“=”教學(xué)不宜簡單化
——“=”教學(xué)的思考與實踐

□鄭建鋒

“=”是學(xué)生較早認(rèn)識的數(shù)學(xué)符號，表示左右兩邊相等的意思。但學(xué)生對等號的理解不僅狹隘，甚至還有錯誤。這是什么原因造成的呢？和教學(xué)有關(guān)系嗎？教師應(yīng)該怎樣促進學(xué)生對“=”意義的正確理解？

一、學(xué)生錯法雷同

在學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)進位加減法后，練習(xí)中有這樣一道題：615+385=□+140=□-207=□。本以為這是一道很普通的題，但學(xué)生的答題情況卻讓筆者不敢再“輕視”這樣的題。學(xué)生的答案好像事先商量好似的，幾乎一樣（如圖1）。

圖1

這是偶然的嗎？其他班級的學(xué)生也會這樣做嗎？筆者對另外3個平行班的學(xué)生進行了測試，結(jié)果“癥狀”相似，統(tǒng)計如下表。

班級三（1）三（2）三（3）三（4）合計班級人數(shù)45人45人42人44人176人理解正確的人數(shù)4人2人6人7人19人理解正確人數(shù)占比8.9%4.4%14.3%15.9%10.8%理解錯誤的人數(shù)41人43人36人37人157人理解錯誤人數(shù)占比91.1%95.6%85.7%84.1%89.2%

其中，“理解正確的人數(shù)”中包括題意理解正確但計算錯誤的人數(shù)（如圖2、圖3）。

圖2

圖3

“=”是學(xué)生很早認(rèn)識并運用頻繁的一個非?！昂唵巍钡姆?，可事實好像并不是這樣。

題中的式子與學(xué)生見到的一般算式不太一樣，圖1中呈現(xiàn)的式子特別“長”，“=”后又是一個算式，在學(xué)生的觀念中，一個算式的“=”之后緊跟著的應(yīng)該是一個計算結(jié)果。

二、學(xué)生所理解的“=”

從以上例子我們可以看出學(xué)生理解的“=”和其含義不完全對等。“等于號像小橋，算對了，過了橋，算錯了，過不了”，這首兒歌多少能反映學(xué)生對“=”意義理解的角度，“=”傳遞給學(xué)生的信息和“算”“結(jié)果”這些詞相關(guān)。因此，在學(xué)生的理解中，“=”是算式與答案的連接符號或分隔符號，有了“=”，就可以把左邊算式的答案在右邊寫下來，等號被看成是“開始計算算式的固定信號”。等號像一個程序，看到等號，學(xué)生就不假思索地開始計算。為了弄清楚學(xué)生對等號的理解，筆者把等號的意義和學(xué)生的理解做了一個對比。

等號的意義◇等號表示一種關(guān)系，具有平衡、對等的意義◇答案不一定總在等號右邊◇等號兩邊的“項”可以是式子，而且不一定有顯性的答案◇可以在等號兩邊實施相同的運算，等式仍然成立……學(xué)生對等號的理解◇等號表示一種程序，是開始計算的信號◇答案應(yīng)該出現(xiàn)在等號右邊◇等號兩邊的“項”中，一邊是算式，另一邊是答案，答案是一個具體的數(shù)值◇運算應(yīng)是單向的，只能對一邊的“項”進行計算……

學(xué)生對等號的理解往往停留在“算術(shù)”中，僅僅將它作為得出運算結(jié)果的符號，而要把等號理解為等量關(guān)系的表示，應(yīng)該是“代數(shù)”中的事情了。那么，為何學(xué)生在很長的一段時間內(nèi)，對等號的理解沒能跳出“算術(shù)”，拓展到“代數(shù)”中呢？

三、“=”被簡單地教學(xué)

數(shù)學(xué)符號的“一詞多義”往往造成學(xué)生理解上的片面性，因為面對的是相同的視覺對象，而它們表達的意義卻并不一定相同?！?”就是一個“一詞多義”的符號，那么，除了視覺對象有時并不等于思維對象而造成學(xué)生理解上的困難之外，還有別的原因嗎？是不是學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展滯后所造成的呢？

曾有研究指出，孩子在9～10歲的時候能夠擴大對等號意義的理解，用字母表征未知數(shù)，用變量表征關(guān)系，計算未知數(shù)，甚至能解帶字母符號的一元一次方程?？磥磉@和學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展滯后有關(guān)，那么，和我們的教學(xué)有關(guān)系嗎？

在人教版教材中，學(xué)生第一次接觸等號是在一年級上冊“數(shù)的大小比較”一課中，兩個數(shù)的大小比較有兩類：一類相等，一類不等。之后，學(xué)生開始在運算中使用等號，如3+4=7,等號被理解為“得出”，學(xué)生只是把等號簡單地看成得出運算結(jié)果的符號。盡管教師會強調(diào)“兩邊相等，就用等號表示”，暗示等號的意義，但學(xué)生由于年齡、思維的特點，把等號理解為表示計算的結(jié)果是十分自然的。但問題在于，之后很長的一段時間內(nèi)，等號的意義沒有得到新的拓展。直到五年級上冊學(xué)習(xí)“簡易方程”時，才賦予等號“真正”的意義。

筆者統(tǒng)計了原人教版實驗教材一年級至三年級拓展“=”意義的訓(xùn)練題，見下表：

訓(xùn)練形式算式在“=”右邊連接兩個算式的“=”一年級上冊共0題共2題共0題共2題共0題共0題共0題下冊共0題二年級上冊共0題下冊共1題三年級上冊共0題下冊共0題

其中，一年級上冊中有1題是思考題，二年級上冊中的2題是學(xué)生認(rèn)識乘法意義后，把加法算式改寫成乘法算式的訓(xùn)練，如4+4+4=（）×（），學(xué)生對此更多的理解是乘法的意義?？梢?，拓展等號意義的題目在教材中出現(xiàn)不多。那么，是否可以這樣理解：在“數(shù)的大小比較”一課中第一次引出“=”是基于等號相等意義的，但在這之后的很長一段時間（學(xué)習(xí)方程之前）“=”卻作為得出結(jié)果而出現(xiàn)，教材和教學(xué)既沒有幫助學(xué)生打破算式總在左邊、結(jié)果總在右邊的觀念，也沒有幫助學(xué)生逐步建立等號表示算式等值的觀念，以致學(xué)生沒有逐步豐富和擴充對等號意義新的理解，沒有為學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)、建立兩邊有多個算式的代數(shù)方程做好準(zhǔn)備。一項面對學(xué)生的訪談表明，當(dāng)問及學(xué)生等號表示什么時，多數(shù)學(xué)生的回答是等號表示答案，進一步要求學(xué)生舉出用等號的例子，學(xué)生所舉的只限于左邊是運算、右邊是答案的例子。在分解質(zhì)因數(shù)時，學(xué)生對合數(shù)在等號左邊的算式感覺很“另類”。因此，要突破從算術(shù)思維到代數(shù)思維的障礙，首先要將等號的意義從“得出”回歸到“相等”層面。

那么，我們的教學(xué)可以做些什么呢？

四、對“=”教學(xué)的建議

國際數(shù)學(xué)教育大會獲獎?wù)呃サ碌难芯勘砻?，代?shù)思維的早期發(fā)展可以使學(xué)生更加容易地接受代數(shù)符號，也就是說，重視代數(shù)思維早期的系統(tǒng)滲透，能更好地幫助學(xué)生從算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維。無疑，拓展對等號意義的理解是教師首先應(yīng)該關(guān)注和引起重視的。在教學(xué)中可注意以下幾點。

（一）天平直觀模型的應(yīng)用

在幫助學(xué)生理解等號的意義時，天平是一個非常適合的直觀模型。天平左右兩邊平衡的狀態(tài)直觀地表達了等號兩邊等量的意義。如“數(shù)的大小比較”一課中，教材是通過比較小猴子數(shù)量和水果數(shù)量的多少認(rèn)識、學(xué)習(xí)等號的。盡管該情境比較有趣，符合學(xué)生的身心特點，但對等號兩邊相等意義的詮釋卻不如天平來得直觀。因此，教師不妨引入天平應(yīng)用于教學(xué)，為了兼顧學(xué)習(xí)的趣味性，依然可以創(chuàng)設(shè)情境——“小猴子玩天平”（如圖4）。

圖4

通過天平的多種狀況比較，學(xué)生對等號“兩邊相等”建立了一個比較直觀的表象。

（二）適時打破結(jié)果總在右邊的觀念

學(xué)生初學(xué)運算，教師往往會為算式創(chuàng)設(shè)一個生動的“故事情境”。如3+2=5，可能講述的是“樹上原來有3只鳥，又飛來2只，合起來是5只”，這有利于學(xué)生理解運算的含義。按照“故事情境”發(fā)展順序?qū)懗龅乃闶?，得?shù)在等號的右邊是很自然的事情。那么，怎樣幫助學(xué)生打破算式總在等號左邊、結(jié)果總在等號右邊的觀念呢？

1.擺脫故事情節(jié)發(fā)展順序的束縛

既然故事情節(jié)發(fā)展順序使算式的書寫自然地從左到右，那么教師可適時地采用無故事情節(jié)的題目，以擺脫此束縛（如圖5）。學(xué)生按照已有的知識和經(jīng)驗，很容易將題目與數(shù)的分解建立聯(lián)系，解釋為把6分成幾和幾。這時等號的含義不是算出算式結(jié)果，而是把等號前的數(shù)分解，等號在算式的左邊，理解成“可以分成”是比較自然的。如果說“□+□=□”是實施一個確定的運算，那么“□=□+□”是尋找一個數(shù)可能的運算，結(jié)果不唯一，這樣的式子也可理解為“數(shù)”與“式”的等價。

圖5

2.借助天平實現(xiàn)等號兩邊的互換

教師也可以借助天平這個直觀模型實現(xiàn)“=”兩邊的互換。如：有一些顏色不同重量相等的小球，請你根據(jù)圖6寫出算式。學(xué)生很容易理解左邊3個加2個與右邊5個一樣重，寫出算式：3+2=5。然后調(diào)換小球的位置，如圖7，要求學(xué)生再寫出一個算式。

圖6

圖7

由于小球被調(diào)換了位置，學(xué)生很自然地調(diào)換了算式中“3+2”和“5”的位置，把算式5=3+2理解為左邊5個等于右邊3個加2個的重量。這樣，學(xué)生認(rèn)為等號出現(xiàn)在算式左邊也是理所當(dāng)然的事情?？梢?，天平不僅提供了左右兩邊平衡的直觀，而且為學(xué)生理解等號兩邊的可交換性提供了實例。

（三）逐步建立式與式等值的觀念

除了幫助學(xué)生建立數(shù)與式等值以理解等號的意義外，教師還應(yīng)幫助學(xué)生建立式與式等值的觀念。式與式等值觀念的建立需要相應(yīng)的、持續(xù)的刺激和訓(xùn)練。

1.利用得數(shù)幫助理解

學(xué)生理解兩個算式等值似乎沒有什么困難，但把兩個等值的算式用等號連接起來，學(xué)生卻不太容易接受。如5-2和1+2，學(xué)生理解這兩個算式結(jié)果相同，是等值的。但如果用“=”把兩個算式連接起來，得到等式5-2=1+2，學(xué)生認(rèn)為5-2后面應(yīng)該寫上3，怎么會是1呢？因此初始時可以保留得數(shù)“3”做過渡，即5-2=3=1+2。雖然這樣的表示不一定規(guī)范，但學(xué)生會認(rèn)為這個等式比較“可靠”。當(dāng)然，當(dāng)學(xué)生有所理解后，應(yīng)把插入的得數(shù)從等式中刪除。

2.利用圖示直觀支持

學(xué)生的思維在達到一定水平之前，需要依賴圖示，以獲得直觀化的支撐。如4+□=5+□，學(xué)生所理解的往往不是兩個等值的算式，而是從這個等式中“肢解”出4+□=5這樣一個算式，然后在□中毫不猶豫地填入1，即4+1=5。如果提示5+□的方框也要填入一個數(shù)，學(xué)生才會“醒悟”過來：得數(shù)要一樣也得是5，再填入0。

但如果為學(xué)生提供一個圖示（如圖8），學(xué)生就比較容易把等號兩邊的算式各看成一個獨立的整體。圖示直觀的作用不僅提示和相等的事實，還為學(xué)生理解等式的意義提供了情境。

圖8

3.循序漸進，逐步建立

教師要幫助學(xué)生循序漸進地建立式與式等值的觀念，可以從最簡單的“兩個算式加數(shù)相同”開始，如4+5=5+4。借助圖示直觀，學(xué)生能比較容易地理解加法的可交換性、和不變的規(guī)律并構(gòu)建類似和相等的例子。接著可以拓展到“兩個算式加數(shù)不同”的情況，如4+5=6+3。再到“加數(shù)個數(shù)不同”的情況，如4+5=2+6+1。因為加數(shù)的個數(shù)也會影響到學(xué)生對等式平衡的判斷，并由加法積累的經(jīng)驗拓展到“減法”“等號兩邊包含不同的運算”等情況，如12-4=13-□，12-4=6+□，3+4+5=4×□，使學(xué)生對等號表示等值的意義有進一步的認(rèn)識。

克服從算術(shù)思維到代數(shù)思維的障礙，需要適時拓展學(xué)生對等號意義的理解。因此打破算式總在等號左邊、結(jié)果總在右邊的觀念，逐步建立式與式等值的觀念是非常必要的，需要在教學(xué)中進行一些針對性的、序列化的拓展和訓(xùn)練。