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    案例教學(xué)法在《離散數(shù)學(xué)》命題邏輯教學(xué)中的應(yīng)用

    2020-11-02 02:32:59李艷艷高美平
    科技風(fēng) 2020年28期
    關(guān)鍵詞:離散數(shù)學(xué)案例教學(xué)法

    李艷艷 高美平

    摘 要:研究解決《離散數(shù)學(xué)》命題邏輯教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題——課本例題雖然經(jīng)典,但是趣味性不足、與實(shí)際生活聯(lián)系不緊密,學(xué)生不能熟練應(yīng)用知識(shí)解決問題。本文在查閱大量資料的基礎(chǔ)上,收集整理適合有趣的案例,并將它們應(yīng)用于課堂教學(xué),從而達(dá)到增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的目的。

    關(guān)鍵詞:案例教學(xué)法;離散數(shù)學(xué);命題邏輯

    中圖分類號(hào):O151.2 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課,涉及的主要內(nèi)容之一就是用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問題的命題邏輯,教學(xué)中占具三分之一的課時(shí)。從使用的教材發(fā)現(xiàn),課本上所舉的例子雖然很經(jīng)典,但是缺乏與時(shí)俱進(jìn)的趣味性,而且和實(shí)際生活的聯(lián)系也不密切,這就導(dǎo)致了學(xué)生往往已將課本內(nèi)容學(xué)得很熟悉,可卻不會(huì)應(yīng)用它們解決實(shí)際生活中的邏輯問題,對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)還停留在紙上談兵階段,違背了學(xué)習(xí)邏輯內(nèi)容的本質(zhì),沒有達(dá)到學(xué)以致用的效果。關(guān)于命題邏輯部分的教學(xué),王國(guó)卿、吳群妹在文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]做了一定研究,本文從案例教學(xué)法的角度繼續(xù)研究該問題。為了解決命題邏輯部分教學(xué)中不能理論聯(lián)系實(shí)際的情況,本文在查閱大量資料的基礎(chǔ)上,收集整理適合有趣的案例,并將它們應(yīng)用于課堂教學(xué),從而達(dá)到增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的目的。命題邏輯部分的問題主要分為三部分:根據(jù)已知條件推斷結(jié)論、增加條件推出結(jié)論和應(yīng)用推理理論推出結(jié)論三種類型。解決的手段主要是等值演算和推理理論。下面對(duì)這三部分內(nèi)容分別給出來源于實(shí)際生活的生動(dòng)有趣的案例,在案例的解決過程中,達(dá)到學(xué)以致用、舉一反三的目的。

    1 根據(jù)已知條件推斷結(jié)論

    例1 紅紅、丹丹、陽(yáng)陽(yáng)、珍珍和慧慧是同一家公司的同事,因工作的需要,她們不能同時(shí)出席公司舉辦的新產(chǎn)品發(fā)布會(huì)。她們的出席情況是:(1)只有紅紅出席,丹丹、陽(yáng)陽(yáng)和珍珍才都出席;(2)紅紅不能出席;(3)如果丹丹不出席,陽(yáng)陽(yáng)也不出席;(4)如果陽(yáng)陽(yáng)不出席,慧慧也不出席;(5)已經(jīng)決定慧慧出席發(fā)布會(huì)。

    根據(jù)上述情況,可以推出( )。

    A.丹丹出席發(fā)布會(huì),陽(yáng)陽(yáng)和珍珍不出席發(fā)布會(huì)

    B.珍珍出席發(fā)布會(huì),丹丹和陽(yáng)陽(yáng)不出席發(fā)布會(huì)

    C.陽(yáng)陽(yáng)和珍珍出席發(fā)布會(huì),丹丹不出席發(fā)布會(huì)

    D.丹丹和陽(yáng)陽(yáng)出席發(fā)布會(huì),珍珍不出席發(fā)布會(huì)

    解:命題符號(hào)化:設(shè) p:紅紅出席,q:丹丹出席,r:陽(yáng)陽(yáng)出席,s:珍珍出席,t:慧慧出席,則出席情況為:

    ((q∧r∧s)→p)∧p∧(q→r)∧(r→t)

    對(duì)上式等值演算,得:

    ((q∧r∧s)→p)∧p∧(q→r)∧(r→t)

    p∧q∧r∧s∧t

    則得出紅紅、珍珍、慧慧不出席,丹丹、陽(yáng)陽(yáng)出席的結(jié)論,即答案為D。

    例2 如果張三作案,那么李四一定是主犯;如果張三沒作案,那么王五參與作案。如果李四不是主犯,那么王五沒有參與作案。

    由此可以推出以下哪項(xiàng)?( )

    1.張三沒作案

    2.李四一定是主犯

    3.李四不一定是主犯

    4.王五參與作案

    5.張三作案

    解:命題符號(hào)化:設(shè) p:張三作案,q:李四為主犯,r:王五參與作案,則已知事實(shí)為(p→q)∧(p→r)∧(q→r)。

    (q→p)∧(p→r)∧(q→r)(q→r)∧(q→r)1

    所以q的真值為0,那么q的真值就為1。從而推斷李四一定為主犯,答案為B。

    例3 小軒和小萌的媽媽買了一個(gè)精美的小蛋糕放在冰箱,早晨起床發(fā)現(xiàn)蛋糕不見了,經(jīng)詢問,兩個(gè)小朋友都說自己沒有吃。于是媽媽就充當(dāng)警察,尋找偷吃蛋糕的小饞貓。已知事實(shí)如下:(1)小軒或小萌吃了蛋糕;(2)若小軒吃了蛋糕,則偷吃時(shí)間不能發(fā)生在午夜前;(3)若小萌說的正確,則午夜時(shí)屋里燈光未滅;(4)若小萌說的不正確,則偷吃時(shí)間發(fā)生在午夜之前;(5)午夜時(shí)屋里燈光滅了。

    則,偷吃蛋糕的是( )。

    解:命題符號(hào)化:設(shè)p:小軒偷吃了蛋糕;q:小萌偷吃了蛋糕;r:偷吃時(shí)間發(fā)生在午夜前;s:小萌說的正確;t:午夜時(shí)屋里燈光未滅。

    根據(jù)媽媽已查明的事實(shí),p∨q,p→r,s→t,s→r,t的值都為真,由此推出p或q。

    下面尋找上述各式的合取式的成真賦值。

    (p∨q)∧(p→r)∧(s→t)∧(s→r)∧(t)

    (p∨q)∧(p∨r)∧(s∨t)∧(s∨r)∧(t)

    (p∨q)∧(p∧s∧r∧t)

    (p∧s∧r∧t)

    它的成真賦值是p=0,q=1,s=0,r=1,t=0,由此可知,小萌偷吃了蛋糕。

    2 增加條件推出結(jié)論

    例4 如果甲和乙考試都沒及格的話,那么丙就一定及格了。上述前提再增加以下哪項(xiàng),就可以推出“甲考試及格了”的結(jié)論。

    1.丙及格了

    2.乙和丙都沒有及格

    3.丙沒有及格

    4.乙和丙都及格了

    解:命題符號(hào)化:設(shè)p:甲考試及格,q:乙考試及格,r:丙考試及格,則命題為(p∧q)→r。

    由等值演算知(p∧q)→r(r∧q)→p,所以再增加條件:當(dāng)乙和丙考試都沒有及格時(shí),就可以推出甲考試及格了,因此選B。

    例5 某高校外語(yǔ)教研室新招進(jìn)五位外語(yǔ)老師,每位老師只教授一門外語(yǔ),并且滿足以下條件:(1)如果小錢教德語(yǔ),那么小孫不教俄語(yǔ);(2)或者小李教德語(yǔ),或者小錢教德語(yǔ);(3)如果小孫不教俄語(yǔ),那么小趙不教法語(yǔ);(4)或者小趙教法語(yǔ),或者小周不教英語(yǔ)。

    以下哪項(xiàng)如果為真,可以得出“小李教德語(yǔ)”的結(jié)論?

    1.小孫不教俄語(yǔ)

    2.小錢教德語(yǔ)

    3.小周教英語(yǔ)

    4.小趙不教法語(yǔ)

    解:命題符號(hào)化:設(shè) p:小錢教德語(yǔ),q:小孫教俄語(yǔ),r:小李教德語(yǔ),s:小孫教德語(yǔ),t:小趙教法語(yǔ),t:小周教英語(yǔ),則題目滿足條件為:

    (p→q)∧(p∨r)∧(q→t)∧(t∨n)

    等值演算得:

    (p→q)∧(p∨r)∧(q→t)∧(t∨n)(t∨n)→r

    故要得到小李教德語(yǔ),只需增加小趙教法語(yǔ)或小周教英語(yǔ)就可以。則答案選C。

    3 用推理理論推出結(jié)論

    例6 已知:(1)如果甲和乙是肇事者,丙就不是肇事者;(2)如果丁是肇事者,那么乙就是肇事者;(3)甲和丙都是肇事者。

    由此推出:( )

    A.乙和丁都是肇事者

    B.乙和丁都不是肇事者

    C.乙是肇事者,丁不是肇事者

    D.乙不是肇事者,丁是肇事者

    解:命題符號(hào)化:設(shè) p:甲是肇事者,q:乙是肇事者,r:丙是肇事者,s:丁是肇事者。則已知前提為:(p∧q)→r,s→q,p∧r。

    使用推理理論求解結(jié)論:

    ①(p∧q)→r 前提引入 ⑤ s→q 前提引入

    ②(p∧r)→q ①置換 ⑥s ④⑤拒取式

    ③p∧r 前提引入 ⑦q→s ⑤置換

    ④q ②③假言推理 ⑧q∧s ④⑥假言推理

    那么可知,乙和丁都不是肇事者,故B選項(xiàng)正確。

    例7 如果阿根廷參加聯(lián)盟,則巴西和智利將抵制聯(lián)盟。如果巴西和智利有一國(guó)抵制聯(lián)盟,那么聯(lián)盟就會(huì)名存實(shí)亡。而聯(lián)盟沒有名存實(shí)亡。

    從這段文字可以推出:

    A.巴西沒有參加聯(lián)盟;B.巴西參加聯(lián)盟;C.智利和巴西至少有一國(guó)沒有參加聯(lián)盟;D.阿根廷沒有參加聯(lián)盟

    解:命題符號(hào)化:

    設(shè) p:阿根廷參加聯(lián)盟;q:巴西抵制聯(lián)盟;r:智利抵制聯(lián)盟;s:聯(lián)盟名存實(shí)亡

    則已知前提為:p→(q∧r),(p∨q)→s,s

    使用推理理論求解結(jié)論:

    ①(p∨q)→s 前提引入 ?②s 前提引入

    ③p∧q ①②拒取式 ④q ③化簡(jiǎn)

    ⑤p→(q∧r) 前提引入 ⑥(p→q)∧(p→r) ⑤置換

    ⑦p→q ⑥化簡(jiǎn) ⑧p ④⑦拒取式

    則得到結(jié)論阿根廷沒有參加聯(lián)盟,選D。

    例8 如果今天星期三,則要進(jìn)行線性代數(shù)或概率論期中測(cè)試。如果線代老師有會(huì),則不考線代,線代老師有會(huì)。所以進(jìn)行概率論期中測(cè)試。

    解:命題符號(hào)化:

    設(shè)p:今天星期三;q:進(jìn)行線性代數(shù)期中測(cè)試;r:進(jìn)行概率論期中測(cè)試;s:線代老師有會(huì)。

    則已知前提為:p→(q∨r),s→q,p,s

    結(jié)論:r

    證明:

    ①p→(q∨r) 前提引入 ?②p 前提引入

    ③ q∨r ①②假言推理 ④s→q 前提引入

    ⑤s 前提引入 ⑥q ④⑤假言推理

    ⑦ r ③⑥析取三段論

    由以上證明知,進(jìn)行概率論期中測(cè)試。

    例9 如果小明是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生,他必學(xué)好離散數(shù)學(xué)。如果他不是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生,他必須是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。他沒學(xué)好離散數(shù)學(xué)。所以他是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

    解:命題符號(hào)化:p:小明是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生;q:他學(xué)好離散數(shù)學(xué);r:他是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

    前提:p→q,r→p,q

    ①p→q 前提引入; ?②q 前提引入

    ③p ①②拒取式 ④r→p 前提引入

    ⑤r③④拒取

    由上可知,他是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生。

    4 結(jié)語(yǔ)

    本文通過選用九個(gè)典型實(shí)際案例,讓學(xué)生在解決案例的過程中達(dá)到熟悉、強(qiáng)化知識(shí)的目的,這樣做不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,也讓學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活的本質(zhì)。該教學(xué)法給原本枯燥乏味的數(shù)學(xué)課堂注入了活力,使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)離自己的生活是那樣近,在提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主動(dòng)性的同時(shí),也學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光看待并解決問題。

    參考文獻(xiàn):

    [1]王國(guó)卿.“離散數(shù)學(xué)”命題邏輯的教與學(xué)研究[J].無(wú)線互聯(lián)科技,2019,8:151-152.

    [2]吳群妹.淺談怎樣學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)中的命題邏輯[J].科技信息,2009,9:169-170.

    基金項(xiàng)目:文山學(xué)院《高等代數(shù)》精品課程建設(shè)項(xiàng)目

    作者簡(jiǎn)介:李艷艷(1982—),女,甘肅慶陽(yáng)人,碩士,副教授,研究方向:矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用、數(shù)值分析,大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

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