小學(xué)階段圓面積教學(xué)設(shè)計探索
——以弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的視點

□詹燦璨

新課程改革的推進(jìn)使越來越多的教師意識到數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在以學(xué)生為主體，符合學(xué)生認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)現(xiàn)實的基礎(chǔ)上。這種基于學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實，經(jīng)由再創(chuàng)造實現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過程是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的精髓所在。本文圍繞弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教育教學(xué)理論，結(jié)合實際教學(xué)案例，探討新的教學(xué)形式以促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的完善。

一、弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的基本內(nèi)涵

弗賴登塔爾對荷蘭以及世界的數(shù)學(xué)教育事業(yè)做出了重要貢獻(xiàn)。整體、全面地分析他的教育思想內(nèi)容，或是分點、細(xì)致地分析他的某一思想原則，都可從中感受到“授人以魚，不如授人以漁”的思想精華。

（一）弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育教學(xué)思想

弗賴登塔爾認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)的主客觀基礎(chǔ)來自學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實與數(shù)學(xué)化歷程，依靠自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、思維方式，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識教學(xué)的目的不僅是擴(kuò)展學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，也是擴(kuò)充學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中的心理結(jié)構(gòu)。他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是具有現(xiàn)實意義的、富有創(chuàng)新性的、學(xué)生主動自覺進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動，而不是脫離實際背景、學(xué)生被動接受的教學(xué)活動。教學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，教師的教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生主動地去學(xué)習(xí)、去思考，教學(xué)的目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生提升自己的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想水平，實現(xiàn)“四基”“四能”。

弗賴登塔爾認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生在數(shù)學(xué)化的過程中。數(shù)學(xué)化是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法觀察、分析、研究客觀世界并加以整理和組織的過程。數(shù)學(xué)化的過程包含兩個階段——橫向的數(shù)學(xué)化和縱向的數(shù)學(xué)化。首先將現(xiàn)實中的實際問題抽象為對應(yīng)的數(shù)學(xué)形式，橫向轉(zhuǎn)化為某個數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)問題，再通過對已有數(shù)學(xué)知識的深化和處理，形成不同層次的公理體系和形式體系，最終完成縱向的數(shù)學(xué)化[1]。不同的人有不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)思想，對所處現(xiàn)實環(huán)境有著各異的理解，這就是數(shù)學(xué)現(xiàn)實——人的數(shù)學(xué)認(rèn)識與客觀現(xiàn)實的結(jié)合。

學(xué)生也有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，它包括學(xué)生所處現(xiàn)實世界的客觀基礎(chǔ)、學(xué)生以數(shù)學(xué)化的形式認(rèn)識世界而形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)等主觀基礎(chǔ)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)生不斷提升數(shù)學(xué)水平的過程就是“再創(chuàng)造”、重現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程。教師需要分析學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實以及數(shù)學(xué)水平，思考學(xué)生如何在當(dāng)前的環(huán)境下經(jīng)歷“再創(chuàng)造”——學(xué)生自主重新發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識。

（二）弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)教育教學(xué)思想

弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育觀將學(xué)生看作是教學(xué)過程中的主體，教師引導(dǎo)其主動“做數(shù)學(xué)”，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”。

如果實際課堂教學(xué)不能較好地實現(xiàn)學(xué)生與所學(xué)知識的緊密聯(lián)合，只是傳授知識點、公式，做練習(xí)，這種教學(xué)價值不大?！霸賱?chuàng)造”要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，根據(jù)感受和思維方式，將所學(xué)內(nèi)容再發(fā)現(xiàn)或“創(chuàng)造”出來，形成自己的數(shù)學(xué)體系，納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。在這個過程中教師不是知識的灌輸者，學(xué)生的學(xué)習(xí)是“再創(chuàng)造”的過程，它與“發(fā)現(xiàn)法”有所區(qū)別，“發(fā)現(xiàn)法”強(qiáng)調(diào)的是教師提前設(shè)計一個完整的課堂教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)知識，而“再創(chuàng)造”強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生主體的重要性與創(chuàng)造過程中層次的變化，教師作為引導(dǎo)者為學(xué)生提供一個與其數(shù)學(xué)現(xiàn)實相符合的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動探究。這不是程序式的發(fā)現(xiàn)過程，而是學(xué)生為了解決問題自主實現(xiàn)的過程，屬于學(xué)生自己的創(chuàng)造。

二、弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”教學(xué)思想指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計探究

基于弗賴登塔爾“再創(chuàng)造”思想的教學(xué)原則，在教學(xué)之前，教師需要進(jìn)行“思想實驗”，即對學(xué)生的認(rèn)知水平、教學(xué)環(huán)境、輔助設(shè)備等內(nèi)容考慮全面，對教材與教學(xué)知識點及教學(xué)中可能發(fā)生的各種情況，進(jìn)行充分分析。

在教學(xué)過程中，教師要提供給學(xué)生具體、現(xiàn)實的例子，創(chuàng)造出積極的環(huán)境狀態(tài)，維持學(xué)生較高的動機(jī)水平以積極參加數(shù)學(xué)活動，啟發(fā)學(xué)生較全面地接觸與處理所獲得的數(shù)學(xué)信息，最終“再創(chuàng)造”所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，或是數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則，或是發(fā)現(xiàn)有關(guān)的定律，以提高學(xué)生的思維水平。尤其要有意識地引導(dǎo)學(xué)生由不自覺或無目的過渡到有意識有目的地進(jìn)行創(chuàng)造活動，促進(jìn)每個學(xué)生的思維水平盡可能提高。

下面以小學(xué)數(shù)學(xué)“圓的面積”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，以求在這個過程中盡可能地體現(xiàn)弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的精髓。

（一）基于再創(chuàng)造教學(xué)思想的“圓的面積”教學(xué)設(shè)計

“圓的面積”是人教版六上的內(nèi)容，要求學(xué)生探索并掌握圓的面積公式，能解決簡單的實際問題。六年級學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平屬于具體運(yùn)算思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，如果教師僅向?qū)W生教授圓的面積公式，缺少發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)生也只能學(xué)會一組字母公式，并不能較好地實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。如果教師用接近現(xiàn)實的情景引導(dǎo)學(xué)生試著探究圓的面積，而不考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實背景，也會使學(xué)生遠(yuǎn)離生活實際而不知所學(xué)何用。

充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實是創(chuàng)建優(yōu)秀課堂的先決條件。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實是生活中所見的與數(shù)學(xué)相關(guān)的實物、與數(shù)學(xué)有關(guān)的處理實際問題的方法，學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、對簡單平面幾何圖形的認(rèn)識等。因此，教師可以采用學(xué)生日常生活中能夠接觸到的實際問題來引導(dǎo)教學(xué)。

【環(huán)節(jié)1】提出問題：小美過生日了，媽媽向蛋糕店預(yù)訂了一個直徑為16厘米的圓形蛋糕，店主推薦做成一個對角線為16厘米的正方形蛋糕。如果價格相同，你愿意換嗎？

圖1

生：聽起來大小一樣，可以換。

生：真的一樣嗎？要是一樣的話，為什么要換呢？

[設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系要自然貼切、合乎學(xué)生的情趣。于學(xué)生而言，購買蛋糕問題有一定的迷惑性，有實際經(jīng)驗的學(xué)生會提出疑問，這種引出問題、激發(fā)討論的過程是“再創(chuàng)造”合適的發(fā)起環(huán)境。]

【環(huán)節(jié)2】將蛋糕形狀抽象為數(shù)學(xué)圖形，引導(dǎo)學(xué)生主動解決問題。

圖2

師：比較兩個圖形的大小，應(yīng)該采用什么方法呢？

生：比較面積。

師：那同學(xué)們先來看這個正方形的蛋糕，它的對角線為16cm，在不知道邊長的情況下怎么求面積呢？

生：可以拆開變成兩個直角三角形拼出大的直角三角形，通過求三角形的面積得到。

圖3

師：那如何求這個圓的面積呢？

[設(shè)計意圖：至此，啟發(fā)學(xué)生的第一階段已經(jīng)完成。合適的數(shù)學(xué)情境促使學(xué)生完全投入解決現(xiàn)實問題的過程中，符合當(dāng)前知識階段的圖形轉(zhuǎn)化促使橫向數(shù)學(xué)化的發(fā)生。同時，由此引出的疑問也為學(xué)生提供了探究圓的面積的動機(jī)。]

【環(huán)節(jié)3】如何求得圓的面積？

師：在通過分割為兩個三角形解決未知邊長的正方形面積的基礎(chǔ)上，你可以求出一個已知直徑的圓的面積嗎？

生：以前學(xué)習(xí)過三角形、長方形等的面積，或許也可以剪成那樣來算?。▽W(xué)生分小組探究）

生：我分成四等份，卻拼不出來。

生：多分幾次，就越來越像三角形了！

圖4

[設(shè)計意圖：教師通過適當(dāng)?shù)靥嵝褜W(xué)生可以采取與前述求正方形面積類似的分割方法，來調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，自己動手探究圓的分割，最終得到不同的分割方法（各種不同的分割方法與拼接方法，教師應(yīng)當(dāng)給予肯定與指導(dǎo)）。這個過程弱化了傳統(tǒng)教學(xué)中教師的全權(quán)引導(dǎo)，學(xué)生的主體地位得到了充分體現(xiàn)，通過圓的面積公式的推導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程。]

【環(huán)節(jié)4】小組探討怎么拼出合適的圖形求解。

圖5

通過學(xué)生的合作，最終發(fā)現(xiàn)這些相等的近似于小三角形的圖形可以拼接成一個近似的長方形。

師：現(xiàn)在你能告訴我圓形蛋糕的面積是多少嗎？

師：那你現(xiàn)在還愿意換蛋糕嗎？

生：原來圓形面積這么大，怪不得老板要換成方形，太不劃算了！

[設(shè)計意圖：通過對圓形嘗試各種分割，通過拼出熟悉且可求面積的幾何圖形，最終拼出近似的長方形求得面積。新的長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，最后通過長方形的面積公式得出圓的面積公式。學(xué)生在“再創(chuàng)造”中發(fā)現(xiàn)圓面積的計算公式，解決了實際問題。]

（二）教學(xué)反思

弗賴登塔爾也強(qiáng)調(diào)教學(xué)反思的重要性。教師不僅要在課前遵循思想實驗的原則，也要在課后遵循反思的原則。

“圓的面積”教學(xué)設(shè)計是契合弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的，以合適的數(shù)學(xué)問題，即選擇一個與學(xué)生生活緊密聯(lián)系的場景作為導(dǎo)入，引起學(xué)生共鳴。將兩個蛋糕抽象為簡單的幾何圖形，實現(xiàn)橫向數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后進(jìn)入縱向數(shù)學(xué)化。在解決正方形面積的基礎(chǔ)上，隱蔽地為學(xué)生分割圓形提供一種方向，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將圓形分割后組合成熟悉的、可求面積的幾何圖形。在探索的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了問題轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、頭腦風(fēng)暴的過程。

教師在完成課堂教學(xué)之后不僅要考查學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的掌握程度，及時反饋學(xué)生的問題，也要進(jìn)行自我反思——對思想實驗設(shè)計中的完善、課堂突發(fā)問題的記錄與解決、學(xué)生課堂表現(xiàn)和課后反饋的研究，實現(xiàn)教學(xué)相長。