淺談數(shù)學(xué)陳述性知識意蘊的挖掘

卜春蘭

【摘要】陳述性知識是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心.陳述性知識的意蘊指的是其所蘊含的理性內(nèi)涵，包括陳述性知識的價值以及其中所體現(xiàn)的精神與情感.教師在教學(xué)的過程中通過追究身份、追溯歷史、進行多種語言互譯來挖掘陳述性知識的意蘊，可以推動學(xué)生分析問題、解決問題能力的發(fā)展，彰顯數(shù)學(xué)豐富的人文價值、數(shù)學(xué)思想與精神，以及數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價值.

【關(guān)鍵詞】陳述性知識;意蘊;教學(xué);育人價值

數(shù)學(xué)陳述性知識主要包括概念、法則、性質(zhì)、定理等數(shù)學(xué)知識.在初中階段，數(shù)學(xué)陳述性知識高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)家們認識客觀事物的思想結(jié)晶，蘊含了豐富的育人素材.數(shù)學(xué)陳述性知識的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，它不僅能夠幫助學(xué)生掌握知識，還能讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)家們總結(jié)數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家們用數(shù)學(xué)認識世界的思想真諦，所以我們一線教師在進行陳述性知識的教學(xué)時，應(yīng)充分挖掘其中的意蘊，彰顯數(shù)學(xué)陳述性知識教學(xué)的育人價值.

一、追究“身份”，建立邏輯整體結(jié)構(gòu)

德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特認為，數(shù)學(xué)知識是一個不可分割的有機整體，它的生命力取決于各部分之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系，而理解數(shù)學(xué)是用概念思維的，所以建立數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系是理解數(shù)學(xué)的重要保障.

如分式的教學(xué)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過具體情境列代數(shù)式，并按自己的規(guī)定對所列的代數(shù)式進行分類.在分類的過程中，學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，類比分數(shù)提出新知——分式的概念，然后完善與分式有關(guān)的概念分類，形成如圖1所示的概念系統(tǒng).

分式被納入原有的認知結(jié)構(gòu)，從而形成了較完整的知識體系.學(xué)生通過經(jīng)歷一次新的概念的總結(jié)、概括過程，不僅梳理了分式、整式、有理式、代數(shù)式之間的從屬、并列關(guān)系，而且認識到分式與整式雖屬并列關(guān)系，但分式又是在整式的基礎(chǔ)上進行的，是分母含未知數(shù)的兩個整式之比，是代數(shù)式領(lǐng)域?qū)φ降臄U展與延伸.這實現(xiàn)了從數(shù)到式的一大跨越，而且分式與整式的研究方法相同，都要進行性質(zhì)、運算與應(yīng)用的研究，這樣學(xué)生對分式的學(xué)習(xí)就融入整個代數(shù)式的邏輯系統(tǒng).這個過程不僅讓學(xué)生明確了其中體現(xiàn)的邏輯關(guān)系，而且為后面的研究指明了思路與方向，這也是學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中需要逐漸掌握的學(xué)習(xí)方法.教師通過引導(dǎo)學(xué)生把基本概念、思想方法、研究問題的策略與思路形成一個整體結(jié)構(gòu)，使概念以一種動態(tài)的、聯(lián)系的、發(fā)展的、辯證的、整體的關(guān)系組合在一起，可以不斷發(fā)展和完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性.[1]

二、追溯歷史，增添人文素養(yǎng)

在概念、法則、性質(zhì)、定理的教學(xué)中，教師可以利用數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)知識、方法、文化融為一體，這不僅可以幫助學(xué)生在新情境下形成對知識的理解能力以及遷移到不同情境中去的能力，而且可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展史中的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，陶冶情操，讓學(xué)生感受富有詩意的數(shù)學(xué)課堂.

如學(xué)習(xí)一元二次方程的解的概念時，教師可以讓學(xué)生了解我國古代解一元二次方程x2+bx=c的過程.

教師首先引導(dǎo)學(xué)生將原方程變形為x（x+b）=c，然后設(shè)計問題讓學(xué)生經(jīng)歷我國古代學(xué)者對此方程的解法的研究過程.

問題1：我們能否構(gòu)造一個幾何圖形來表示方程中的各個量？

教師利用這個問題引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造一個長為（x+b），寬為x的矩形，其面積為c（如圖2）.

問題2：我們知道正方形是特殊的矩形，若我們能利用這個矩形拼成一個正方形，就能借助正方形的面積求出x的值.如何利用構(gòu)造的矩形拼出一個正方形呢？

學(xué)生的方法有：

上面這些方法在我們現(xiàn)在看來似乎并不難，但貴在創(chuàng)造.中國對二次方程的研究遠遠早于國外，《九章算術(shù)》《勾股圓方圖注》《大衍歷》《田畝比類乘除捷法》這些書中都有有關(guān)一元二次方程的根的記載，學(xué)生可以在課后去閱讀此方面的著作，領(lǐng)悟先輩們的創(chuàng)造性想法.

上述利用拼圖求解一元二次方程的方法促進了學(xué)生對二次方程的認知，加深了其對二次方程的解的理解，而且學(xué)生對祖先在如此早期就能想到利用正方形體現(xiàn)配方的數(shù)形結(jié)合思想嘖嘖稱奇，更是對把二次方程的系數(shù)作為直角邊獲得正數(shù)解的方法充滿強烈的好奇心.建構(gòu)矩形的面積作為方程等號右邊的常數(shù)，長與寬作為等號左邊積中的兩個因式，是解決代數(shù)問題常用的方法，這種方法在七年級學(xué)習(xí)整式的乘法中也經(jīng)常遇到，長期的訓(xùn)練必將使這種思想成為運用自如的思想觀念和思維工具，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)與解題能力.

教師把數(shù)學(xué)史融入課堂，不應(yīng)局限在對數(shù)學(xué)史的簡單介紹上，而應(yīng)追尋它的根，追溯它的歷史背景，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)先輩們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論時的心路歷程，讓學(xué)生驚嘆于先輩們的睿智，沉浸于絢麗多彩的數(shù)學(xué)世界中.正如張奠宙教授所言，“學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)了從‘冰冷到‘火熱這一過程”.如果說數(shù)學(xué)從發(fā)明到呈現(xiàn)在教材上是從 “火熱的發(fā)明”變成“冰冷的美麗”，那么將數(shù)學(xué)史融入概念的學(xué)習(xí)，則是讓書上“冰冷的美麗”呈現(xiàn)出詩意，再把富有詩意的內(nèi)容融入數(shù)學(xué)課堂.[2]

三、多種語言互譯，培養(yǎng)符號意識

符號語言、圖形語言和普通文字語言是數(shù)學(xué)思維的工具，語言互譯是對陳述性知識的內(nèi)容進行不同形式的表征.學(xué)生通過語言互譯能促進對知識的內(nèi)化，培養(yǎng)符號意識，增強幾何直觀能力.

在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了把分式的基本性質(zhì)從文字語言轉(zhuǎn)化到符號語言的過程，還經(jīng)歷了如何選取字母表示分式，以及如何用字母體現(xiàn)分式的分子與分母同時乘同一個不為零的整式的思考過程，體會用字母可以表示一個數(shù)，也可以表示代數(shù)式的一般性和代表性的意義和價值，體會用符號表示性質(zhì)的簡潔性，體現(xiàn)了思維從具體到抽象的發(fā)展過程.而把符號語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，學(xué)生的思維經(jīng)歷了需要構(gòu)造什么圖形來表示分式，分子、分母的變化過程如何利用建構(gòu)圖形來體現(xiàn)，這個過程體現(xiàn)了學(xué)生的思維從抽象到直觀的發(fā)展.事實上，教材中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、法則基本上都能通過文字、符號和圖形這三種語言來表述.

四、挖掘數(shù)學(xué)思想方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認識.《新課標(biāo)》指出，“數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括”.教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)概念背后隱含的數(shù)學(xué)思想方法，使生硬的知識變得生動，使學(xué)生在生動的知識學(xué)習(xí)中提升思維，提高興趣.

二元一次方程組的解的概念的教學(xué)環(huán)節(jié)經(jīng)歷了 “情境—抽象出數(shù)學(xué)問題—取值列表—嘗試取值—代入求值—得解—比較—歸納”的過程，體現(xiàn)了問題解決的一般過程與思路，在解決問題的過程中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法.[3]

挖掘數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、法則所隱含的意蘊，讓課堂充滿教育智慧，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的 “用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界”的理念，這需要廣大數(shù)學(xué)教師長期不懈地去努力，方能落實核心素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)的育人價值.

【參考文獻】

[1]朱立明，馬云鵬.義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號意識發(fā)展水平的實證研究[J].課程.教材.教法，2018（03）：87-94.

[2]范連眾，孔凡哲.對指向?qū)W科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教科書的理解：以“整式的加減”為例[J].遼寧教育，2017（19）：7-10.

[3]王俊行.數(shù)學(xué)與文化之審辯[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（23）：155-156.