數(shù)學(xué)手賬：小學(xué)生學(xué)力生長“深度激活”路徑*

□朱術(shù)磊

數(shù)學(xué)手賬，意指學(xué)生基于自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)情境或模型來敘述、描繪數(shù)學(xué)內(nèi)容，記錄思維痕跡的一種個(gè)性化學(xué)習(xí)載體。教師借助“數(shù)學(xué)手賬”這一學(xué)習(xí)載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“深度激活”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，以此來促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的生長，具體路徑如下圖所示。

一、眼中有光：梳理型“愿學(xué)手賬”的知識(shí)習(xí)得反省路徑

梳理型“愿學(xué)手賬”，是指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，將學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理、記錄并展現(xiàn)出來。這也是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行回顧、對(duì)學(xué)習(xí)策略進(jìn)行運(yùn)用、對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行自我檢驗(yàn)的反省過程，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)展自我反思能力。

（一）我學(xué)了什么——從教師驅(qū)動(dòng)走向“自主回顧”

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)包含定義、性質(zhì)、特點(diǎn)、應(yīng)用等，小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)框架越清晰，整理越詳細(xì)，記憶就會(huì)越清楚，理解也會(huì)越透徹。在梳理型“愿學(xué)手賬”的制作中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的方式去梳理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中習(xí)得的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行“自主回顧”，來反思自己的學(xué)習(xí)。

（二）我是怎么學(xué)的——從教師糾錯(cuò)走向“自行檢查”

教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)、圖形、語言等多元表征方式將所學(xué)知識(shí)記錄下來，以促進(jìn)知識(shí)技能的內(nèi)化。學(xué)生需要對(duì)自己的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行“自行檢查”，將自己的反思過程記錄在“我是怎么學(xué)的”一欄中。通過這樣的活動(dòng)，學(xué)生不僅提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性，也了解了自己在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的狀況。

（三）我學(xué)得怎么樣——從教師反饋?zhàn)呦颉白晕覚z驗(yàn)”

學(xué)生可以將自己的學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)結(jié)果等通過多元表征的學(xué)習(xí)路徑在數(shù)學(xué)手賬中表達(dá)出來。如一名二年級(jí)的學(xué)生在學(xué)習(xí)“平均分”前，通過“前置性學(xué)習(xí)”對(duì)自己的疑惑進(jìn)行了梳理，提出“什么是平均分”“平均分可以怎么分”“平均分的兩種方法是什么”等問題。而后，該生通過課堂中的學(xué)習(xí)，對(duì)這一內(nèi)容進(jìn)行“二次認(rèn)識(shí)”并對(duì)自己的學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。學(xué)習(xí)中學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，整個(gè)過程都是學(xué)生在規(guī)劃學(xué)習(xí)。

二、手中有思：體驗(yàn)型“慧學(xué)手賬”的技能發(fā)展反思路徑

在運(yùn)用“數(shù)學(xué)手賬”進(jìn)行學(xué)習(xí)的過程中，要避免流于形式，真正做到激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“慧學(xué)者”。

（一）我問得對(duì)嗎——從自我設(shè)疑走向“生生互思”

在教學(xué)中教師往往會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生提出的問題“五花八門”，也有學(xué)生不會(huì)提問也不想提問。通過“慧學(xué)手賬”這一體驗(yàn)型數(shù)學(xué)活動(dòng)的開展，學(xué)生逐步形成了相應(yīng)的問題意識(shí)，并慢慢開始提出“好問題”。一位學(xué)生在“A4紙的魔力”項(xiàng)目學(xué)習(xí)中提出了這樣的問題：在A4紙上剪出一個(gè)大洞，能讓幾個(gè)大人穿過去？學(xué)生先做了自我評(píng)析，在此基礎(chǔ)上與同學(xué)進(jìn)行分享。通過“生生互思”，學(xué)生提出問題：如果直接在這張紙上面剪出最大的洞的話，那肯定一個(gè)人都鉆不過去，而邊上也很容易斷開。不管把這個(gè)洞剪成什么形狀，人都穿不過去。該怎么辦呢？他們決定去查資料。

在這一學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生的疑惑、思考等都是在自我評(píng)判的基礎(chǔ)上形成的，這樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)讓學(xué)生的操作活動(dòng)具有了“靈魂”，并不是為了操作而操作。

（二）我做得對(duì)嗎——從自我評(píng)析走向“生生互解”

在實(shí)踐中學(xué)生先進(jìn)行“自我判斷”，判斷自己做得對(duì)不對(duì)，并與同學(xué)分享，通過多次實(shí)踐、反思、分享，最終解決問題。如在上述“A4紙的魔力”項(xiàng)目學(xué)習(xí)中，學(xué)生在“數(shù)學(xué)手賬”中這樣描述：第一步，先把A4紙對(duì)折，并在折痕處每隔2厘米做好標(biāo)記，在另一邊也用同樣的方法做好標(biāo)記，兩邊的標(biāo)記互相交叉；第二步，沿標(biāo)記處剪開，但兩邊都不要剪到頭；第三步，將折痕處剪開，兩端保留，最后小心翼翼地將紙攤開。完成后，我竟然真的鉆了過去！但兩個(gè)人還是不行，我試著把2厘米的間隙剪成1厘米，兩個(gè)大人也能鉆進(jìn)去了。

學(xué)生通過體驗(yàn)型“慧學(xué)手賬”，將自己在學(xué)習(xí)中的反思體會(huì)與同學(xué)進(jìn)行分享，使反思性學(xué)習(xí)從自我評(píng)判走向“生生互解”。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅逐步改進(jìn)了探究策略，更重要的是體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)的樂趣。

（三）我想得對(duì)嗎——從自我研判走向“生生互評(píng)”

在實(shí)踐成功后，學(xué)生再次進(jìn)行反思：紙上的每一根線條都構(gòu)成紙環(huán)周長的一部分。每多一條線，圓環(huán)就多出一段。因此，紙條數(shù)量越多，A4紙的周長就越大，形成的紙環(huán)就越大。剪的時(shí)候，兩個(gè)相鄰的距離越短，紙環(huán)就越大（如下圖）。

通過體驗(yàn)型“慧學(xué)手賬”的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生在多樣的評(píng)判中，對(duì)實(shí)踐的過程及結(jié)果進(jìn)行反思并與同學(xué)分享，在同學(xué)的評(píng)判中再次修正，從而完善自己的實(shí)踐。

三、胸中有問：研究型“智學(xué)手賬”的思維發(fā)展覺醒路徑

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要想走向深入，就得發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想，促使他們成為勤于學(xué)習(xí)的“智學(xué)者”。

（一）我的問題——從自我設(shè)疑走向“深思細(xì)問”

學(xué)生在對(duì)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果及過程進(jìn)行判斷時(shí)，有的會(huì)認(rèn)為很滿意，而有的會(huì)認(rèn)為自己的學(xué)習(xí)還存在一定的問題，這就需要學(xué)生養(yǎng)成“深思細(xì)問”的學(xué)習(xí)品質(zhì)。如一名六年級(jí)的學(xué)生在“自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)”手賬中提出了這樣的問題：今天我得到一輛新的自行車，我腦子里立馬浮現(xiàn)出學(xué)過的圓的周長的知識(shí)。這輛自行車蹬一圈究竟能走多遠(yuǎn)呢？是車輪一圈的長度嗎？它與什么相關(guān)聯(lián)呢？

學(xué)生通過這樣的學(xué)習(xí)，逐步形成主動(dòng)覺察問題的意識(shí)，并對(duì)問題進(jìn)行分析。由此學(xué)生不僅發(fā)展了數(shù)學(xué)基本思想，更會(huì)在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)某一個(gè)或某一塊內(nèi)容保持持續(xù)的學(xué)習(xí)興趣。

（二）我的感受——從自我評(píng)析走向“深想細(xì)究”

仍以上述“自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)”手賬為例，學(xué)生在提出問題后再次進(jìn)行思考，激發(fā)深度研究的熱情。該生在手賬中這樣記錄：根據(jù)這個(gè)問題，我開始了思考，計(jì)算蹬一圈的路程，但測(cè)量出來的數(shù)據(jù)是6.5米、5.7米、8.8米。每次都不一樣，我心想。所以這種方法是不準(zhǔn)確的。

學(xué)生借用“數(shù)學(xué)手賬”這個(gè)載體，把自己研究時(shí)的感受記錄下來，這也是學(xué)生進(jìn)行問題覺察的一種途徑，為下一階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

（三）我的改變——從自我研判走向“深明細(xì)解”

還是在“自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)”項(xiàng)目學(xué)習(xí)中，通過前期的疑問與思考，學(xué)生覺察到自己的學(xué)習(xí)結(jié)果存在問題。該生發(fā)現(xiàn)：車的前齒輪有26個(gè)齒，后齒輪有16個(gè)齒，車輪直徑為66厘米。經(jīng)過計(jì)算得出，蹬一圈大約337厘米。學(xué)生又換一輛較大的自行車進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)為前齒輪48個(gè)齒，后齒輪20個(gè)齒，車輪直徑為70厘米。蹬一圈的距離為528厘米左右。學(xué)生通過多次改變研究對(duì)象，最終得到結(jié)論。下圖是學(xué)生制作的“自行車?yán)锏臄?shù)學(xué)”手賬。

由此可以看出，學(xué)生的問題是基于生活實(shí)踐的問題，這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想最關(guān)鍵的一環(huán)。學(xué)生基于自己的問題進(jìn)行猜測(cè)，繼而通過學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)來驗(yàn)證，形成結(jié)論。學(xué)生在這個(gè)過程中感受到數(shù)學(xué)的力量，感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊。

四、心中有愛：創(chuàng)新型“善學(xué)手賬”的經(jīng)驗(yàn)積累轉(zhuǎn)化路徑

學(xué)生要做到善于學(xué)習(xí)，就要將積累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此，在“數(shù)學(xué)手賬”項(xiàng)目學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新型“善學(xué)手賬”的梳理，促使學(xué)生真正從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，從而培養(yǎng)學(xué)生的自由獨(dú)創(chuàng)力。

（一）我的思考——從“深思細(xì)問”走向“意義轉(zhuǎn)化”

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師除了需要關(guān)注既定的概念與定理的講解，讓學(xué)生在深度理解之后能加以靈活應(yīng)用之外，還需要引導(dǎo)學(xué)生將這一定理與概念轉(zhuǎn)化為新情境的應(yīng)用。如學(xué)生在探究“鏡子里的奧秘”時(shí)，一般都會(huì)對(duì)實(shí)物進(jìn)行研究，比如“我”怎么做，鏡子里的“我”也怎么做！但一名學(xué)生是這樣思考的（如右圖）。

學(xué)生無形中對(duì)“鏡子里的奧秘”開展了深度探究并進(jìn)行了意義轉(zhuǎn)化。

（二）我的實(shí)踐——從“深想細(xì)究”走向“情境變換”

從以下手賬記錄中可以看到，學(xué)生從對(duì)“實(shí)物情境”的研究轉(zhuǎn)化到了對(duì)“數(shù)字情境”的研究，逐步形成了轉(zhuǎn)化的意識(shí)。通過類似的嘗試，學(xué)生在不斷的轉(zhuǎn)化過程中，形成轉(zhuǎn)化的自覺性，并且能夠創(chuàng)造性地應(yīng)用學(xué)過的知識(shí)來解決問題，這也是學(xué)生高階思維能力發(fā)展的有力舉措。

（三）我的結(jié)論——從“深明細(xì)解”走向“創(chuàng)造思考”

從以上研究結(jié)論可以看到學(xué)生創(chuàng)造性思考的痕跡，也讓我們更加深信通過創(chuàng)造型“善學(xué)手賬”的梳理，學(xué)生定能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中成為“心智自由”的“善學(xué)者”。

“數(shù)學(xué)手賬”得到了家長、學(xué)生、教師的好評(píng)。它不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性，也為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添了“深度探尋”的興味。教師通過“數(shù)學(xué)手賬”這一載體，能轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。在學(xué)習(xí)中，教師更清楚地掌握學(xué)生的“學(xué)”，學(xué)生更清楚地理解教師的“教”。它能促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，優(yōu)化學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)知識(shí)”的建構(gòu)，為教師的教學(xué)提供新的思路，也為學(xué)生的學(xué)習(xí)開拓新的路徑。