高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)須以學(xué)生認(rèn)知為基礎(chǔ)

劉廷民

（福建省連江尚德中學(xué)，福建福州 350510）

引 言

學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題后，很少主動(dòng)回顧問題，這不利于學(xué)生深刻認(rèn)知數(shù)學(xué)問題中的知識點(diǎn)，會(huì)降低學(xué)生的解題效率。因此，在高中數(shù)學(xué)解題過程中，教師有必要夯實(shí)學(xué)生的知識認(rèn)知基礎(chǔ)，并以學(xué)生認(rèn)知情況為基礎(chǔ)開展高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，從而幫助學(xué)生有效解答數(shù)學(xué)問題。筆者認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力須以學(xué)生認(rèn)知為基礎(chǔ)，文本將對此展開分析。

一、以認(rèn)知為基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)解題能力的重要性

（一）高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要求

在高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下，以生為本的教學(xué)理念應(yīng)運(yùn)而生，在這一新理念下，教師應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知為基礎(chǔ)，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，利用有效的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的過程中積累有效的經(jīng)驗(yàn)，從而幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識體系[1]。因此，以學(xué)生認(rèn)知為基礎(chǔ)的高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)符合新課程改革的教學(xué)要求。

（二）高中數(shù)學(xué)學(xué)科的特征

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)相比，知識點(diǎn)更多、更抽象，對于學(xué)生的邏輯思維能力要求更高。學(xué)生如果缺乏良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)，將無法正確解答數(shù)學(xué)問題。因此，根據(jù)高中數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，教師要以學(xué)生的認(rèn)知為基礎(chǔ)，讓學(xué)生真正認(rèn)知數(shù)學(xué)知識，幫助學(xué)生明確解答某一題目需要運(yùn)用到哪些知識，從而使學(xué)生更加準(zhǔn)確、快速地解答數(shù)學(xué)問題。

二、以認(rèn)知為基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)解題能力的方式

（一）引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身認(rèn)知，從轉(zhuǎn)化角度分析與解答數(shù)學(xué)問題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多學(xué)生分析與解答高中平面向量問題時(shí)，往往會(huì)遇到困難，如審題不正確、計(jì)算流程復(fù)雜、找不到解題思路等。學(xué)生如果在解答平面向量問題時(shí)，沒有具備良好的分析與解題能力，對平面向量基礎(chǔ)知識認(rèn)知不清，將會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間，導(dǎo)致數(shù)學(xué)解題效率低下。因此，在解答平面向量問題時(shí)，教師不能只是簡單地講解答案，而要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生對平面向量知識的認(rèn)知能力，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建有效的平面向量知識體系，這樣才能使學(xué)生準(zhǔn)確找到平面向量問題的解題方向。其中，將轉(zhuǎn)化思想融入數(shù)學(xué)平面向量解題教學(xué)中，能夠讓學(xué)生基于所學(xué)的平面向量知識，轉(zhuǎn)化平面向量問題，從而找到正確的解題方向。

以高中數(shù)學(xué)“平面向量”的有關(guān)問題為例，“平面向量”是高中生應(yīng)掌握的重要知識點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)問題中的常見知識點(diǎn)。因此，為了引導(dǎo)學(xué)生正確、快速地解答平面向量問題，教師可以在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生基于已知的平面向量基礎(chǔ)知識，對平面向量問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

已知平面上的直線L的方向向量，點(diǎn)（0，0）和A（1，-2）在L上的射影分別為O'和A'，若則λ為？

分析：對于這道平面向量數(shù)學(xué)題目，教師可以先讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的平面向量概念、基本定理及坐標(biāo)等知識，一方面，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識；另一方面，提高學(xué)生對平面向量的認(rèn)知能力，從而以學(xué)生認(rèn)知為基礎(chǔ)來引導(dǎo)學(xué)生解答問題。在學(xué)生回顧完平面向量知識后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從轉(zhuǎn)化思維的角度，利用一般轉(zhuǎn)特殊的解題方法，將題目的一般情況轉(zhuǎn)為特殊情況，將其轉(zhuǎn)化為易于理解的問題，再進(jìn)行問題的解答[2]。

解析：將題目一般情況轉(zhuǎn)為特殊情況，如直線L的斜率一定，但直線是變化的，而λ可以看作定值，那么直線L就對λ的值無影響，則學(xué)生可以取L為來求出數(shù)值。

（二）基于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維解答數(shù)學(xué)問題

對于高中生而言，立體幾何一直是困擾他們的難題。多數(shù)學(xué)生都感到幾何問題非常難解答，所以很多學(xué)生對立體幾何的學(xué)習(xí)興趣不高，常常會(huì)放棄一些復(fù)雜幾何問題的作答機(jī)會(huì)。為了鼓勵(lì)學(xué)生勇于解答幾何問題，教師既要以學(xué)生認(rèn)知能力為基礎(chǔ)，又要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想來分析和解答問題，從而在大腦中構(gòu)建知識框架。此外，教師也要發(fā)揮教學(xué)指導(dǎo)作用，多給學(xué)生一些時(shí)間，讓學(xué)生挖掘立體幾何題目中的重要信息，從而找到幾何題目與數(shù)形結(jié)合之間的關(guān)系，進(jìn)而快速找到幾何問題的解題突破口[3]。

以高中數(shù)學(xué)的“立體幾何”為例，在引導(dǎo)學(xué)生解答“立體幾何”問題時(shí)，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思維，基于學(xué)生所學(xué)的幾何知識，培養(yǎng)學(xué)生分析與解題能力，使學(xué)生可以有效理解和解答“立體幾何”問題。在下面這道例題中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來分析和解答問題。

分析：在解答這類幾何題目時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧接觸過的幾何圖形，如橢圓、三角形等，幫助學(xué)生回憶以往所學(xué)的高中數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生基于已學(xué)過的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解答問題。首先，根據(jù)這道幾何例題，教師可以提醒學(xué)生從題目中的已知條件找到數(shù)形結(jié)合的點(diǎn)，如根據(jù)問題中所給的信息，學(xué)生可以先簡單畫出幾何圖像，如圖1所示。然后，學(xué)生可以根據(jù)幾何圖像，對點(diǎn)P是否為直角頂點(diǎn)進(jìn)行判斷。學(xué)生可以利用橢圓的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、定理等知識進(jìn)行分析，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)P到x軸的距離。

圖1

解析：∵a=4，b=3，∴，那么以O(shè)為圓心，并以O(shè)F1為半徑畫圓，而此圓與橢圓無交點(diǎn)，則P點(diǎn)不可能是直角三角形的頂點(diǎn)，那么△PF1F2中∠PF1F2或者∠PF2F1是直角。所以，將代入到橢圓方程，得到，進(jìn)而求出點(diǎn)P到x軸的距離為。

（三）從學(xué)生的認(rèn)知角度，運(yùn)用分類分步解題思維解答數(shù)學(xué)問題

很多高中數(shù)學(xué)題目較為復(fù)雜，抽象性非常強(qiáng)，學(xué)生如果不懂得變通和創(chuàng)新解題思路，將無法解答數(shù)學(xué)題目，也無法提高自身解題能力。雖然數(shù)形結(jié)合是一種有效的解題方法，但對于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，學(xué)生還是需要結(jié)合自身認(rèn)知情況，利用多元化的解題思路，才能解答數(shù)學(xué)問題。其中，學(xué)生可以利用分類分步計(jì)算的方式來解答一些常見的數(shù)學(xué)問題，即在原有數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類、分步計(jì)算，確保數(shù)學(xué)解題過程有序、有效。

以高中數(shù)學(xué)“概率”問題為例，在解答相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生如果無法從轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想中找到解題突破口，可以轉(zhuǎn)變解題思路，從分類分步計(jì)算的角度去分析概率問題，從而有序地解答數(shù)學(xué)概率問題。如下面這道例題。

某高校從E、F 和G 三家公司購買同一設(shè)備的比例分別為20%、40%和40%，E、F 和G 三家公司所生產(chǎn)設(shè)備的合格率分別為98%、98%和99%，那么現(xiàn)隨機(jī)購買到一臺次品設(shè)備的概率是多少？

分析：這道概率問題看似簡單，但學(xué)生如果只關(guān)注題目中給出的條件，沒有意識到其中數(shù)據(jù)的關(guān)系，便難以找到解題的方向。其中，學(xué)生可以運(yùn)用分類分步思維，將滿足條件的各種情況概率相加，并將題目中滿足條件的每個(gè)步驟概率進(jìn)行乘積運(yùn)算，從而解答問題[4]。

解析：首先，學(xué)生應(yīng)按照分步思維，將E、F、G 三家公司購買到的次品概率進(jìn)行分步計(jì)算，如20%×2%、40%×2%、40%×1%。然后，學(xué)生按照分類思維，將滿足條件的各種情況的概率相加，如20%×2%+40%×2%+40%×1%，最后得出這一問題的答案，即0.016。由此可見，這道概率問題看似簡單，但學(xué)生如果缺乏分類分步解題思維，對概率問題的認(rèn)知不夠深入，便很難快速解答數(shù)學(xué)問題，也容易忽略一些關(guān)鍵數(shù)據(jù)。

結(jié) 語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生會(huì)面對多種類型的數(shù)學(xué)題目，這對于學(xué)生的基礎(chǔ)認(rèn)知能力、分析與解題能力都提出了較高要求。所以，教師有必要結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)解題思維，基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)問題的解題學(xué)習(xí)，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。