switch model system with β=0.9

為研究摩擦力參數(shù)對(duì)極限環(huán)的影響,令β=0.9.對(duì)于切換模型,β 越小,由停滯切換到滑動(dòng)狀態(tài)時(shí),在|x2| ＜ωs速度范圍內(nèi)獲得的角加速度就越大,越容易產(chǎn)生超調(diào),從而越容易誘發(fā)極限環(huán).β=0.9 時(shí)的分岔圖和周期圖如圖5 和圖6 所示.當(dāng)極限環(huán)幅值接近于零時(shí),由于計(jì)算量過(guò)大終止計(jì)算.同樣,從ωo=10 rad/s 開(kāi)始跟蹤穩(wěn)定的極限環(huán)解枝.隨著ωo增大,極限環(huán)幅值不斷減小,周期呈現(xiàn)先減后增趨勢(shì).在計(jì)算的參數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有出現(xiàn)動(dòng)態(tài)分岔.相比于β=2 時(shí)結(jié)果,β=0.9 時(shí)的極限環(huán)幅值更大且更加難以消除,即使觀測(cè)器帶寬很高時(shí),仍不能夠徹底消除極限環(huán).需要說(shuō)明的是,當(dāng)極限環(huán)幅值非常小且周期非常長(zhǎng)時(shí),極限環(huán)解雖然存在但是在某些實(shí)際應(yīng)用背景下不會(huì)影響控制性能.對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行x1方向上的攝動(dòng),ωo=10,n=1000 時(shí),ωc=10 和ωc=20 條件下能夠仿真到的最小初始角度xm分別是1.06 × 10-5(xm=xs/1000,xs=1.06 × 10-2) 和3.36×10-6(xm=xs/1000,xs=3.36×10-3),此時(shí)仍有極限環(huán)產(chǎn)生,可近似地認(rèn)為平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的.令n取為更小值也是可以的,這樣能夠使得初始角度進(jìn)一步在小于1.06×10-5和3.36×10-6范圍內(nèi)進(jìn)行嘗試,但是會(huì)存在以下幾個(gè)問(wèn)題.首先,當(dāng)初始角度非常小時(shí),仿真時(shí)間會(huì)非常長(zhǎng),計(jì)算結(jié)果也會(huì)受到數(shù)值計(jì)算精度的影響.其次,即使角度間隔取得非常小,穩(wěn)定性分析結(jié)果仍然可能不是準(zhǔn)確的,因?yàn)槌跏紶顟B(tài)攝動(dòng)還是只考慮了第一個(gè)狀態(tài),沒(méi)有遍歷整個(gè)狀態(tài)空間.所以,文中令n=1000 即可滿足要求.在每個(gè)ωo下,最小初始角度攝動(dòng)下的軌跡都會(huì)趨于穩(wěn)定極限環(huán),所以可以近似判斷平衡點(diǎn)集在所選參數(shù)范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的.當(dāng)ωc=10 rad/s 和ωo=30 rad/s 時(shí),β=2 和β=0.9 下的時(shí)域仿真結(jié)果如圖7 所示.可以看出,β=2 時(shí)的周期解滿足x1(t)=-x1(t+T/2),而當(dāng)β=0.9 時(shí),這種對(duì)稱性被破壞.因此,可以推斷隨著β 的減小周期解會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱破缺性分岔(symmetry breaking bifurcation,SBB)[23].

圖7 β=0.9,2 時(shí)切換模型系統(tǒng)的角度極限環(huán)Fig.7 Angular position limit cycle for the switch model system with β=0.9,2

4.2 基于二階ESO 和LuGre 模型的計(jì)算結(jié)果

為研究動(dòng)態(tài)和靜態(tài)摩擦力模型對(duì)極限環(huán)振動(dòng)的影響,采用LuGre 模型重復(fù)上述過(guò)程.當(dāng)β=2 時(shí),仿真結(jié)果如圖8～圖10 所示.和切換模型在β=2 時(shí)的結(jié)果相似,隨著ωo的增大,有FM 沿實(shí)軸從(1,0)穿出單位圓,出現(xiàn)CFB,并通過(guò)CFB 產(chǎn)生不穩(wěn)定解枝.極限環(huán)幅值和周期與切換模型下的結(jié)果比較接近,稍小于切換模型對(duì)應(yīng)的新增加的一個(gè)FM 在0 附近波動(dòng).β=0.9 時(shí)的分岔圖如圖11 所示.可見(jiàn)系統(tǒng)中依然出現(xiàn)了CFB,且比β=2時(shí)的更小,這一點(diǎn)和切換模型正好是相反的.對(duì)于切換模型,β 的減小增大了摩擦力的補(bǔ)償難度,即使ωo取值非常大也不能夠消除極限環(huán).然而對(duì)于Lu-Gre 模型,β 的減小反而降低了摩擦力的補(bǔ)償難度.可以看出β 在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)摩擦力模型中有著不同的影響.按照前述方法驗(yàn)證平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性,可以得到所有考慮參數(shù)范圍內(nèi)的平衡點(diǎn)集都是局部穩(wěn)定的.

圖8 β=2 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.8 Bifurcation diagram for the LuGre model system with β=2(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

圖9 β=2 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)穩(wěn)定解枝的FMs(實(shí)線:FM1,虛線:FM2,點(diǎn)線:FM3,點(diǎn)劃線:FM4,星實(shí)線:FM5)Fig.9 FMs of stable branch for the LuGre model system with β=2(solid line:FM1,dashed line:FM2,dotted line:FM3,dot dash line:FM4,solid line with star:FM5)

4.3 基于三階ESO 的計(jì)算結(jié)果

圖10 β=2 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)周期Fig.10 Period of stable limit cycle for the LuGre model system with β=2

圖11 β=0.9 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.11 Bifurcation diagram for the LuGre model system with β=0.9(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

上述計(jì)算結(jié)果是針對(duì)二階ESO 的,本文同樣針對(duì)全階ESO(三階ESO)重復(fù)進(jìn)行了4.1 和4.2 小節(jié)中的所有計(jì)算.計(jì)算結(jié)果表明,上述所得結(jié)論(摩擦力模型、參數(shù)、ADRC 參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)集以及周期解影響) 對(duì)于三階ESO 仍然是成立的.由于閉環(huán)系統(tǒng)階次升高一階,切換模型系統(tǒng)和LuGre 模型系統(tǒng)分別多了乘子FM5和FM6,這兩個(gè)乘子對(duì)應(yīng)的是新增系統(tǒng)狀態(tài)位置濾波的一階導(dǎo)數(shù),且都為接近于零的數(shù).由于篇幅限制且所得結(jié)論是相同的,該部分結(jié)果沒(méi)有在文中具體呈現(xiàn).

4.4 二階三階ESO 性能對(duì)比

對(duì)于給定的摩擦力模型,降階和全階ESO 在極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性、平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性上面的結(jié)論是相同的.但是,二者在使用時(shí)效果還是存在一些區(qū)別.例如,在相同的ωc和ωo下,全階ESO 相比于降階ESO 的相位延遲更大,摩擦力補(bǔ)償效果更差,極限環(huán)的幅值更大.為了取得和降階ESO 相似的性能,全階ESO 的ωo應(yīng)該更大以補(bǔ)償高階次帶來(lái)的延遲.因此,在相同的ωc下,全階ESO 對(duì)應(yīng)的B更大.為了公平地對(duì)兩者進(jìn)行性能對(duì)比,我們考慮兩種閉環(huán)系統(tǒng)在其對(duì)應(yīng)的下的魯棒性能,即令摩擦力補(bǔ)償效果相同,比較閉環(huán)魯棒性能,研究哪一種階次的觀測(cè)器能夠更好地解決抗擾性能和魯棒性能之間的矛盾問(wèn)題.我們將各種情形下的穩(wěn)定裕度指標(biāo)列在表1 中.其中,ESO2和ESO3分別表示降階和全階ESO,GM,PM,TM 分別代表幅值裕度、相位裕度和時(shí)延裕度.由于摩擦力模型是非線性的,在計(jì)算穩(wěn)定裕度時(shí)僅考慮了滑動(dòng)摩擦力,沒(méi)有考慮零速附近的摩擦力非線性.由表1 可以看出,兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性能比較相近,但是ESO2下的穩(wěn)定裕度尤其是相位裕度指標(biāo)更好一些.因此,在設(shè)計(jì)ESO 時(shí)可以優(yōu)先選擇降階ESO.

對(duì)于切換模型,當(dāng)β=2,ωc=10 時(shí),ESO2和ESO3的分別為102.3 rad/s 和158.0 rad/s,此時(shí)兩個(gè)ESO 的估計(jì)誤差傳函(L(d-?d)/L(d))的頻率響應(yīng)如圖12 所示.可見(jiàn),兩個(gè)ESO 的頻率響應(yīng)十分接近,因此,其相應(yīng)的極限環(huán)特性和穩(wěn)定魯棒性能也都是相近的.那么可以自然地弓申出一個(gè)問(wèn)題,即在怎樣的觀測(cè)器參數(shù)化帶寬關(guān)系下降階和全階ESO 之間的性能最為接近.首先考慮傳統(tǒng)的-3 dB 定義的物理帶寬,當(dāng)兩者的物理帶寬相同時(shí),降階和全階ESO 的參數(shù)化帶寬ωor和ωof之間滿足ωof=1.26ωor,顯然此時(shí)不滿足性能相似要求(表1 中的帶寬關(guān)系).這里我們嘗試用衡量線性系統(tǒng)相似性的ν 間隙度量[44]來(lái)計(jì)算兩個(gè)ESO 參數(shù)化帶寬之間的關(guān)系.兩個(gè)線性系統(tǒng)P1和P2之間的ν 間隙度量定義為

表1 全降階ESO 下的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparisons of calculation results for full-and reduced-order ESOs

圖12 全降階ESO 的擾動(dòng)估計(jì)誤差的頻率響應(yīng)Fig.12 Frequency responses of disturbance estimation errors for full-and reduced-order ESOs

5 結(jié)論

本文得到以下四個(gè)主要結(jié)論.其中,結(jié)論(1) 和結(jié)論(2)總結(jié)了ADRC 階次的影響,結(jié)論(3)和結(jié)論(4)總結(jié)了摩擦力模型和參數(shù)以及控制參數(shù)的影響.

(1)當(dāng)設(shè)計(jì)一階RESO 時(shí),由于等效控制律即為PID 控制,已有的PID 控制下極限環(huán)振動(dòng)結(jié)論直接適用.當(dāng)設(shè)計(jì)二階RESO 時(shí),等效閉環(huán)系統(tǒng)增加誤差濾波狀態(tài).當(dāng)設(shè)計(jì)全階ESO 時(shí),等效閉環(huán)系統(tǒng)增加誤差濾波狀態(tài)及其導(dǎo)數(shù).在這兩種情況下,雖然階次分別升高一階和兩階,對(duì)于給定的摩擦力模型,閉環(huán)系統(tǒng)極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性、平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性的結(jié)論和PID 控制下的結(jié)論仍然相同,反映了ADRC 階次對(duì)定性結(jié)論沒(méi)有影響.

(4)對(duì)于連續(xù)的LuGre 模型,當(dāng)β=2 和β=0.9時(shí),系統(tǒng)都會(huì)出現(xiàn)CFB,即極限環(huán)可以通過(guò)增大觀測(cè)器帶寬消除.當(dāng)β=2 時(shí),結(jié)果和切換模型β=2 時(shí)結(jié)果十分相近.然而當(dāng)β=0.9 時(shí),結(jié)果和切換模型β=0.9 時(shí)結(jié)果正好相反.

下一步將對(duì)低速斜坡指令跟蹤任務(wù)下的黏滑(stick slip) 振動(dòng)展開(kāi)研究.跟蹤低速斜坡指令時(shí),系統(tǒng)變?yōu)榉亲灾蜗到y(tǒng),文中方法不再適用,其周期解求解將會(huì)更加困難,這也是未來(lái)的研究重點(diǎn).